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萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五:專題六 不等式 Word版含解析

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1、 專題六 不等式 一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí) 1.實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系 a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a0 直線Ax

2、+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax+By+C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 4.二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(x,y),叫做二元一次不等式(組)的解,所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集. 5.線性規(guī)劃的有關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由變量x,y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如z=x+2y 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的一次解析

3、式 可行解 滿足線性約束條件的解(x,y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問(wèn)題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題 6.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 7.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 8.利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x>0,y>0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值是

4、2.(簡(jiǎn)記:積定和最小) (2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值是.(簡(jiǎn)記:和定積最大) 二、題之本:思想方法技巧 1.理解不等關(guān)系的意義、實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則、不等式的性質(zhì),是解不等式和證明不等式的依據(jù)和基礎(chǔ). 2.一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提,不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前,一定要準(zhǔn)確把握前提條件,注意放寬條件和加強(qiáng)條件與其結(jié)論的關(guān)系,以及條件與結(jié)論間的相互聯(lián)系.如:同向不等式相加,方向不改變;都是正數(shù)的同向不等式相乘,方向不改變;異向不等式相減,方向與被減不等式方向相同;都是正數(shù)的異向不等式相除,方向與被除不等式方向相同;兩個(gè)正數(shù)的n次(n∈N+,n>1)

5、方(開(kāi)n次方),當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí),它們的冪(方根)相等;而不等的兩個(gè)正數(shù),它們的冪(方根)不等,較大的正數(shù)冪(方根)較大. (1)在應(yīng)用傳遞性時(shí),注意等號(hào)是否傳遞下去,如a≤b,bb?ac2>bc2;若無(wú)c≠0這個(gè)條件,a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c=0時(shí),取“=”). 3.不等式中的倒數(shù)性質(zhì) (1)a>b,ab>0?<; (2)a<0b>0,0; (4)0

6、說(shuō)明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì),常見(jiàn)的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考: (1)不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí),考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0; (2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變; (3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等. 5.不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種,前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ). 6.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,有作差法和作商法兩種方法.一般多用作差法,注意當(dāng)這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)時(shí),才可以用作商法.作差法是比較作差后的式子與“0”的大小

7、關(guān)系;作商法是比較作商后的式子與“1”的大小關(guān)系. 7.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系,還要注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)各個(gè)參變數(shù)的限制. 8.一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a≠0)的解集的確定,受二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)及判別式Δ=b2-4ac的符號(hào)制約,且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系,可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集;二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒大于0的條件是a>0且Δ<0;若恒大于或等于0,則a>0且Δ≤0.若二次項(xiàng)系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函數(shù)是二次函數(shù)時(shí),必須考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0這一特殊情形. 9.解分式不等式要

8、使一邊為零;求解非嚴(yán)格分式不等式時(shí),要注意分母不等于0,轉(zhuǎn)化為不等式組.(注:形如≥0或≤0的不等式稱為非嚴(yán)格分式不等式). 10.解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論,能避免討論的應(yīng)設(shè)法避免討論.對(duì)字母參數(shù)的邏輯劃分要具體問(wèn)題具體分析,必須注意分類不重、不漏、完全、準(zhǔn)確. 11.解不等式的過(guò)程,實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程.因此保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則. 12.各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來(lái)解,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 13.對(duì)給定的一元二次不等式,求解的程序框圖是: 14.不等式的解集的規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式是什么?(一般要寫(xiě)

9、成集合的表達(dá)式) 15.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法 (1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是:“直線定界,特殊點(diǎn)定域”,即先作直線,再取特殊點(diǎn)并代入不等式組.若滿足不等式組,則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域;否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域; (2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí),邊界為實(shí)線,不帶等號(hào)時(shí),邊界應(yīng)畫(huà)為虛線,特殊點(diǎn)常取原點(diǎn). 16.如果可行域是一個(gè)多邊形,那么一般在其頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn),到底是哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解,有三種解決方法: 第一種方法:將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng),最先通過(guò)或最后通過(guò)的

10、一個(gè)便是. 第二種方法:利用圍成可行域的直線斜率來(lái)判斷. 特別地,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時(shí),其最優(yōu)解可能有無(wú)數(shù)組. 第三種方法:將可行域所在多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)Pi逐一代入目標(biāo)函數(shù)ZPi=mx+ny,比較各個(gè)ZPi,得最大值或最小值. 17. 辨明兩個(gè)易誤點(diǎn) (1)畫(huà)出平面區(qū)域,避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax+by+c>0(a>0); (2)線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的,即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè),也可能有無(wú)數(shù)多個(gè),也可能沒(méi)有. 18.求z=ax+by(ab≠0)的最值步驟 將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y

11、=-x+,通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值. (1)當(dāng)b>0時(shí),截距取最大值時(shí),z也取最大值;截距取最小值時(shí),z也取最小值; (2)當(dāng)b<0時(shí),截距取最大值時(shí),z取最小值;截距取最小值時(shí),z取最大值. 19.利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的求解步驟如下: (1)審題:仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,主要變量有哪些.由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了了解題目中量與量之間的關(guān)系,可以借助表格或圖形; (2)設(shè)元:設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù); (3)作圖:準(zhǔn)確作圖,平移找點(diǎn)(最優(yōu)解); (4)求解:代入

12、目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值); (5)檢驗(yàn):根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反饋. 20.要熟悉基本不等式的變式和推廣,這對(duì)提高解題能力是有幫助的,常見(jiàn)的基本不等式和推廣有: ①a2+b2≥; ②ab≤; ③ab≤(a+b)2; ④≤; ⑤(a+b)2≥4ab; ⑥≥; ⑦≥; ⑧abc≤等. ⑨a、b、cR,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)); 對(duì)于上面的式子,要明了其成立的條件和取“=”的條件. 21.在利用基本不等式求最值時(shí),要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(xiàng)(必要時(shí),還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須是正數(shù);“二定”是指含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù);“三相等”是指具備等號(hào)成立

13、的條件,使待求式能取到最大或最小值. 22.基本不等式的應(yīng)用在于“定和求積,定積求和;和定積最大,積定和最小”,必要時(shí)可以通過(guò)變形(拆補(bǔ))、運(yùn)算(指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算等)構(gòu)造“和”或者“積”為定值. 23.求+型最值問(wèn)題,常通過(guò)“1”來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,但不是所有的最值都可以通過(guò)基本不等式解決,有一些看似可以通過(guò)基本不等式解決的問(wèn)題,由于條件的限制,等號(hào)不能夠成立,這時(shí)就不能用基本不等式來(lái)解決,而要借助于其他求值域的方法來(lái)解決. 24.對(duì)于形如f(x)=的最值問(wèn)題,只要分母x+d>0,都可以將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)=a(x+d)++h(這里ae>0;若ae<0,可以直接利用單調(diào)性等方法求最值),再利用

14、基本不等式求其最值. 25. 一般地,對(duì)含參的不等式求范圍問(wèn)題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,對(duì)于“恒成立”的不等式,一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值.另外,要記住幾個(gè)常見(jiàn)的有關(guān)不等式恒成立的等價(jià)命題: (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max; (2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min; (3)a>f(x)有解?a>f(x)min; (4)a<f(x)有解?a<f(x)max. 三、題之變:課本典例改編 1.原題(必修5第75頁(yè)習(xí)題3.1A組第2題)改編 若試比較與的大小. 【解析】平方作差可得:. 2.原題(必修5第80頁(yè)習(xí)題3.2A組第3題)改編 已

15、知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】依題意有:,故或. 3.原題(必修5第81頁(yè)習(xí)題3.2B組第二題)改編1 若函數(shù)的定義域?yàn)?則的取值范圍是 . 【解析】要使有意義,即對(duì)恒成立,則 ,即. 改編2 若恒成立,則的取值范圍是 . 【解析】當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于:,即不是恒成立, 要使恒成立,則,即. 改編3 若函數(shù)的定義域不是,則的取值范圍是 . 【解析】要使函數(shù)有意義,則存在,使得(*) 當(dāng)時(shí),(*)等價(jià)于:,即,滿足題意;當(dāng)時(shí),,即;當(dāng) 時(shí),,即;綜上,. 改編4 若函數(shù)的值域是,

16、則的取值范圍是 . 4.原題(必修5第80頁(yè)習(xí)題3.2A組第四題)改編 已知不等式的解集為A,不等式的解集是B. (1)求;(2)若不等式的解集是 求的解集. 【解析】(1)解得,所以. 解得,所以. ∴ . (2)由的解集是,所以,解得 ∴ ,解得解集為R. 5.原題(必修5第87頁(yè)例題)改編 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)是整點(diǎn)坐標(biāo).若直線(為正整數(shù)),與坐標(biāo)軸圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)(含周界)的個(gè)數(shù)是100,則等于( ) A.9 B.18 C.11 D.22 【解析】B. 6.原題(必修5第100頁(yè)練習(xí)題第1題)改編 求函數(shù)的值域.

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