《與名師對話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤訓(xùn)練:第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓(xùn)練31 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《與名師對話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤訓(xùn)練:第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓(xùn)練31 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時跟蹤訓(xùn)練(三十一)
[基礎(chǔ)鞏固]
一、選擇題
1.(20xx湖南衡陽二十六中期中)在等差數(shù)列{an}中,a3=1,公差d=2,則a8的值為( )
A.9 B.10
C.11 D.12
[解析] a8=a3+5d=1+52=11,故選C.
[答案] C
2.在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7,則a5=( )
A.11 B.10
C.7 D.3
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則有解得所以a5=-2+43=10.故選B.
[答案] B
3.(20xx湖北武漢調(diào)研)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,S5=3(a2
2、+a8),則的值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為S5=3(a2+a8),所以5a1+10d=3(2a1+8d),即a1=-14d,所以===.
[答案] D
4.(20xx安徽合肥二模)已知是等差數(shù)列,且a1=1,a4=4,則a10=( )
A.- B.-
C. D.
[解析] 由題意,得=1,=,所以等差數(shù)列的公差為d==-,由此可得=1+(n-1)=-+,因此=-,所以a10=-.故選A.
[答案] A
5.(20xx山西太原一模)在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則a6=( )
A.
3、8 B.6
C.4 D.3
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=23a3+32a9=62a6=36,得a6=3,故選D.
[答案] D
6.(20xx遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m>1,且am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,則m等于( )
A.38 B.20
C.10 D.9
[解析] 因為am-1+am+1-a=0,所以am-1+am+1=a.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2am=a,顯然am≠0,所以am=2.又因為S2m-1=38,所以S2m-1==(2m-1)am.將am=2代入可得
4、(2m-1)2=38,解得m=10.故選C.
[答案] C
二、填空題
7.(20xx江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________.
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+a=a1+(a1+d)2=-3,S5=5a1+10d=10.解得a1=-4,d=3,則a9=a1+8d=-4+24=20.
[答案] 20
8.(20xx廣東深圳中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=7,a1+a7=10,Sn為其前n項和,則使Sn取到最大值的n等于________.
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得
5、故d=a4-a3=-2,an=a3+(n-3)d=7-2(n-3)=13-2n.令an>0,得n<6.5,所以在等差數(shù)列{an}中,其前6項均為正,其他各項均為負(fù),于是使Sn取到最大值的n的值為6.
[答案] 6
9.(20xx遼寧師大附中期末)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且=,則=________.
[解析] 在等差數(shù)列中,S19=19a10,T19=19b10,因此===.
[答案]
三、解答題
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,證明:是等差數(shù)列.
[證明] ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),
6、
又an=-2SnSn-1,
∴Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn≠0.
∴-=2(n≥2).
由等差數(shù)列的定義知是以==2為首項,以2為公差的等差數(shù)列.
[能力提升]
11.(20xx河南百校聯(lián)盟質(zhì)監(jiān))等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,已知a20xx=20xx,且-=2000,則a1等于( )
A.-20xx B.-20xx
C.-20xx D.-20xx
[解析] 解法一:因為Sn=,所以=.因為-=2000,所以==2000,所以d=2.又因為a20xx=20xx,所以a1+(20xx-1)2=20xx,解得a1=-20xx,故選C.
解法二:因為
7、Sn=na1+d,所以=n+a1-,故是以a1為首項,以為公差的等差數(shù)列.所以-=2000=2000,所以d=2.所以a20xx=a1+(20xx-1)2=20xx,所以a1=-20xx.故選C.
解法三:由題意得
解得故選C.
[答案] C
12.(20xx黑龍江齊齊哈爾月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
A.6 B.7
C.12 D.13
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d.∵a6+a7=a3+a10>0,即2a1+11d>0,且a6a
8、7<0,a1>0,∴a6>0,a7<0.∴d=a7-a6<0.又∵a7=a1+6d<0,∴2a1+12d<0.當(dāng)Sn==>0時,2a1+(n-1)d>0.由2a1+11d>0,2a1+12d<0知n-1最大為11,即n最大為12.故選C.
[答案] C
13.(20xx長安一中月考)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時,{an}的前n項和最大.
[解析] ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0.∴數(shù)列的前8項和最大,即n=8.
[答案] 8
14.(20xx安徽合肥一中第三次段考)已知
9、數(shù)列{an}是各項為正且首項為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若數(shù)列{}也為等差數(shù)列,則的最小值是________.
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0),
即有an=1+(n-1)d,Sn=n+n(n-1)d,
= ,由于數(shù)列{}也為等差數(shù)列,
可得1-d=0,即d=2,
即有an=2n-1,Sn=n2,
則==≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)n=2取得等號,
由于n為正整數(shù),即有n=2或3取得最小值.當(dāng)n=2時,取得3;n=3時,取得.故最小值為.
[答案]
15.(20xx河南南陽期終質(zhì)量評估)設(shè)f(x)=(a>0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=anan+1,
10、n∈N*.
(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
[解] (1)證明:an+1=f(an)=,所以==+,
即-=,又a1=1,所以=1.
所以是首項為1,公差為的等差數(shù)列.
所以=1+(n-1)=.
所以an=.
(2)bn=anan+1=
=a2,
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則
Tn=
a2
=a2=a2=,
即數(shù)列{bn}的前n項和為.
16.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n項和為Sn,且a3=10,S6=72,若bn=an-30,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,
11、求Tn的最小值.
[解] ∵2an+1=an+an+2,∴an+1-an=an+2-an+1,
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由a3=10,S6=72得,
解得a1=2,d=4.
∴an=4n-2,則bn=an-30=2n-31,
令即解得≤n≤,
∵n∈N*,∴n=15,
即數(shù)列{bn}的前15項均為負(fù)值,∴T15最小.∵數(shù)列{bn}的首項是-29,公差為2,
∴T15==-225,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值為-225.
[延伸拓展]
已知數(shù)列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(
12、1)求a2,a3的值;
(2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
[解] (1)∵a1=5,
∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.
(2)解法一:假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列.
設(shè)bn=,由{bn}為等差數(shù)列,
則有2b2=b1+b3.
∴2=+.
∴=+.解得λ=-1.
事實上,bn+1-bn=-
=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.
綜上可知,存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列為首項是2,公差是1的等差數(shù)列.
解法二:假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列.
設(shè)bn=,由{bn}為等差數(shù)列,
則有2bn+1=bn+bn+2(n∈N*).
∴2=+.
∴λ=4an+1-4an-an+2
=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)
=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1.
綜上可知,當(dāng)λ=-1時,數(shù)列為首項是2、公差是1的等差數(shù)列.