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高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 5 第一課時 離散型隨機(jī)變量的均值 Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第一課時 離散型隨機(jī)變量的均值 求離散型隨機(jī)變量的均值 [例1] (重慶高考)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍(lán)球與2個白球的袋中任意摸出1個球,根據(jù)摸出4個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下: 獎級 摸出紅、藍(lán)球個數(shù) 獲獎金額 一等獎 3紅1藍(lán) 200元 二等獎 3紅0藍(lán) 50元 三等獎 2紅1藍(lán) 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級. (1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率; (2)求

2、摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. [思路點(diǎn)撥] (1)利用古典概型結(jié)合計數(shù)原理直接求解. (2)先確定離散型隨機(jī)變量的取值,求出相應(yīng)的概率分布,進(jìn)一步求出隨機(jī)變量的期望值. [精解詳析] 設(shè)Ai表示摸到i個紅球,Bj表示摸到j(luò)個藍(lán)球,則Ai(i=0,1,2,3)與Bj(j=0,1)獨(dú)立. (1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1)==. (2)X的所有可能值為0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)==, P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)==, P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=

3、==, P(X=0)=1---=. 綜上知,X的分布列為 X 0 10 50 200 P 從而有EX=0+10+50+200=4(元). [一點(diǎn)通] 求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟 (1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值; (2)求X取每個值的概率; (3)寫出X的分布列(有時可以省略); (4)利用定義公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn,求出均值. 1.(廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望EX=(  ) A.           B.2 C. D.3 解析:

4、EX=1+2+3==. 答案:A 2.某高等學(xué)院自愿獻(xiàn)血的20位同學(xué)的血型分布情形如下表: 血型 A B AB O 人數(shù) 8 7 3 2 (1)現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選出兩人,求兩人血型相同的概率; (2)現(xiàn)有A血型的病人需要輸血,從血型為A、O的同學(xué)中隨機(jī)選出2人準(zhǔn)備獻(xiàn)血,記選出A血型的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX. 解:(1)從20人中選出兩人的方法數(shù)為C=190, 選出兩人同血型的方法數(shù)為C+C+C+C=53, 故兩人血型相同的概率是. (2)X的取值為0,1,2, P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. X的分布列為

5、 X 0 1 2 P ∴EX=0+1+2==. 二項分布及超幾何分布的均值 [例2] 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率為,記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y,求 (1)X的概率分布; (2)X和Y的數(shù)學(xué)期望. [思路點(diǎn)撥] 甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項分布. [精解詳析] (1)P(X=0)=C3=, P(X=1)=C3=, P(X=2)=C3=, P(X=3)=C3=. 所以X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P (2)由題意X~B,Y~B, ∴EX=3=

6、1.5,EY=3=2. [一點(diǎn)通] 如果隨機(jī)變量X服從二項分布即X~B(n,p),則EX=np;如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布時,則EX=n,以上兩特例可以作為常用結(jié)論,直接代入求解,從而避免了繁雜的計算過程. 3.若隨機(jī)變量X~B,EX=2,則P(X=1)等于________. 解析:由X~B∴EX=n=2, ∴n=4,∴P(X=1)=C13=. 答案: 4.袋中有7個球,其中有4個紅球,3個黑球,從袋中任取3個球,以X表示取出的紅球數(shù),則EX為________. 解析:由題意知隨機(jī)變量X服從N=7,M=4,n=3的超幾何分布,則EX=3=. 答案: 5

7、.(浙江高考)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會均等)3個球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和. (1)求X的分布列; (2)求X的數(shù)學(xué)期望EX. 解:(1)由題意得X取3,4,5,6,且 P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)==,P(X=6)==. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知EX=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=. 數(shù)學(xué)期望的實際應(yīng)用 [例3] 某商場準(zhǔn)備在“五一”期間舉行

8、促銷活動.根據(jù)市場行情,該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中,選出3種商品進(jìn)行促銷活動. (1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率; (2)商場對選出的家電商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品成本價的基礎(chǔ)上提高180元作為售價銷售給顧客,同時允許顧客有3次抽獎的機(jī)會,若中獎一次,就可以獲得一次獎金.假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎的概率都是,且每次獲獎時的獎金數(shù)額相同,請問:該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為多少元,此促銷方案才能使商場自己不虧本? [思路點(diǎn)撥] (1)利用間接法求概率;(2)先求中獎的期望,再列不等式求解. [精解詳析] (1)設(shè)選出的3種商

9、品中至少有一種是日用商品為事件A,則P(A)=1-=. 即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為. (4分) (2)設(shè)顧客抽獎的中獎次數(shù)為X,則X=0,1,2,3,于是 P(X=0)==, P(X=1)=C2=, P(X=2)=C2=, P(X=3)==, ∴顧客中獎的數(shù)學(xué)期望 EX=0+1+2+3=1.5. (10分) 設(shè)商場將每次中獎的獎金數(shù)額定為x元,則1.5x≤180,解得x≤120, 即該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元,才能使自己不虧本. (12分) [一點(diǎn)通] 處理與實際問題有關(guān)的均值問題,應(yīng)首先把實際問題概率模型

10、化,然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并寫出分布列,最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值. 6.(湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立. (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率; (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元,求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F(xiàn)={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}. 由題設(shè)知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=. 且事件E與F,E與,與

11、F,與都相互獨(dú)立. (1)記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功},則= ,于是 P()=P()P()==, 故所求的概率為P(H)=1-P()=1-=. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220. 因P(X=0)=P( )==, P(X=100)=P(F)==, P(X=120)=P(E)==, P(X=220)=P(EF)==. 故所求的X分布列為 X 0 100 120 220 P 數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+100+120+220===140. 7.某突發(fā)事件,在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3,一

12、旦發(fā)生,將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用.單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元,采用相應(yīng)的預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采取、聯(lián)合采取或不采取,請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.(總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.) 解:①不采取預(yù)防措施時,總費(fèi)用即損失期望值為 E1=4000.3=120(萬元); ②若單獨(dú)采取預(yù)防措施甲,則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元,發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.9=0.1, 損失期望值為E2=4000.1=40(萬元), 所以總費(fèi)用為45+40=

13、85(萬元); ③若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙,則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元, 發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.85=0.15, 損失期望值為E3=4000.15=60(萬元), 所以總費(fèi)用為30+60=90(萬元); ④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施, 則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75(萬元), 發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1-0.9)(1-0.85)=0.015, 損失期望值為E4=4000.015=6(萬元), 所以總費(fèi)用為75+6=81(萬元). 綜合①②③④,比較其總費(fèi)用可知,選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施,可使總費(fèi)用最少. 1.求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的方法步驟: (1)寫出隨機(jī)變

14、量所有可能的取值. (2)計算隨機(jī)變量取每一個值對應(yīng)的概率. (3)寫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望. 2.離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì) ①Ec=c(c為常數(shù)); ②E(aX+b)=aEX+b(a,b為常數(shù)); ③E(aX1+bX2)=aEX1+bEX2(a,b為常數(shù)). 1.一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8,則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為(  ) A.0.8          B.0.83 C.3 D.2.4 解析:射手獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X服從二項分布,即X~B(3,0.8),∴EX=30.8=2.4. 答案:D 2.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布

15、如下: X 0 1 2 P 0.3 3k 4k 隨機(jī)變量Y=2X+1,則Y的數(shù)學(xué)期望為(  ) A.1.1 B.3.2 C.11k D.33k+1 解析:由題意知,0.3+3k+4k=1, ∴k=0.1.EX=00.3+10.3+20.4=1.1, ∴EY=E(2X+1)=2EX+1=2.2+1=3.2. 答案:B 3.口袋中有5個球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3個球,以X表示取出的球的最大號碼,則EX=(  ) A.4 B.5 C.4.5 D.4.75 解析:X的取值為5,4,3. P(X=5)==, P(X=4)==, P(

16、X=3)==. ∴EX=5+4+3=4.5. 答案:C 4.(湖北高考)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值EX=(  ) A. B. C. D. 解析:由題意知X可能為0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)=,EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=0+1+2+3==,故選B. 答案:B 5.設(shè)10件產(chǎn)品有3件次品,從中抽取2件進(jìn)行檢查,則查得次品數(shù)的均值為________. 解析:設(shè)查

17、得次品數(shù)為X,由題意知X服從超幾何分布且N=10,M=3,n=2. ∴EX=n=2=. 答案: 6.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知EX=8.9,則y的值為________. 解析:由 解得y=0.4. 答案:0.4 7.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一道和第二道工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序的加工結(jié)果均有A,B兩個等級.對每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為A級時,產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品. 表一 工序 概率 產(chǎn)品 第一道工序 第二道工序 甲

18、0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表二 等級 利潤 產(chǎn)品 一等 二等 甲 5(萬元) 2.5(萬元) 乙 2.5(萬元) 1.5(萬元) (1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙; (2)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示,用X,Y分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤,在(1)的條件下,分別求甲、乙兩種產(chǎn)品利潤的分布列及均值. 解:(1)P甲=0.80.85=0.68, P乙=0.750.8=0.6. (2)隨機(jī)變量X,Y的分布列是 X 5 2.5 P 0.68

19、0.32 Y 2.5 1.5 P 0.6 0.4   EX=50.68+2.50.32=4.2, EY=2.50.6+1.50.4=2.1. 所以甲、乙兩種產(chǎn)品利潤的均值分別為4.2萬元、2.1萬元. 8.(山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立. (1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率; (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分、對方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分、對方得1分.求乙隊得分X的分布列及

20、數(shù)學(xué)期望. 解:(1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊以3∶2勝利”為事件A3, 由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 故P(A1)=3=, P(A2)=C2=, P(A3)=C22=. 所以,甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為,以3∶2勝利的概率為. (2)設(shè)“乙隊以3∶2勝利”為事件A4, 由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 所以P(A4)=C22=. 由題意知,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性得 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=, 又P(X=1)=P(A3)=, P(X=2)=P(A4)=, P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=, 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX=0+1+2+3=.

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