《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第5篇 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第5篇 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí):40分鐘)
一、選擇題
1.(20xx昆明調(diào)研)公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且-3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4= ( ).
A.-20 B.0
C.7 D.40
解析 記等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),依題意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2,即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0,又q≠1,因此有q=-3,則S4==-2
2、0.
答案 A
2.若-9,a,-1成等差數(shù)列,-9,m,b,n,-1成等比數(shù)列,則ab=( ).
A.15 B.-15
C.15 D.10
解析 由已知得a==-5, b2=(-9)(-1)=9且b<0,∴b=-3,∴ab=(-5)(-3)=15.
答案 A
3.(20xx寶雞模擬)數(shù)列{an}滿足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N+),它的前n項(xiàng)和為Sn,則滿足Sn>1 025的最小n值是 ( ).
A.9 B.10
C.11 D.12
解析 因?yàn)閍1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N+),所以an
3、+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,則滿足Sn>1 025的最小n值是11.
答案 C
4.已知{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.若a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5= ( ).
A.35 B.33
C.31 D.29
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,
a2a3=a1a4=2a1,即a4=2.
由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知,a4+2a7=2,
∴a7==.∴q3==,即q=.
∴a4=a1q3=a1=2,∴a1=16,
∴S5==31.
答案 C
5.(20xx贛州模擬)設(shè)y=f(x)是
4、一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ( ).
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
解析 由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2n2+3n.
答案 A
二、填空題
6.(20xx紹興調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a1,a2,a3,a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列,且a1,a3,a4構(gòu)成等比數(shù)列,則此等比數(shù)列的公比等于__
5、______.
解析 設(shè)公差為d,公比為q.
則a=a1a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),
解得a1=-4d,所以q===.
答案
7.(20xx江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________.
解析 每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an},
其中a1=2,q=2.則Sn==2(2n-1)≥100,即2n+1≥102.
∴n≥6,∴最少天數(shù)n=6.
答案 6
8.(20xx山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)數(shù)列{an}滿足a1=3,an-anan+1=1,An表示{an}前n項(xiàng)之積,則
6、A2 013=________.
解析 由a1=3,an-anan+1=1,得an+1=,所以a2==,a3=-,a4=3,所以{an}是以3為周期的數(shù)列,且a1a2a3=-1,又2 013=3671,所以A2 013=(-1)671=-1.
答案?。?
三、解答題
9.(20xx杭州模擬)設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)令bn=nan,n=1,2,…,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由已知,得解得a2=2.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a
7、2=2,可得a1=,a3=2q.
又S3=7,可知+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或.由題意得q>1,所以q=2.則a1=1.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n-1.
(2)由于bn=n2n-1,n=1,2,…,
則Tn=1+22+322+…+n2n-1,
所以2Tn=2+222+…+(n-1)2n-1+n2n,
兩式相減得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n2n=2n-n2n-1,
即Tn=(n-1)2n+1.
10.(20xx銅川模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+4,數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),
8、
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,求證:++…+≥.
(1)解 a1=f(d-1)=d2-4d+7,a3=f(d+1)=d2+3,
又由a3=a1+2d,可得d=2,所以a1=3,an=2n+1.
(2)證明 Sn==n(n+2),
==,
所以,++…+
=
=≥=.
能力提升題組
(建議用時(shí):25分鐘)
一、選擇題
1.(20xx福州模擬)在等差數(shù)列{an}中,滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和,若Sn取得最大值,則n= ( ).
A.7 B.8
C.9 D.10
9、
解析 設(shè)公差為d,由題設(shè)3(a1+3d)=7(a1+6d),
所以d=-a1<0.
解不等式an>0,即a1+(n-1)>0,
所以n<,則n≤9,
當(dāng)n≤9時(shí),an>0,同理可得n≥10時(shí),an<0.
故當(dāng)n=9時(shí),Sn取得最大值.
答案 C
2.已知f(x)=bx+1是關(guān)于x的一次函數(shù),b為不等于1的常數(shù),且g(n)=設(shè)an=g(n)-g(n-1)( n∈N+),則數(shù)列{an}為 ( ).
A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列
C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列
解析 a1=g(1)-g(0)=f[g(0)]-g(0)=b+1-1=b,當(dāng)n≥2時(shí),an=g(n)-g(n-
10、1)=f[g(n-1)]-f[g(n-2)]=b[g(n-1)-g(n-2)]=ban-1,所以{an}是等比數(shù)列.
答案 B
二、填空題
3.(20xx浙江五校聯(lián)考)設(shè)x為實(shí)數(shù),[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),記{x}=x-[x],則{x}的取值范圍是[0,1),現(xiàn)定義無(wú)窮數(shù)列{an}如下:a1={a},當(dāng)an≠0時(shí),an+1=;當(dāng)an=0時(shí),an+1=0.如果a=,則a2 013=________.
解析 由題意可得a1=-1,a2==,a3==-1,a4==,…,所以數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列,所以a 2 013=a1=-1.
答案?。?
三、解答題
4.已知等比數(shù)列{a
11、n}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn-2n+1+47<0成立的n的最小值.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,依題意,有
即
由①得q2-3q+2=0,解得q=1或q=2.
當(dāng)q=1時(shí),不合題意,舍去;
當(dāng)q=2時(shí),代入②得a1=2,所以an=22n-1=2n.
故所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n(n∈N+).
(2)bn=an+log2=2n+log2=2n-n.
所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n
=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)
=-=2n+1-2-n-n2.
因?yàn)镾n-2n+1+47<0,
所以2n+1-2-n-n2-2n+1+47<0,
即n2+n-90>0,解得n>9或n<-10.
因?yàn)閚∈N+,故使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.