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新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第一章 1 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 Word版含解析

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新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第一章 1 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 Word版含解析_第1頁(yè)
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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 §1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理 1.李娜為了備戰(zhàn)2014年澳大利亞網(wǎng)球會(huì)開賽,需要從北京到A地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練,每天有7次航班,5列動(dòng)車. 問題1:李娜從北京到A城的方法可分幾類? 提示:兩類,即乘飛機(jī)、乘動(dòng)車. 問題2:這幾類方法都能完成“從北京到A城”這件事嗎? 提示:都能. 問題3:李娜從北京到A城共有多少種不同的方法? 提示:7+5=12(種). 2.若你班有男生26人,女生24人,從中選一名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng). 問題4:不同的選法的種數(shù)為多少? 提示:26+24=50. 分

2、類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理) 完成一件事,可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種方法,在第二類辦法中有m2種方法,……,在第n類辦法中有mn種方法.那么,完成這件事共有 N=m1+m2+…+mn種方法. 分步乘法計(jì)數(shù)原理 1.李娜從北京到A城需在B城停留,若從北京到B城有7次航班,從B城到A城有5列動(dòng)車. 問題1:李娜從北京到A城需要經(jīng)歷幾個(gè)步驟? 提示:兩個(gè),即從北京到B城,從B城到A城. 問題2:這幾個(gè)步驟中的某一步能完成“從北京到A城”這件事嗎? 提示:不能.必須“從北京到B城”“從B城到A城”這兩步都完成后才能完成“從北京到A城”這件事. 問題3:李娜從北京到A

3、城共有多少種不同的方法? 提示:7×5=35(種). 2.若你班有男生26人,女生24人,從中選一名男生和一名女生擔(dān)任班長(zhǎng). 問題4:不同的選法的種數(shù)為多少? 提示:26×24=624. 分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理) 完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟,缺一不可,做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法,……,做第n步有mn種方法.那么,完成這件事共有 N=m1×m2×…×mn種方法. 1.分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事情,而分步乘法計(jì)數(shù)原理的每一個(gè)步驟都是完成這件事情的中間環(huán)節(jié),都不能獨(dú)立完成這件事情. 2

4、.分類加法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的方法被分成不同的類別,求各類方法之和;而分步乘法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的過(guò)程被分成不同的步驟,求各步驟方法之積. 分類加法計(jì)數(shù)原理 [例1] 高二·一班有學(xué)生50人,男生30人;高二·二班有學(xué)生60人,女生30人;高二·三班有學(xué)生55人,男生35人. (1)從中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法? (2)從高二·一班、二班男生中,或從高二·三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng),有多少種不同的選法? [思路點(diǎn)撥] (1)完成的一件事是從三個(gè)班級(jí)中選一名學(xué)

5、生任學(xué)生會(huì)主席;(2)完成的一件事是從一班、二班男生中,或從三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng),因而可按當(dāng)選學(xué)生來(lái)自不同班級(jí)分類,利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解. [精解詳析] (1)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席有3類不同的選法: 第一類,從高二·一班選一名,有50種不同的方法; 第二類,從高二·二班選一名,有60種不同的方法; 第三類,從高二·三班選一名,有55種不同的方法. 故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有 50+60+55=165種不同的方法. (2)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)有3類不同的選法: 第一類,從高二·一班男生中選,有30種不同

6、的方法; 第二類,從高二·二班男生中選,有30種不同的方法; 第三類,從高二·三班女生中選,有20種不同的方法. 故選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)共有 30+30+20=80種不同的方法. [一點(diǎn)通] 如果完成一件事有n類不同的辦法,而且這n類辦法是相互獨(dú)立的,無(wú)論用哪一類辦法中的哪一種方法都能獨(dú)立地完成這件事,那么求完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理.分類要做到“不重不漏”,分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總種數(shù). 1.上海世博會(huì)期間,一志愿者帶一客人去預(yù)訂房間,賓館有上等房10間,中等房20間,一般房25間,則客人選一間房

7、的選法有(  ) A.500種         B.5 000種 C.55種 D.10種 解析:選法為10+20+25=55種. 答案:C 2.(福建高考)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為(  ) A.14          B.13 C.12 D.10 解析:因?yàn)閍,b∈{-1,0,1,2},可分為兩類:①當(dāng)a=0時(shí),b可能為-1或0或1或2,即b有4種不同的選法;②當(dāng)a≠0時(shí),依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當(dāng)a=-1時(shí),b有4種不同的選法,當(dāng)a=1時(shí),b可能為-1或0或1,即b有3種

8、不同的選法,當(dāng)a=2時(shí),b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,(a,b)的個(gè)數(shù)共有4+4+3+2=13. 答案:B 3.在所有的兩位數(shù)中,十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)? 解:依據(jù)“十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字”進(jìn)行分類,令十位數(shù)字為 m,個(gè)位數(shù)字為n,則有 當(dāng) m=1時(shí),n=0,有1個(gè); 當(dāng) m=2時(shí),n=0,1,有2個(gè);當(dāng) m=3時(shí),n=0,1,2,有3個(gè);…… 當(dāng) m=9時(shí),n=0,1,2,3…8,有9個(gè). 所有這樣的兩位數(shù)共有1+2+3+…+9=45個(gè). 分步乘法計(jì)數(shù)原理 [例2] (1)(山東高考)用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)

9、數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 (  ) A.243 B.252 C.261 D.279 (2)有三個(gè)盒子,分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè),白色小球5個(gè),黃色小球4個(gè),現(xiàn)從盒子里任取紅、白、黃小球各一個(gè),有不同的取法________種. [思路點(diǎn)撥] (1)先排百位,然后排十位,最后排個(gè)位.注意百位數(shù)字不能為0. (2)要從盒子里任取紅、白、黃小球各一個(gè),應(yīng)分三個(gè)步驟,并且這三個(gè)步驟均完成時(shí),才完成這件事,故須采用乘法原理. [精解詳析] (1)十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×10×10=900.沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648,所以有

10、重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900-648=252. (2)完成這件事可分三步: 第一步:取紅球,有6種不同的取法; 第二步:取白球,有5種不同的取法; 第三步:取黃球,有4種不同的取法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有N=6×5×4=120種不同的取法. [答案] (1)B (2)120 [一點(diǎn)通] 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般思路:首先將完成這件事的過(guò)程分步,然后再找出每一步中的方法有多少種,求其積,注意各步之間的相互聯(lián)系,每步都完成后,才能完成這件事. 4.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲,如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套,則不同配法的種數(shù)為( 

11、 ) A.7 B.12 C.64 D.81 解析:要完成長(zhǎng)褲與上衣配成一套,分兩步: 第一步:選上衣,從4件中任選一件,有4種不同選法; 第二步:選長(zhǎng)褲,從3條長(zhǎng)褲中任選一條,有3種不同選法. 故共有4×3=12種不同的配法. 答案:B 5.將3封信投到4個(gè)郵筒,所有投法有(  ) A.24種 B.4種 C.64種 D.81種 解析:分三步完成投信這件事.第一步投第1封信有4種方法,第二步投第2封信有4種方法,第三步投第3封信有4種方法,故共有N=4×4×4=64種方法. 答案:C 6.從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字,組成無(wú)

12、重復(fù)數(shù)字的整數(shù),則滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)? (1)三位數(shù); (2)三位數(shù)的偶數(shù). 解:(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位:百位,十位,個(gè)位,故可分三步完成: 第一步,排個(gè)位,從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字,有4種方法; 第二步,排十位,從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法; 第三步,排百位,從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2種方法. 依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×2=24個(gè)滿足要求的三位數(shù). (2)分三步完成: 第一步,排個(gè)位,從2,4中選1個(gè),有2種方法; 第二步,排十位,從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法; 第三步,排百位,只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2

13、種方法. 故共有2×3×2=12個(gè)三位數(shù)的偶數(shù). 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 [例3] (12分)如圖,一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊.現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊地里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,問共有多少種不同的種植方法. [思路點(diǎn)撥] 本題可以先分類,由A,C是否種相同的花分為兩類,也可以先分步,在考慮C時(shí)再分類. [精解詳析] 法一:分為兩類: 第一類:當(dāng)花壇A,C中種的花相同時(shí)有4×3×1×3=36種; 第二類:當(dāng)花壇A,C中種的花不同時(shí)有4×3×2×2=48種. 共有36+4

14、8=84種. 法二:分為四步: 第一步:考慮A,有4種; 第二步:考慮B,有3種; 第三步:考慮C,有兩類:一是A與C同,C的選法有1種,這樣第四步D的選法有3種;二是A與C不同,C的選法有2種,此時(shí)第四步D的選法也有2種. 共有4×3×(1×3+2×2)=84種. [一點(diǎn)通] 綜合應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí),一定要把握好分類與分步.分類是根據(jù)完成方法的不同類別,分步是根據(jù)一種方法進(jìn)程的不同步驟. 7.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系中,第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  )

15、 A.18 B.16 C.14 D.10 解析:分為兩大類: 第一類,以集合M中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo),集合N中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo). 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有3×2=6個(gè)不同的點(diǎn). 第二類,以集合N中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo),集合M中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo). 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有4×2=8個(gè)不同的點(diǎn). 由分類加法計(jì)數(shù)原理,第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)共有N=6+8=14個(gè). 答案:C 8.有不同的中文書7本,不同的英文書5本,不同的法文書3本.若從中選出不屬于同一種文字的2本書,共有________種不同的選法. 解析:分為三類,每一類再分兩步. 第一類選中文、

16、英文書各一本有7×5=35種選法,第二類選中文、法文書各一本有7×3=21種選法,第三類選英文、法文書各一本有5×3=15種選法,所以總共有35+21+15=71種不同的選法. 答案:71 9.電視臺(tái)在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的群眾來(lái)信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴,有多少種不同的結(jié)果? 解:確定幸運(yùn)觀眾可分兩類: 第一類:幸運(yùn)之星在甲箱中抽,再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴,有30×29×20=17 400種結(jié)果;

17、 第二類:幸運(yùn)之星在乙箱中抽,再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴,有20×30×19=11 400種結(jié)果. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有17 400+11 400=28 800種不同的結(jié)果. 1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理 區(qū)別一 完成一件事有n類不同的辦法,關(guān)鍵詞是“分類” 完成一件事需要n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步” 區(qū)別二 每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事 每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,即缺少任何一步都不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完

18、成了,才能完成這件事 區(qū)別三 各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的 各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù) 2.“分類”“分步”應(yīng)注意 (1)分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”.完成了所有步驟,恰好完成任務(wù),當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立.分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù),最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù). 1.一個(gè)三層書架,分別放置語(yǔ)文書12本,數(shù)學(xué)書14本,英語(yǔ)書11本,從中任取一本,則不同的取法共有(  ) A.37種

19、          B.1 848種 C.3種 D.6種 解析:根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得不同的取法為N=12+14+11=37(種). 答案:A 2.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù) a,b 組成復(fù)數(shù) a+bi,其中虛數(shù)有 (  ) A.30個(gè) B.42個(gè) C.36個(gè) D.35個(gè) 解析:完成這件事分為兩個(gè)步驟:第一步,虛部 b 有6種選法;第二步,實(shí)部 a 有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有虛數(shù) 6×6=36 個(gè). 答案:C 3.現(xiàn)有高一學(xué)生9人,高二學(xué)生12人,高三學(xué)生7人,自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組,從中推選兩名來(lái)自不

20、同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人,不同的選法共有(  ) A.756種 B.56種 C.28種 D.255種 解析:推選兩名來(lái)自不同年級(jí)的兩名學(xué)生,有N=9×12+12×7+9×7=255(種). 答案:D A B C D 4.用4種不同的顏色給矩形A,B,C,D涂色,要求相鄰的矩形涂不同的顏色,則不同的涂色方法共有(  ) A.12種 B.24種 C.48種 D.72種 解析:先涂C,有4種涂法,涂D有3種涂法,涂A有3種涂法,涂B有2種涂法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×3×2=72

21、種涂法. 答案:D 5.為了對(duì)某農(nóng)作物新品種選擇最佳生產(chǎn)條件,在分別有3種不同土質(zhì),2種不同施肥量,4種不同的種植密度,3種不同的種植時(shí)間的因素下進(jìn)行種植試驗(yàn),則不同的實(shí)驗(yàn)方案共有________種. 解析:根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的方案有N=3×2×4×3=72(種). 答案:72 6.如圖,A→C,有________種不同走法. 解析:A→C的走法可分兩類: 第一類:A→C,有2種不同走法; 第二類:A→B→C,有2×2=4種不同走法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得共有2+4=6種不同走法. 答案:6 7.設(shè)橢圓+=1,其中a

22、,b∈{1,2,3,4,5}. (1)求滿足條件的橢圓的個(gè)數(shù); (2)如果橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,求橢圓的個(gè)數(shù). 解:(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a≠b,要確定一個(gè)橢圓,只要把a(bǔ),b一一確定下來(lái)這個(gè)橢圓就確定了. ∴要確定一個(gè)橢圓共分兩步:第一步確定a,有5種方法;第二步確定b,有4種方法,共有5×4=20個(gè)橢圓. (2)要使焦點(diǎn)在x軸上,必須a>b,故可以分類:a=2,3,4,5時(shí),b的取值列表如下: a 2 3 4 5 b 1 1,2 1,2,3 1,2,3,4 故共有1+2+3+4=10個(gè)橢圓. 8.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂器,其中7人會(huì)鋼琴,3人會(huì)小號(hào),從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人,有多少種不同的選法? 解:由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(把該人稱為“多面手”),只會(huì)鋼琴的有6人,只會(huì)小號(hào)的有2人,把選出會(huì)鋼琴、小號(hào)各1人的方法分為兩類: 第一類:多面手入選,另1人只需從其他8人中任選一個(gè),故這類選法共有8種. 第二類:多面手不入選,則會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出,會(huì)小號(hào)者也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出,故這類選法共有6×2=12種. 因此有N=8+12=20種不同的選法.

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