《高三數(shù)學理33個黃金考點總動員 考點06 基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)解析版 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學理33個黃金考點總動員 考點06 基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)解析版 Word版含解析（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2016屆高三數(shù)學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明： 1.理解指數(shù)冪的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調性，會解決與指數(shù)函數(shù)性質有關的問題. 2.理解對數(shù)的概念及其運算性質，會用換底公式將一般對數(shù)轉化為自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用． 3.理解對數(shù)函數(shù)的概念，能解決與對數(shù)函數(shù)性質有關的問題. 4.結合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，的圖象，了解它們的變化情況． 2.命題方向預測： 1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質是近幾年高考的熱點． 2.通過具體問題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考

2、查分類討論思想和數(shù)形結合思想． 3.高考考查的熱點是對數(shù)式的運算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質的綜合應用，同時考查分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想． 4.關于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題． 5.二次函數(shù)的圖象及性質是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點． 6.題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn). 1. 課本結論總結： 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．分數(shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 (a&

3、gt;0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理指數(shù)冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋log

4、aN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數(shù)的性質 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad. 3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠

5、0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調性 在x∈上單調遞減；在x∈上單調遞增 在x∈上單調遞減在x∈上單調遞增 對稱性 函數(shù)的圖象關于x＝對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質比較 特征 函數(shù) 性質

6、 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 4.名師二級結論： （1）根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算． （2）指數(shù)函數(shù)的單調性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)

7、a按：0＜a＜1和a＞1進行分類討論． （3）換元時注意換元后“新元”的范圍． （4）對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質和運算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進行證明． （5）解決與對數(shù)有關的問題時，(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍． （6）對數(shù)值的大小比較方法 化同底后利用函數(shù)的單調性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數(shù)后利用圖象比較． （7）函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關于x＝對稱． 2、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義

8、域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 5.課本經典習題： (1)新課標A版第 70 頁，B組第 2 題 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，求二次函數(shù)的頂點的橫坐標的取值范圍． 1 答案：由圖可知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以． 而二次函數(shù)的頂點的橫坐標為， 所以，即二次函數(shù)的頂點的橫坐標的取值范圍是． 【經典理由】有效把指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)相結合 (2)新課標A版第 60 頁，B組第 4 題 設其中確定為何值時，有： 【解析】（1）3x+1=-2x時，得x=-; (2)時，單

9、調遞增，由于，得3x+1>-2x得x>-, ，單調遞減，由于，得3x+1-2x解得x-． 【經典理由】根據(jù)a的取值進行分類討論 (3)新課標A版第 72 頁，例8 比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。? （1）log 2 3 . 4 與 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 與 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 與 log a 5 . 9 (且)． 解：（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函數(shù)且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；

10、 （2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是減函數(shù)且 1 . 8＜2 . 7， ∴l(xiāng)og 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7； （3）解：當時，∵ y = log a x在( 0 , + ∞) 上是增函數(shù)且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1log a 5 . 9， 當0＜a＜1時，∵ y = log a x在 ( 0 , + ∞) 上是減函數(shù)且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ． 【經典理由】以對數(shù)函數(shù)為載體，考查對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用 (4)新課標A版第

11、 822 頁，A組第10題 已知冪函數(shù)，試求出此函數(shù)的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調性． 【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設，將點的坐標代入即可求得n值，從而求得函數(shù)解析式．要判斷函數(shù)的奇偶性我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)圖象在（0，+∞）的單調性，進而畫出函數(shù)的圖象． 【解析】設,因為冪函數(shù), ， 這個函數(shù)解析式為 ． 定義域為（0，+∞），它不關于原點對稱， 所以，y=f（x）是非奇非偶函數(shù)． 當x＞0時，f（x）是單調減函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖． 【經典理由】本題通過待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、解指數(shù)方程的解法、奇（偶）函數(shù)性、冪函數(shù)圖象考查學生對冪

12、函數(shù)有關知識的掌握程度和對知識的綜合應用能力 6.考點交匯展示： (1)基本初等函數(shù)與集合交匯 例1【河北省“五個一名校聯(lián)盟”2015高三教學質量監(jiān)測(一)1】設集合，，則( ) A.AB B.AB C.AB D.AB 【答案】B 考點：1.一元二次不等式解法；2.指數(shù)不等式解法；3.集合間關系與集合運算. 例2 設集合，，則等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】M＝，N＝，故＝ 考點：1.簡單不等式的解法；2.對數(shù)函數(shù)的性質；3.集合的運算. (2)基本初

13、等函數(shù)與基本不等式交匯 例1【成都石室中學2014屆高三上期“一診”模擬考試（一）】已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為 . 【答案】3 【解析】由題意得：. 考點：1.二次函數(shù)的圖象和性質；2.基本不等式. 【考點分類】 熱點1 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 1. 【2015高考四川，理8】設a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的 （ ） （A） 充要條件 （B）充分不必要條件 （C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 考點:1.充要條件；2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質. 2. 設，函數(shù)在單調遞

14、減，則（ ） A．在上單調遞減，在上單調遞增 B．在上單調遞增，在上單調遞減 C．在上單調遞增，在上單調遞增 D．在上單調遞減，在上單調遞減 【答案】A 【解析】由的圖像可知，函數(shù)在在上單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，因函數(shù)在單調遞減，故根據(jù)同增異減可知，故答案為A． 考點：1.對數(shù)函數(shù)的性質；2.復合函數(shù)的單調性. 3.【2014遼寧高考理第3題】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：所以，故選C. 考點：1.指數(shù)對數(shù)化簡；2.不等式大小比較. 4. 下列函數(shù)中，在內單調遞減，并且是偶函數(shù)的是（ ）

15、 A． B． C． D． 【答案】C 考點：函數(shù)奇偶性與單調性． 【方法規(guī)律】 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸納為內層函數(shù)相關的問題加以解決． 2.對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并． (2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. 3．比較對

16、數(shù)值大小時若底數(shù)相同，構造相應的對數(shù)函數(shù)，利用單調性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較． 4．利用對數(shù)函數(shù)的性質，求與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的． 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調性和特殊點判斷 2.指數(shù)形式的幾個數(shù)字比大小要注意構造相應的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較． 4．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1

17、)的性質和a的取值有關，一定要分清a>1與0<a<1. 5．對和復合函數(shù)有關的問題，要弄清復合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復合而成． 【易錯點睛】 1. 求解復合函數(shù)的單調性要注意“同增異減”的應用 2. 涉及到對數(shù)函數(shù)的運算是要首先考慮其定義域 3.恒成立問題一般與函數(shù)最值有關，要與方程有解區(qū)別開來． 4.復合函數(shù)的問題，一定要注意函數(shù)的定義域． 5.對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應注意換元后“新元”的范圍. 6.在運算性質logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件

18、，在無M＞0的條件下應為logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α為偶數(shù))． 7.解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值 例1：方程的解是_________. 【答案】 【解析】,,,. 【易錯點】應用換元法的時候要注意選取合適的元，且要注意元的取值范圍 例2：設a＞0且a≠1，函數(shù)f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，則不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為________． 【答案】{x|2＜x＜3} 【解析】∵函數(shù)y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0

19、＜a＜1. ∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為{x|2＜x＜3}． 【易錯點】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中注意討論底數(shù)a的大小，復合函數(shù)的單調性往往也和a的取值有關 熱點2 冪函數(shù)、二次函數(shù) 1. 【2015高考天津，理8】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考點:求函數(shù)解析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結合. 2.【2014高考江蘇卷第10題】已知函數(shù)，若對于任意的都

20、有，則實數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【解析】據(jù)題意解得． 考點:二次函數(shù)的性質． 3.【2014浙江高考理第15題】設函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是______ 【答案】 考點：1.分段函數(shù)；2.二次函數(shù)的性質. 4.【2014高考上海理科第9題】若，則滿足的取值范圍是 . 【答案】 【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質，由于，所以當時，當時，，因此的解集為. 考點：冪函數(shù)的性質. 【方法規(guī)律】 1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關； 2.常結合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取

21、得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉化．一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質求解． 3.冪函數(shù)y＝xα的圖象與性質由于α的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查 (1)α的正負：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． (2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α<1時，

22、曲線上凸；α<0時，曲線下凸． 4．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規(guī)律： (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質求解． 5．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 【解題技巧】 2. 做二次函數(shù)類型題是注意數(shù)形結合的應用，畫出函數(shù)的草圖能幫助我們理清

23、思路 3. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù)，往往要進行分類討論 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 2.冪函數(shù)的增減與α的關系 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0

24、和a≠0兩種情況． 例 如圖是函數(shù)(m、n∈N*，m、n互質)的圖象，則下列判斷正確的是________． ①m、n是奇數(shù)，且＜1 ②m是偶數(shù)，n是奇數(shù)且＞1 ③m是偶數(shù)，n是奇數(shù)且＜1 ④m是奇數(shù)，n是偶數(shù)且＞1 解析：將分數(shù)指數(shù)式化為根式，由定義域為R，值域為[0，＋∞)知n為奇數(shù)，m為偶數(shù)，又由冪函數(shù)y＝xα，當α＞1時，圖象在第一象限的部分下凸，當0＜α＜1時，圖象在第一象限的部分上凸，故③正確． 答案：③ 【易錯點】冪函數(shù)的單調性和a有關，注意a與0和1的比較 【熱點預測】 1.函數(shù)的單調增區(qū)間與值域相同，則實數(shù)的取值為( ) A． B．

25、 C． D． 【答案】B 【解析】函數(shù)的單調增區(qū)間為當為函數(shù)的最小值，故有 2.函數(shù)的圖象過一個定點P，且點P在直線上，則的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25 【答案】D 3.已知函數(shù),且函數(shù)恰有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，其頂點為，點在函數(shù)圖象上，而點不在函數(shù)圖象上.結合圖形可知，當，函數(shù)恰有3個不同的零點. 4.已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是 ( ) A．； B

26、．； C．； D．. 【答案】C 5.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的以2為周期的偶函數(shù)，當時，.若直線與函數(shù)的圖像在內恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)的值是( ) A．或； B．0； C．0或； D．0或. 【答案】D 【解析】根據(jù)已知可得函數(shù)，在直角坐標系中作出它的圖象，如圖，再作直線，可見當直線與拋物線相切時，或者直線過原點時，符合題意，此時或. 6.【河南省安陽一中2015屆高三第一次月考】設函數(shù)在區(qū)間內有零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】Ｃ 7.【北京市重點中學2015屆高三8月開學測試】函數(shù)的零點個數(shù)

27、為（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：令，則，即，如圖，分別作出與的圖象，則可知有兩個交點，即零點個數(shù)為兩個. 8.【2014天津高考理第4題】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 9.【2015高考浙江，理12】若，則 ． 【答案】. 【解析】∵，∴，∴. 10.【2015高考上海，理7】方程的解為 ． 【答案】 【解析】設，則 11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的定義域為 【答案】 【解析】

28、 本題定義域不確定，不要用奇函數(shù)的必要條件來求參數(shù)，而就根據(jù)奇函數(shù)的定義有，即，化簡得恒成立，所以，則.由，解得. 12.【2015高考湖南，理15】已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是 . 【答案】. 13.【2015高考四川，理15】已知函數(shù)，（其中）.對于不相等的實數(shù)，設，.現(xiàn)有如下命題： （1）對于任意不相等的實數(shù)，都有； （2）對于任意的a及任意不相等的實數(shù)，都有； （3）對于任意的a，存在不相等的實數(shù)，使得； （4）對于任意的a，存在不相等的實數(shù)，使得. 其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）. 【

29、答案】①④ 【解析】 設. 對（1），從的圖象可看出，恒成立，故正確. 對（2），直線CD的斜率可為負，即，故不正確. 對（3），由m=n得，即. 令，則. 由得：，作出的圖象知，方程不一定有解，所以不一定有極值點，即對于任意的a，不一定存在不相等的實數(shù)，使得，即不一定存在不相等的實數(shù)，使得.故不正確. 對（4），由m=－n得，即. 令，則. 由得：，作出的圖象知，方程必一定有解，所以一定有極值點，即對于任意的a，一定存在不相等的實數(shù)，使得，即一定存在不相等的實數(shù)，使得.故正確. 所以（1）（4） 14.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值. （1） 證明：當時，； （2）當，滿足，求的最大值. 【答案】（1）詳見解析；（2）. ，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為.