高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案38
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1、 精品資料 學(xué)案38 直接證明與間接證明 導(dǎo)學(xué)目標: 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程及特點.2.了解間接證明的一種基本方法——反證法,了解反證法的思考過程及特點. 自主梳理 1.直接證明 (1)綜合法 ①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的________,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論________,這種證明方法叫做綜合法. ②框圖表示:→→→…→(其中P表示已知條件,Q表示要證的結(jié)論). (2)分析法 ①定義:從_______________
2、_出發(fā),逐步尋求使它成立的__________,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等).這種證明的方法叫做分析法. ②框圖表示:→→→…→. 2.間接證明 反證法:假設(shè)原命題__________(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出________,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. 自我檢測 1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 2.(2011揭陽模擬)用反證法證明“如果a>b,
3、那么>”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是( ) A.= B.< C.=且< D.=或< 3.設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是( ) A.|a-c|≤|a-b|+|c-b| B.a(chǎn)2+≥a+ C.-<- D.|a-b|+≥2 4.(2010廣東)在集合{a,b,c,d}上定義兩種運算⊕和?如下: 那么d?(a⊕c)等于( ) A.a(chǎn) B.b C.c D.d 5.(2011東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、z∈R+,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a、b、c三數(shù)( ) A.至少有一個不大于2 B.都小于2 C.至少有一個
4、不小于2 D.都大于2 探究點一 綜合法 例1 已知a,b,c都是實數(shù),求證:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca. 變式遷移1 設(shè)a,b,c>0,證明: ++≥a+b+c. 探究點二 分析法 例2 (2011馬鞍山月考)若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證: lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 變式遷移2 已知a>0,求證: -≥a+-2. 探究點三 反證法 例3 若x,y都是正實數(shù),且x+y>2, 求證:
5、<2與<2中至少有一個成立. 變式遷移3 若a,b,c均為實數(shù),且a=x2-2y+,b=y(tǒng)2-2z+,c=z2-2x+.求證:a,b,c中至少有一個大于0. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例 (12分)(2010上海改編)若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m. (1)若x2-1比1遠離0,求x的取值范圍. (2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠離2ab. 多角度審題 (1)本題屬新定義題,根據(jù)“遠離”的含義列出不等式,然后加以求解. (2)第(2)小題,
6、實質(zhì)是證明不等式|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|成立.證明時注意提取公因式及配方法的運用. 【答題模板】 (1)解 由題意得>1, 即x2-1>1或x2-1<-1.[2分] 由x2-1>1,得x2>2,即x<-或x>;由x2-1<-1,得x∈?. 綜上可知x的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞).[4分] (2)證明 由題意知即證>成立.[6分] ∵a≠b,且a、b都為正數(shù), ∴===(a-b)2, ==ab(-)2=(a-b)2,[8分] 即證(a-b)2-(a-b)2>0, 即證(a-b-a+b)(a-b+a-b)>0, 需證>0,[10分] 即證
7、(a+b)(a-b)2>0,∵a、b都為正數(shù)且a≠b,∴上式成立.故原命題成立.[12分] 【突破思維障礙】 1.準確理解題意,提煉出相應(yīng)不等式是解決問題的關(guān)鍵. 2.代數(shù)式|a3+b3-2ab|與|a2b+ab2-2ab|中的絕對值符號去掉為后續(xù)等價變形提供了方便. 【易錯點剖析】 1.推理論證能力較差,絕對值符號不會去. 2.運用能力較差,不能有效地進行式子的等價變形或中間變形出錯. 1.綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的推理,最后達到待證的結(jié)論.即由因?qū)Ч? 2.分析法是從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件,最后達到題設(shè)的已
8、知條件或已被證明的事實.即執(zhí)果索因,用分析法尋找解題思路,再用綜合法書寫,這樣比較有條理,叫分析綜合法. 3.用反證法證明問題的一般步驟: (1)反設(shè):假定所要證的結(jié)論不成立,即結(jié)論的反面(否定命題)成立;(否定結(jié)論) (2)歸謬:將“反設(shè)”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾;(推導(dǎo)矛盾) (3)結(jié)論:因為推理正確,所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然結(jié)論的反面不成立,從而肯定了結(jié)論成立.(結(jié)論成立) (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方
9、程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)”時,下列假設(shè)中正確的是( ) A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù) B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) C.假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù) D.假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù) 2.(2011濟南模擬)a,b,c為互不相等的正數(shù),且a2+c2=2bc,則下列關(guān)系中可能成立的是( ) A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a(chǎn)>c>b 3.設(shè)a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的( ) A.充分而不必要條
10、件 B.必要而不充分條件 C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件 4.(2010上海普陀2月統(tǒng)考)已知a、b是非零實數(shù),且a>b,則下列不等式中成立的是( ) A.<1 B.a(chǎn)2>b2 C.|a+b|>|a-b| D.> 5.(2011廈門月考)如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則( ) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形 D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2
11、C2是鈍角三角形 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2011江蘇前黃高級中學(xué)模擬)某同學(xué)準備用反證法證明如下一個問題:函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是______________________________. 7.對于任意實數(shù)a,b定義運算a*b=(a+1)(b+1)-1,給出以下結(jié)論: ①對于任意實數(shù)a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②對于任意實數(shù)a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)
12、*c; ③對于任意實數(shù)a,有a*0=a.則以上結(jié)論正確的是________.(寫出你認為正確的結(jié)論的所有序號) 8.(2011揭陽模擬)已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示:在原三棱錐中給出下列命題: ①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC. 其中命題正確的是________(填序號). 三、解答題(共38分) 9.(12分)已知非零向量a、b,a⊥b,求證:≤. 10.(12分)(2011寧波月考)已知a、b、c>0,求證:a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).
13、 11.(14分)(2011寧波月考)已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于. 學(xué)案38 直接證明與間接證明 自主梳理 1.(1)①推理論證 成立 (2)①要證明的結(jié)論 充分條件 2.不成立 矛盾 自我檢測 1.A [由分析法的定義可知.] 2.D [因為>的否定是≤, 即=或<.] 3.D [D選項成立時需得證a-b>0.A中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|,B作差可證; C移項平方可證.] 4.A [由所給的定義運算知a⊕c=c
14、,d?c=a.] 5.C [a+b+c=x++y++z+≥6, 因此a、b、c至少有一個不小于2.] 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 綜合法證明不等式,要特別注意基本不等式的運用和對題設(shè)條件的運用.這里可從基本不等式相加的角度先證得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立,再進一步得出結(jié)論. 證明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca) =(a+b+c)2. ∴a2+b2+c2≥(a+b+c)2; ∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
15、 ∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) ≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca), ∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca). ∴原命題得證. 變式遷移1 證明 ∵a,b,c>0,根據(jù)基本不等式, 有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c. 三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c). 即++≥a+b+c. 例2 解題導(dǎo)引 當(dāng)所給的條件簡單,而所證的結(jié)論復(fù)雜,一般采用分析法.含有根號、對數(shù)符號、絕對值的不等式,若從題設(shè)不易推導(dǎo)時,可以考慮分析法. 證明 要證lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c, 只需證lg>lg(abc), 只需證>abc.(中間結(jié)果)
16、 因為a,b,c是不全相等的正數(shù), 則≥>0,≥>0,≥>0. 且上述三式中的等號不全成立, 所以>abc.(中間結(jié)果) 所以lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 變式遷移2 證明 要證 -≥a+-2, 只要證 +2≥a++. ∵a>0,故只要證 2≥2, 即a2++4 +4 ≥a2+2++2+2, 從而只要證2≥, 只要證4≥2, 即a2+≥2,而該不等式顯然成立,故原不等式成立. 例3 解題導(dǎo)引 (1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是①與已知條件矛盾,
17、②與假設(shè)矛盾,③與定義、公理、定理矛盾,④與事實矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器. (2)利用反證法證明問題時,要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理,否則,將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤. 證明 假設(shè)<2和<2都不成立, 則有≥2和≥2同時成立, 因為x>0且y>0, 所以1+x≥2y,且1+y≥2x, 兩式相加,得2+x+y≥2x+2y, 所以x+y≤2, 這與已知條件x+y>2相矛盾, 因此<2與<2中至少有一個成立. 變式遷移3 證明 假設(shè)a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0. ∵a=x2-2y+,b=y(tǒng)
18、2-2z+,c=z2-2x+, ∴x2-2y++y2-2z++z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0,① 又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π-3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.② ①式與②式矛盾,∴假設(shè)不成立,即a,b,c中至少有一個大于0. 課后練習(xí)區(qū) 1.B 2.C [由a2+c2>2ac?2bc>2ac?b>a,可排除A、D,令a=2,c=1,可得b=,可知C可能成立.] 3.C [必要性是顯然成立的,當(dāng)PQR>0時,若P、Q、R不同時大于零,則其中兩個為負,一個為正,不妨設(shè)P>0,
19、Q<0,R<0,則Q+R=2c<0,這與c>0矛盾,即充分性也成立.] 4.D [<1?<0?a(a-b)>0. ∵a>b,∴a-b>0.而a可能大于0,也可能小于0, 因此a(a-b)>0不一定成立,即A不一定成立; a2>b2?(a-b)(a+b)>0,∵a-b>0,只有當(dāng)a+b>0時,a2>b2成立,故B不一定成立; |a+b|>|a-b|?(a+b)2>(a-b)2?ab>0, 而ab<0也有可能,故C不一定成立; 由于>?>0?(a-b)a2b2>0. ∵a,b非零,a>b,∴上式一定成立,因此只有D正確.] 5.D [由條件知,△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大
20、于0,則△A1B1C1是銳角三角形,假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形, 由得 那么,A2+B2+C2=, 這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以△A2B2C2是鈍角三角形.] 6.“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|, 則|f(x1)-f(x2)|≥” 7.②③ 解析 按新定義,可以驗證a*(b+c)≠(a*b)+(a*c); 所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立, a*0=(a+1)(0+1)-1=a. 所以正確的結(jié)論是②③. 8.① 解析 由三視圖知,在三棱錐S—ABC中,底面ABC為直角三角形且∠
21、ACB=90,即BC⊥AC, 又SA⊥底面ABC, ∴BC⊥SA,由于SA∩AC=A, ∴BC⊥平面SAC. 所以命題①正確. 由已知推證不出②③命題正確.故填①. 9.證明 ∵a⊥b,∴ab=0.(2分) 要證≤,只需證:|a|+|b|≤|a-b|,(4分) 平方得:|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2ab),(8分) 只需證:|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,(10分) 即(|a|-|b|)2≥0,顯然成立.故原不等式得證. (12分) 10.證明 ∵a2+b2≥2ab,a、b、c>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),
22、(3分) ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2.(6分) 同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 將三式相加得, 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分) ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). ∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分) 11.證明 方法一 假設(shè)三式同時大于, 即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,(3分) ∵a、b、c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>. (8分) 又(1-a)a≤2=,(10分) 同理(1-b)b≤,(1-c)c≤, ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,(12分) 這與假設(shè)矛盾,故原命題正確.(14分) 方法二 假設(shè)三式同時大于, ∵00,(2分) ≥ > =,(8分) 同理>,>,(10分) 三式相加得>,這是矛盾的,故假設(shè)錯誤, ∴原命題正確.(14分)
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