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高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性

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1、 精品資料 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 一、選擇題 1.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)等于(  ). A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析 由f(-0)=-f(0),即f(0)=0.則b=-1, f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案 D 2.已知定義在R上的奇函數(shù),f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為 (  ). A.-1

2、 B.0 C.1 D.2 解析 (構(gòu)造法)構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin x,則有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x),所以f(x)=sin x是一個滿足條件的函數(shù),所以f(6)=sin 3π=0,故選B. 答案 B 3.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,5]時,f(x)=2-|x-4|,則下列不等式一定成立的是 (  ). A.f>f B.f(sin 1)f(sin 2) 解析

3、 當(dāng)x∈[-1,1]時,x+4∈[3,5],由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|, 顯然當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)為減函數(shù),cos=-,sin =>,又f=f>f,所以f>f. 答案 A 4.已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)是 (  ). A.偶函數(shù),且單調(diào)遞增 B.偶函數(shù),且單調(diào)遞減 C.奇函數(shù),且單調(diào)遞增 D.奇函數(shù),且單調(diào)遞減 解析 當(dāng)x>0時,f(-x)=2-x-1=-f(x);當(dāng)x<0時,f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).當(dāng)x=0時,f(0)=0,故f(x)為奇函數(shù),

4、且f(x)=1-2-x在[0,+∞)上為增函數(shù),f(x)=2x-1在(-∞,0)上為增函數(shù),又x≥0時1-2-x≥0,x<0時2x-1<0,故f(x)為R上的增函數(shù). 答案 C 5.已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數(shù),當(dāng)x∈[0,1)時,f(x)=4x-1,則f(-5.5)的值為(  ) A.2 B.-1 C.- D.1 解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1. 答案 D 6.設(shè)函數(shù)D(x)=則下列結(jié)論錯誤的是 (  ). A.D(x)的值域為{0

5、,1} B.D(x)是偶函數(shù) C.D(x)不是周期函數(shù) D.D(x)不是單調(diào)函數(shù) 解析 顯然D(x)不單調(diào),且D(x)的值域為{0,1},因此選項A、D正確.若x是無理數(shù),-x,x+1是無理數(shù);若x是有理數(shù),-x,x+1也是有理數(shù).∴D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).則D(x)是偶函數(shù),D(x)為周期函數(shù),B正確,C錯誤. 答案 C 二、填空題 7.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實數(shù)a=________. 解析 由題意知,函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 答案 0

6、 8.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=________. 解析 因為y=f(x)+x2是奇函數(shù),且x=1時,y=2,所以當(dāng)x=-1時,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2,得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1 9.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[-5,5],當(dāng)x∈[0,5]時,函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為________. 解析 由原函數(shù)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,由y=f(x)在[0,5]上的圖象,得它在[-5,0]上

7、的圖象,如圖所示.由圖象知,使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 10. 設(shè)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時是單調(diào)函數(shù),則滿足f(2x)=f的所有x之和為________. 解析 ∵f(x)是偶函數(shù),f(2x)=f, ∴f(|2x|)=f, 又∵f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)函數(shù), ∴|2x|=, 即2x=或2x=-, 整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0, 設(shè)方程2x2+7x-1=0的兩根為x1,x2,方程2x2+9x+1=0的兩根為x3,x4. 則(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8. 答案 -

8、8 三、解答題 11.已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對任意x,y,f(x)都滿足f(xy)=y(tǒng)f(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性. 解 (1)因為對定義域內(nèi)任意x,y,f(x)滿足f(xy)=y(tǒng)f(x)+xf(y),所以令x=y(tǒng)=1,得f(1)=0,令x=y(tǒng)=-1,得f(-1)=0. (2)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù). 12.已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0

9、時,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求證f(x)是奇函數(shù); (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)證明 令x=y(tǒng)=0,知f(0)=0;再令y=-x, 則f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)為奇函數(shù). (2)解 任取x1<x2,則x2-x1>0,所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)為減函數(shù).而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. 所以f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 13.已知函數(shù)f(

10、x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x-1, (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)當(dāng)x∈[1,2]時,求f(x)的解析式; (3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 解析 (1)證明 函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,則f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù). (2) 當(dāng)x∈[1,2]時,2-x∈[0,1], 又f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,則f(x

11、)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3) ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又f(x)是以4為周期的周期函數(shù). ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 14.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足f(x+2)=-f(x). (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)若f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的個數(shù). (1)證明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x

12、+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù). (2)解 當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x, 設(shè)-1≤x≤0,則0≤-x≤1, ∴f(-x)=(-x)=-x. ∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x,即f(x)=x. 故f(x)=x(-1≤x≤1). 又設(shè)1

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