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1、 精品資料
第3講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=2sin xcos x是( ).
A.最小正周期為2 π的奇函數(shù)
B.最小正周期為2 π的偶函數(shù)
C.最小正周期為π的奇函數(shù)
D.最小正周期為π的偶函數(shù)
解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù).
答案 C
2.已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函數(shù),則θ的值為
( ).
A.0 B. C. D.
解析 據(jù)已知可得f(x)=2sin,若函數(shù)為偶函數(shù),則必
2、有θ+=kπ+(k∈Z),又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意.
答案 B
3.函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 ( ).
A.2- B.0 C.-1 D.-1-
解析 ∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴-≤sin≤1,∴-≤2sin≤2.∴函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2-.
答案 A
4.函數(shù)f(x)=(1+tan x)cos x的最小正周期為( ).
A.2π B. C.π D.
解析 依題意,得f(x)=cos x+s
3、in x=2sin.故最小正周期為2π.
答案 A
5.函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域?yàn)? ).
A.[-1,1] B.
C. D.
解析 (數(shù)形結(jié)合法)y=sin2x+sin x-1,令sin x=t,則有y=t2+t-1,t∈[-1,1],畫出函數(shù)圖像如圖所示,從圖像可以看出,當(dāng)t=-及t=1時(shí),函數(shù)取最值,代入y=t2+t-1可得y∈.
答案 C
6.已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸,則φ= ( ).
A. B. C.
4、 D.
解析 由題意可知函數(shù)f(x)的周期T=2×=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),令x+φ=kπ+(k∈Z),將x=代入可得φ=kπ+(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=.
答案 A
二、填空題
7.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sin x,則f的值為________.
解析 f=f=f=sin =.
答案
8.函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=________.
解析 (構(gòu)造法)根據(jù)分子和分母同次的特點(diǎn),把分子展開,得到部分分式,f(x)=1+,f(x)-1
5、為奇函數(shù),則m-1=-(M-1),所以M+m=2.
答案 2
9.已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,則f(x)的值域是________.
解析 f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|
=
畫出函數(shù)f(x)的圖象,可得函數(shù)的最小值為-1,最大值為,故值域?yàn)?
答案
10.下列命題中:
①α=2kπ+(k∈Z)是tan α=的充分不必要條件;
②函數(shù)f(x)=|2cos x-1|的最小正周期是π;
③在△ABC中,若cos Acos B>sin Asin B,則△ABC為鈍角三角形;
④若a+b=0
6、,則函數(shù)y=asin x-bcos x的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=.
其中是真命題的序號(hào)為________.
解析?、佟擀粒?kπ+(k∈Z)?tan α=,
而tan α=?/ α=2kπ+(k∈Z),∴①正確.
②∵f(x+π)=|2cos(x+π)-1|
=|-2cos x-1|=|2cos x+1|≠f(x),∴②錯(cuò)誤.
③∵cos Acos B>sin Asin B,∴cos Acos B-sin Asin B>0,
即cos(A+B)>0,∵0<A+B<π,∴0<A+B<,
∴C為鈍角,∴③正確.
④∵a+b=0,∴b=-
7、a,
y=asin x-bcos x=asin x+acos x=asin,
∴x=是它的一條對(duì)稱軸,∴④正確.
答案?、佗邰?
三、解答題
11. 已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及值域;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解 (1)f(x)=sin2x+cos2x=sin,
則函數(shù)f(x)的最小正周期是π,
函數(shù)f(x)的值域是.
(2)依題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
則kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z).
12.已知函數(shù)f(x)=cos+2sinsin.
8、
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.
解 (1)f(x)=cos+2sinsin
=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x
=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin.
∴最小正周期T==π,由2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z).
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=+(k∈Z).
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴-≤sin≤1.
即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?
13.已知函數(shù)f(x)=coscos,g(x)=si
9、n 2x-.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
解 (1)∵f(x)=coscos
=·
=cos2x-sin2x=-
=cos 2x-,
∴f(x)的最小正周期為=π.
(2)由(1)知
h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-sin 2x=cos,
當(dāng)2x+=2kπ(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)時(shí),h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值時(shí),對(duì)應(yīng)的x的集合為
.
14.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時(shí),-5≤f(x)≤1.
(1)求
10、常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,又∵a >0,
∴-2asin∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.
綜上,g(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z);遞減區(qū)間為(k∈Z).