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【名校資料】人教A版理科數(shù)學高效訓練:55 數(shù)列的綜合應用

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ [A組 基礎演練能力提升] 一、選擇題 1.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b8+a9=(  ) A.24          B.32 C.48 D.64 解析:依題意有,an+an+1=bn,anan+1=2n,又a1=1,故a2=2,a3=2,a4=22,a5=22,a6=23,a7=23,a8=24,a9=24,故b8+a9=(a8+a9)+a9=a8+2a9=324=48. 答案:C 2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,

2、其公比q≠1,若a4=b4,a12=b12,則(  ) A.a(chǎn)8=b8 B.a(chǎn)8>b8 C.a(chǎn)8b8或a8 = =b8. 答案:B 3.已知正項等差數(shù)列{an}滿足:an+1+an-1=a(n≥2),等比數(shù)列{bn}滿足:bn+1bn-1=2bn(n≥2),則log2(a2+b2)=(  ) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.1 解析:由題意可知,an+1+an-1=2an=a,解得an=2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù)),又bn+1bn-1

3、=b=2bn(n≥2),所以bn=2(n≥2),log2(a2+b2)=log24=2. 答案:C 4.(2013年高考遼寧卷)下面是關于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題: P1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; P2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; P3:數(shù)列{}是遞增數(shù)列; P4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為(  ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 解析:設an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是遞增數(shù)列,所以p1為真命題;若an=3n-12,則滿足已知,但nan=3n2-12n并非遞增數(shù)列,所以p2為假命題;若a

4、n=n+1,則滿足已知,但=1+是遞減數(shù)列,所以p3為假命題;設an+3nd=4dn+a1-d,它是遞增數(shù)列,所以p4為真命題. 答案:D[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 5.(2014年保定調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差數(shù)列,若b=,則a+c的最大值為(  ) A. B.3 C.2 D.9[來源:] 解析:∵acos C,bcos B,ccos A成等差數(shù)列, ∴2bcos B=acos C+ccos A, ∴cos B=,b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-32=,即3≥,當

5、且僅當a=c時,等號成立, ∴a+c≤2. 答案:C 6.若關于x的方程x2-x+a=0與x2-x+b=0(a≠b)的四個根組成首項為的等差數(shù)列,則a+b的值是(  ) A. B. C. D. 解析:設兩個方程的根分別為x1、x4和x2、x3. 因為x1+x4=x2+x3=1,所以x1=,x4=,從而x2=,x3=. 則a=x1x4=,b=x2x3=,或a=,b=,∴a+b=+=. 答案:D 二、填空題 7.(2013年高考重慶卷)已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=________. 解析:因為

6、{an}為等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2a1=2,所以S8=64. 答案:64 8.《九章算術》之后,人們進一步用等差數(shù)列求和公式來解決更多的問題,《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計),共織390尺布”,則每天比前一天多織________尺布.(不作近似計算) 解析:由題意知,a1=5,n=30,Sn=390=305+d?d=. 答案: 9.(2014年合肥模擬)已知數(shù)列{an}滿足anan+1an+2an+3=24,且a1=

7、1,a2=2,a3=3,則a1+a2+a3+…+a2 013=________.[來源:] 解析:由anan+1an+2an+3=24可知,an+1an+2an+3an+4=24,得an+4=an,所以數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列,再令n=1,求得a4=4,每四個一組可得(a1+a2+a3+a4)+…+(a2 009+a2 010+a2 011+a2 012)+a2 013=10503+1=5 031. 答案:5 031 三、解答題 10.(2014年大同模擬)已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項和S6=21,且4a1,a2,a2成等差數(shù)列. (1)求an; (2)設{bn}是首

8、項為2,公差為-a1的等差數(shù)列,其前n項和為Tn,求不等式Tn-bn>0的解集. 解析:(1)∵4a1,a2,a2成等差數(shù)列,∴4a1+a2=3a2, 即4a1=2a2,∴q=2. 則S6==21,解得a1=,∴an=. (2)由(1)得-a1=-, ∴bn=2+(n-1)=, Tn=2n+(n-1)=, ∴Tn-bn>0,即->0,解得10的解集為{n∈N*|1

9、nlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值. 解析:(1)設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,依題意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴a2+a4=20, ∴,解得或.又數(shù)列{an}單調(diào)遞增,∴q=2,a1=2,∴an=2n. (2)由題意知bn=2nlog2n=-n2n,∴-Sn=12+222+323+…+n2n,① ∴-2Sn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1,② ∴①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-n2n+1-2, ∵Sn

10、+n2n+1>50,∴2n+1-2>50,∴2n+1>52,又當n≤4時,2n+1≤25=32<52,當n≥5時,2n+1≥26=64>52.故使Sn+n2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5. 12.(能力提升)(2013年高考廣東卷)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*. (1)求a2的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式; (3)證明:對一切正整數(shù)n,有++…+<. 解析:(1)依題意,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4. (2)當n≥2時,2Sn=nan+1-n3-n2-n, 2Sn-1=(n-1)an-(n-

11、1)3-(n-1)2-(n-1), 兩式相減得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-, 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1, 故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,[來源:] 所以=1+(n-1)1=n,所以an=n2. (3)證明:當n=1時,=1<; 當n=2時,+=1+=<; 當n≥3時,=<=-,此時 ++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<. 綜上,對一切正整數(shù)n,有++…+<. [B組 因材施教備選練習] 1.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差數(shù)

12、列,則q的值為(  ) A. B. C. D.或 解析:∵a2,a3,a1成等差數(shù)列,∴a3=a1+a2,∴q2=1+q,∴q=或q=,等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),∴q=不滿足題意,舍去,∴q=. 答案:C[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 2.(2014年成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為(  ) A.0 B.-9 C.9 D.1 解析:由數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*可知該數(shù)列是等差數(shù)列,根據(jù)題意可知只要該

13、數(shù)列中a5=,數(shù)列{yn}的前9項和就能計算得到一個定值,又因為f(x)=sin 2x+1+cos x,則可令數(shù)列{an}的公差為0,則數(shù)列{yn}的前9項和為S9=(sin 2a1+sin 2a2+…+sin 2a9)+(cos a1+cos a2+…+cos a9)+9=9sin 2a5+9cos a5+9=9sin+9cos +9=9. 答案:C 3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設數(shù)列的前n項和為Tn,不等式Tn>loga(1-a)對任意正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

14、 解析:(1)∵點(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上, ∴Sn=n2+n,① 當n≥2時,Sn-1=(n-1)2+(n-1),② ①-②得an=n. 當n=1時,a1=S1=+=1,符合上式, ∴an=n. (2)由(1)得==, ∴Tn=+++…+ =+++… ++ ==-. ∵Tn+1-Tn=>0,∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增. ∴(Tn)min=T1=. 要使不等式Tn>loga(1-a)對任意正整數(shù)n恒成立,只要>loga(1-a)即可. ∵1-a>0,∴0a,即0

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