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1、 精品資料
學案34 基本不等式及其應(yīng)用
導學目標: 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
自主梳理
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件:__________.
(2)等號成立的條件:當且僅當______時取等號.
2.幾個重要的不等式
(1)a2+b2≥______ (a,b∈R).
(2)+≥____(a,b同號).
(3)ab≤2 (a,b∈R).
(4)2____.
3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為
2、__________,幾何平均數(shù)為________,基本不等式可敘述為:____________________________________.
4.利用基本不等式求最值問題
已知x>0,y>0,則
(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當______時,x+y有最____值是______(簡記:積定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當______時,xy有最____值是________(簡記:和定積最大).
自我檢測
1.“a>b>0”是“ab<”的______________條件.
2.已知函數(shù)f(x)=x,a、b∈(0,+∞),
3、A=f,B=f(),C=f,則A、B、C的大小關(guān)系是______________.
3.下列函數(shù)中,最小值為4的函數(shù)是________(填上正確的序號).
①y=x+;
②y=sin x+(0<x<π);
③y=ex+4e-x;
④y=log3x+logx81.
4.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+-1(x<0),則f(x)最大值為______________.
5.(2010·山東)若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍為________.
探究點一 利用基本不等式求最值
例1 (1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最
4、小值;
(2)已知x<,求函數(shù)y=4x-2+的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
變式遷移1 (2011·重慶改編)已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是________.
探究點二 基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用
例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1+)(1+)≥9.
變式遷移2 已知x>0,y>0,z>0.
求證:≥8.
探究點三 基本不等式的實際應(yīng)用
例3
5、(2010·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬元購得一塊空地,計劃在該空地上建造一棟至少10層,每層2 000平方米的樓房.經(jīng)測算,如果將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位:元).
(1)寫出樓房平均綜合費用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該樓房應(yīng)建造多少層時,可使樓房每平方米的平均綜合費用最少?最少值是多少?
(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用=)
變式遷移3 某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動,經(jīng)過市場調(diào)查和測算
6、,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例,如果不搞促銷活動,化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用,若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和,則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.
(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù).
(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大?
(注:利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費,生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用)
1.a(chǎn)2+b2≥2
7、ab對a、b∈R都成立;≥成立的條件是a≥0,b≥0;+≥2成立的條件是ab>0,即a,b同號.
2.利用基本不等式求最值必須滿足一正、二定、三相等三個條件,并且和為定值時,積有最大值,積為定值時,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值時,若等號不成立,應(yīng)改用單調(diào)性法.一般地函數(shù)y=ax+,當a>0,b<0時,函數(shù)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函數(shù);當a<0,b>0時,函數(shù)在(-∞,0),(0,+∞)上是減函數(shù);當a>0,b>0時函數(shù)在,上是減函數(shù),在,上是增函數(shù);當a<0,b<0時,可作如下變形:y=-來解決最值問題.
8、
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則+的最小值為________.
2.已知不等式(x+y)≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為________.
3.已知a>0,b>0,則++2的最小值是______.
4.(2011·南京模擬)一批貨物隨17列貨車從A市以a km/h的速度勻速直達B市,已知兩地鐵路線長400 km,為了安全,兩列車之間的距離不得小于2 km,那么這批貨物全部運到B市,最快需要________h.
5.設(shè)x,y滿足約束條件,若目標函數(shù)z=ax
9、+by (a>0,b>0)的最大值為12,則+的最小值為________.
6.(2010·浙江)若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是________.
7.(2011·江蘇,8)在平面直角坐標系xOy中,過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)=的圖象交于P,Q兩點,則線段PQ長的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,當x∈R時,f(x)恒為正值,則k的取值范圍為______________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)(1)已知0<x<,求x(4-3x)的最大值;
(2)
10、點(x,y)在直線x+2y=3上移動,求2x+4y的最小值.
10.(14分)經(jīng)觀測,某公路段在某時段內(nèi)的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系y=(v>0).
(1)在該時段內(nèi),當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大?最大車流量為多少?
(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
11.(14分)某加工廠需定期購買原材料,已知每千克原材料的價格為1.5元,每次購買原材料需支付運費600元,每千克原材料每天的保管費用為0.03元,該廠每天需要消
11、耗原材料400千克,每次購買的原材料當天即開始使用(即有400千克不需要保管).
(1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料,試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最小,并求出這個最小值.
學案34 基本不等式及其應(yīng)用
答案
自主梳理
1.(1)a≥0,b≥0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤
3. 兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 4.(1)x=y(tǒng) 小 2 (2)x=y(tǒng) 大
自我檢測
1.充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.-2
12、-1
5.[,+∞)
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化,使用基本不等式求最值時,給定的形式不一定能直接適合基本不等式,往往需要拆添項或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式),構(gòu)造出基本不等式的形式再進行求解.基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必須驗證等號成立的條件.
解 (1)∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.
當且僅當=時,上式等號成立,又+=1,
∴x=4,y=12時,(x+y)min=16.
(2)∵x<,∴5-4x>0.
y=4x-2+=-+
13、3
≤-2 +3=1,
當且僅當5-4x=,
即x=1時,上式等號成立,故當x=1時,ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1.
∴x+y=(x+y)=10++
=10+2≥10+2×2× =18,
當且僅當=,即x=2y時取等號.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴當x=12,y=6時,x+y取最小值18.
變式遷移1
解析 ∵a+b=2,∴=1.
∴+=(+)()=+(+)≥+2=(當且僅當=,即b=2a時,“=”成立),故y=+的最小值為.
例2 解題導引 “1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用
14、到,也會給解決問題提供簡捷的方法.
在不等式證明時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法.
證明 方法一 因為a>0,b>0,a+b=1,
所以1+=1+=2+.同理1+=2+.
所以(1+)(1+)=(2+)(2+)
=5+2(+)≥5+4=9.
所以(1+)(1+)≥9(當且僅當a=b=時等號成立).
方法二 (1+)(1+)=1+++
=1++=1+,因為a,b為正數(shù),a+b=1,
所以ab≤()2=,于是≥4,≥8,
因此(1+)(1+)≥1+8=9(當且僅當a=b=時等號成立).
變式遷移2 證明 ∵x>0
15、,y>0,z>0,
∴+≥>0,+≥>0,
+≥>0.
∴
≥=8.
當且僅當x=y(tǒng)=z時等號成立.
所以(+)(+)(+)≥8.
例3 解題導引 1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序為:
→→→→
2.在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,要注意以下四點:(1)先理解題意,設(shè)變量,一般把要求最值的變量定為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為函數(shù)最值問題;(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值;(4)正確寫出答案.
解 (1)依題意得
y=(560+48x)+
=560+48x+ (x≥10,x∈N*).
(2)∵x>0,∴48x+≥2=
16、1 440,
當且僅當48x=,即x=15時取到“=”,
此時,平均綜合費用的最小值為560+1 440=2 000(元).
答 當該樓房建造15層時,可使樓房每平方米的平均綜合費用最少,最少值為2 000元.
變式遷移3 解 (1)由題意可設(shè)3-x=,
將t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-.
當年生產(chǎn)x萬件時,
∵年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費用+固定費用,
∴年生產(chǎn)成本為32x+3=32+3.
當銷售x(萬件)時,年銷售收入為
×150%+t.
由題意,生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完,由年利潤=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-促銷費,得年利潤y= (t≥0).
(2)y==
17、50-
≤50-2=50-2=42(萬元),
當且僅當=,即t=7時,ymax=42,
∴當促銷費投入7萬元時,企業(yè)的年利潤最大.
課后練習區(qū)
1.4
2.4
解析 不等式(x+y)≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則1+a++≥a+2+1≥9,
∴≥2或≤-4(舍去).∴正實數(shù)a的最小值為4.
3.4
解析 因為++2≥2+2
=2≥4,當且僅當=且 =,
即a=b=1時,取“=”號.
4.8
解析 第一列貨車到達B市的時間為 h,由于兩列貨車的間距不得小于2 km,所以第17列貨車到達時間為+=+≥8,當且僅當=,即a=100 km/h時成立,所以最快需要8 h.
18、
5.
解析
不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線ax+by=z (a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,目標函數(shù)z=ax+by (a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而+=·=+≥+2=(a=b=時,取“=”).
6.18
解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
xy≥2+6(當且僅當2x=y(tǒng)時,取“=”),
即()2-2-6≥0,
∴(-3)·(+)≥0.
又∵>0,∴≥3,即xy≥18.
故xy的最小值為18.
19、7.4
解析 過原點的直線與f(x)=交于P、Q兩點,則直線的斜率k>0,設(shè)直線方程為y=kx,由得或
∴P(,),Q(-,-)或P(-,-),Q(,).
∴PQ=
=2≥4.
8.(-∞,2-1)
解析 由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2,
∴k+1<2,k<2-1.
9.解 (1)∵0<x<,∴0<3x<4.
∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤2=,(5分)
當且僅當3x=4-3x,即x=時,“=”成立.
∴當x=時,x(4-3x)的最大值為.(
20、7分)
(2)已知點(x,y)在直線x+2y=3上移動,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥2=2=2=4.
(12分)
當且僅當即x=,y=時,“=”成立.
∴當x=,y=時,2x+4y的最小值為4.
(14分)
10.解 (1)y==≤
=≈11.08.(6分)
當v=,即v=40千米/小時時,車流量最大,最大值為11.08千輛/小時.(9分)
(2)據(jù)題意有≥10,(11分)
化簡得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽車的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個范圍內(nèi).
(14分)
11.解 (1)每次購買原材料
21、后,當天用掉的400千克原材料不需要保管費,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用
y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]
=6x2-6x.(6分)
(2)由(1)可知,購買一次原材料的總費用為6x2-6x+600+1.5×400x,
∴購買一次原材料平均每天支付的總費用為
y=(6x2-6x+600)+1.5×400=+6x+594.(9分)
∴y≥2+594=714,(12分)
當且僅當=6x,即x=10時,取等號.
∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最小,且最小為714元.(14分)