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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第二節(jié)直線的交點坐標與距離公式突破熱點題型

上傳人:仙*** 文檔編號:43052033 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?79.50KB
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1、 第二節(jié) 直線的交點坐標與距離公式 考點一 兩直線的交點問題   [來源:] [例1] (1)經(jīng)過直線l1:x+y+1=0與直線l2:x-y+3=0的交點P,且與直線l3:2x-y+2=0垂直的直線l的方程是____________. (2)(2014錦州模擬)當(dāng)0

2、l過直線l1和l2的交點, ∴可設(shè)直線l的方程為x+y+1+λ(x-y+3)=0, 即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0. ∵l與l3垂直, ∴2(1+λ)-(1-λ)=0,解得λ=-. ∴直線l的方程為x+y=0,即x+2y=0. (2)l1與l2的直線方程聯(lián)立得 解方程得 又∵00,故l1與l2的交點在第二象限. [答案] (1)x+2y=0 (2)二 【互動探究】 若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”,試求l的方程.      解:由方程組解得 即點P(2,1).又l∥l3,即k=2,故直線l的方程為y-1=2(x-

3、2), 即2x-y+5=0 【方法規(guī)律】 經(jīng)過兩條直線交點的直線方程的設(shè)法 經(jīng)過兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(這個直線系方程中不包括直線A2x+B2y+C2=0)或m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0. 已知直線l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+=0,分別求滿足下列條件的k的值: (1)l1,l2,l3相交于一點; (2)l1,l2,l3圍成三角形. 解:(1)直線l1,l2的方程聯(lián)立得 解得即直線l1,l2的交點

4、為P(-1,-2). 又點P在直線l3上, 所以-1-2k+k+=0,解得k=-. (2)由(1)知k≠-. 當(dāng)直線l3與l1,l2均相交時,有 解得k≠且k≠-1, 綜上可得k≠-,且k≠,且k≠-1. 考點二 對 稱 問 題   [例2] 已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).求: (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標; (2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程; (3)直線l關(guān)于點A(-1,-2)對稱的直線l′的方程. [自主解答] (1)設(shè)A′(x,y),則由已知得 解得 ∴A′. (2)在直線m上任取一點,如M

5、(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上. 設(shè)對稱點M′(a,b),則 解得 ∴M′. 設(shè)直線m與直線l的交點為N,則 由得N(4,3). 又∵m′經(jīng)過點N(4,3), ∴由兩點式得直線m′的方程為9x-46y+102=0. (3)法一:在l:2x-3y+1=0上任取兩點, 如D(1,1),E(4,3),則D,E關(guān)于點A(-1,-2)的對稱點D′、E′均在直線l′上, 易得D′(-3,-5),E′(-6,-7), 再由兩點式可得l′的方程為2x-3y-9=0. 法二:∵l∥l′, ∴設(shè)l′的方程為2x-3y+C=0(C≠1). ∵點A(-1,-

6、2)到兩直線l,l′的距離相等, ∴由點到直線的距離公式得 =, 解得C=-9, ∴l(xiāng)′的方程為2x-3y-9=0. 法三:設(shè)P(x,y)為l′上任意一點, 則P(x,y)關(guān)于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y), ∵點P′在直線l上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 即2x-3y-9=0. 【方法規(guī)律】 (1)關(guān)于中心對稱問題的處理方法: ①若點M(x1,y1)及N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點坐標公式得 ②直線關(guān)于點的對稱,其主要方法是:在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐

7、標,再由兩點式求出直線方程,或者求出一個對稱點,再利用l1∥l2,由點斜式得到所求直線方程. (2)關(guān)于軸對稱問題的處理方法: ①點關(guān)于直線的對稱 若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,則線段P1P2的中點在l上,而且連接P1P2的直線垂直于l, 由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).[來源:] ②直線關(guān)于直線的對稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行. 直線y=2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若點A(-4,

8、2),B(3,1),求點C的坐標. 解:把A,B兩點的坐標代入y=2x,知A,B不在直線y=2x上,因此y=2x為∠ACB的平分線,設(shè)點A(-4,2)關(guān)于y=2x的對稱點為A′(a,b),則kAA′=,線段AA′的中點坐標為, ∵解得∴A′(4,-2). ∵y=2x是∠ACB平分線所在直線的方程, ∴A′在直線BC上, ∴直線BC的方程為=,即3x+y-10=0. 由解得即C(2,4). 高頻考點 考點三 距離公式的應(yīng)用   1.距離公式包括兩點間的距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離.這三種距離在高考中經(jīng)常體現(xiàn),試題難度不大,多為容易題或中檔題,以選

9、擇、填空的形式呈現(xiàn),有時也會在解答題中有所體現(xiàn). 2.高考中對距離公式的考查主要有以下幾個命題角度: (1)求距離; (2)已知距離求參數(shù)值; (3)求距離的最值. [例3] (1)(2014安康模擬)點P到點A′(1,0)和直線x=-1的距離相等,且P到直線y=x的距離等于,這樣的點P共有(  ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 (2)(2014啟東模擬)l1,l2是分別經(jīng)過A(1,1),B(0,-1)兩點的兩條平行直線,當(dāng)l1,l2間的距離最大時,直線l1的方程是____________. [自主解答] (1)設(shè)點P(x,y),由題意知

10、 =|x+1|,且=, 所以 即① 或② 解①得或 解②得 因此,這樣的點P共有3個. (2)當(dāng)兩條平行直線與A、B兩點連線垂直時,兩條平行直線的距離最大.又kAB==2,所以兩條平行直線的斜率為k=-,所以直線l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. [答案] (1)C (2)x+2y-3=0 與距離有關(guān)問題的常見類型及解題策略[來源:] (1)求距離.利用兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,兩平行線的距離公式直接求解,也可利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離. (2)已知距離求參數(shù)值.可利用距離公式,得出含參數(shù)的方程,解方程即可

11、求解. (3)求距離的最值.可利用距離公式得出距離關(guān)于某個點的函數(shù),利用函數(shù)知識求最值. 1.在△OAB中,O為坐標原點,A(1,cos θ),B(sin θ,1),則△OAB的面積的取值范圍是(  ) A.(0,1] B. C. D. 解析:選D OA的方程為y=cos θx,且|OA|=,而B到OA的距離d==, 所以S△ O A B=|OA|d=(1-sin θcos θ) = =-sin 2θ, 又∵-1≤sin 2θ≤1, ∴≤-sin 2θ≤.[來源:] 2.已知直線l1:mx+8y+n=0與l2:2x+my-1=0互

12、相平行,且l1,l2之間的距離為,求直線l1的方程. 解:因為l1與l2平行, 所以=≠. 解得m=4. 當(dāng)m=4時,l1:4x+8y+n=0,l2:2x+4y-1=0, 兩平行線間的距離d==, 解得n=18或n=-22. 此時l1的方程為4x+8y+18=0或4x+8y-22=0, 即2x+4y+9=0或2x+4y-11=0. 當(dāng)m=-4時,l1:-4x+8y+n=0,l2:2x-4y-1=0, 兩平行線間的距離d==, 解得n=22或n=-18. 此時l1的方程為-4x+8y+22=0或-4x+8y-18=0, 即2x-4y-11=0或2x-4y+9=0. 綜

13、上可知l1的方程為2x+4y+9=0或2x+4y-11=0或2x-4y-11=0或2x-4y+9=0. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1條規(guī)律——與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法  與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 1種思想——轉(zhuǎn)化思想在對稱問題中的應(yīng)用  一般地,對稱問題包括點關(guān)于點的對稱,點關(guān)于直線的對稱,直線關(guān)于點的對稱,直線關(guān)于直線的對稱等情況,上述各種對稱問題最終化歸為點的對稱問題來解決. 2個注意點——判斷直線位置關(guān)系及運用兩平行直線間 的距離公式的注意點  (1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時,首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率,可根據(jù)判定定理判斷,若直線無斜率時,要單獨考慮; (2)運用兩平行直線間的距離公式d=的前提是將兩方程中的x,y的系數(shù)化為對應(yīng)相等.

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