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1、
第二節(jié) 直線的交點坐標(biāo)與距離公式
[全盤鞏固]
1.(2014·北京模擬)已知點A(-1,0),B(cos α,sin α),且|AB|=,則直線AB的方程為( )
A.y=x+或y=-x-
B.y=x+或y=-x-
C.y=x+1或y=-x-1
D.y=x+或y=-x-
解析:選B 因為|AB|===.
所以cos α=,sin α=±,kAB==±.
即直線AB的方程為y=±(x+1).
2.已知直線l1:y=2x+3,直線l2與l1關(guān)于直線y=-x對稱,則直線l2的斜率為( )
A.
2、B.- C.2 D.-2
解析:選A 因為l1,l2關(guān)于直線y=-x對稱,所以l2的方程為-x=-2y+3,即y=x+,即直線l2的斜率k為.
3.已知直線l過點P(3,4)且與點A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為( )
A.2x+3y-18=0
B.2x-y-2=0
C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0
D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0
解析:選D 依題意知,直線l的斜率存在,故設(shè)所求直線方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.[來源:]
由已知,得=.[來源:]
所以k=2或k=-.
即所求直線
3、方程為2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
4.(2014·南昌模擬)P點在直線3x+y-5=0上,且P到直線x-y-1=0的距離為 ,則P點坐標(biāo)為( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
解析:選C 設(shè)P(x,5-3x),
則d==,|4x-6|=2,4x-6=±2,
即x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).
5.直線l通過兩直線7x+5y-24=0和x-y=0的交點,且點(5,1)到l的距離為,則l的方程是( )
A.3
4、x+y+4=0 B.3x-y+4=0
C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0
解析:選C 由
得交點(2,2),當(dāng)l的斜率不存在時,不合題意,
所以設(shè)l的方程為y-2=k(x-2),
即kx-y+2-2k=0,
依題意有=,解得k=3.
所以l的方程為3x-y-4=0.
6.曲線-=1與直線y=2x+m有兩個交點,則m的取值范圍是( )
A.m>4或m<-4 B.-4<m<4
C.m>3或m<-3 D.-3<m<
5、3
解析:選A 曲線-=1的草圖如圖所示.與直線y=2x+m有兩個交點,令y=0,則x=-,所以-<-2或->2,所以m>4或m<-4.
7.(2014·金華模擬)直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30°,直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為________.
解析:直線l1的方程為y=(x+2),由l2⊥l1得直線l2的斜率為-,直線l2的方程是y=-(x-2).由得因此直線l1與l2的交點坐標(biāo)是(1,).
答案:(1,)
8.若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,則c的值
6、是________.
解析:依題意知,=≠,
解得a=-4,c≠-2,
即直線6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
又兩平行線之間的距離為,
所以=,因此c=2或-6.
答案:2或-6
9.已知0<k<4,直線l1:kx-2y-2k+8=0和直線l2:2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,則使得這個四邊形面積最小的k值為________.
解析:由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,4),直線l1的縱截距為4-k,直線l2的橫截距為2k2+2,所以四邊形的面積S=×2×(4-k+4)+×2k2
7、215;4=4k2-k+8=42+,故面積最小時,k=.
答案:
10.(2014·孝感模擬)已知a為實數(shù),兩直線l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一點,求證:交點不可能在第一象限及x軸上.
證明:若a=1,則l1∥l2,不符合題意,所以a≠1.
解方程組得
所以兩條直線的交點坐標(biāo)為,
顯然,-≠0,故交點不可能在x軸上.
當(dāng)a>1時,<0,-=>0,此時交點在第二象限;
當(dāng)-1<a<1時,>0,-=<0,此時交點在第四象限;
當(dāng)a=-1時,=0,-=-1,此時交點在y軸上;當(dāng)a<-1時,<0,-
8、=<0,此時交點在第三象限.
綜上所述,交點不可能在第一象限及x軸上.
11.已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點P.
(1)點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;
(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.
解:(1)∵經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為
(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∴=3,解得λ=2或λ=.
∴l(xiāng)的方程為x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交點P(2,1),
如圖,過P作任一直線l,設(shè)d為點A到l的距離,
則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時等號成立).
∴dmax=
9、|PA|=.
12.m為何值時,直線l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能圍成三角形?
解:先考慮三條直線中有兩條直線平行或重合的情況.
①若m≠0,則k1=-4,k2=-m,k3=,
當(dāng)m=4時,k1=k2;
當(dāng)m=-時,k1=k3;而k2與k3不可能相等.
②若m=0,則l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此時三條直線能圍成三角形.
則當(dāng)m=4或m=-時,三條直線不能圍成三角形.
再考慮三條直線共點的情況,此時m≠0且m≠4且m≠-.
將y=-mx代入4x+y-4=0,得x=,即l1與l2交于點P,將點P坐標(biāo)代入l3
10、的方程得+-4=0,解得m=-1或m=.
∴當(dāng)m=-1或m=時,l1,l2,l3交于一點,不能圍成三角形.[來源:]
綜上所述,當(dāng)m為-1或-或或4時,三條直線不能圍成三角形.[來源:]
[沖擊名校]
1.若直線l:y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選B 因為直線l:y=kx-過定點(0,-),直線2x+3y-6=0與坐標(biāo)軸的交點為A(3,0),B(0,2),若l與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限,則k>
11、=,因此,直線的傾斜角的取值范圍為<α<.
2.若動點A、B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為( )
A.3 B.2 C.3 D.4
解析:選A 依題意知AB的中點M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離都相等的直線,則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離,設(shè)點M所在直線的方程為x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得=?|m+7|=|m+5|?m=-6,即x+y-6=0,根據(jù)點到直線的距離公式, 得M到原點的距離的最小值為=3.
[高頻滾動]
12、1.(2013·遼寧高考)已知點O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則必有( )
A.b=a3
B.b=a3+
C.(b-a3)=0
D.|b-a3|+=0
解析:選C 若△OAB為直角三角形,則∠A=90°或∠B=90°.
當(dāng)∠A=90°時,有b=a3;
當(dāng)∠B=90°時,有·=-1,得b=a3+.
故(b-a3)=0.
2.若直線m被兩平行線l1:x-y+1=0與l2:x-y+3=0所截得的線段的長為2,則m的傾斜角可以是:
①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.
其中正確答案的序號是________(寫出所有正確答案的序號).
解析:很明顯直線l1∥l2,直線l1,l2間的距離為d==,設(shè)直線m與直線l1,l2分別相交于點B,A,則|AB|=2,過點A作直線l垂直于直線l1,垂足為C,則|AC|=d=,則在Rt△ABC中,sin∠ABC===,所以∠ABC=30°,又直線l1的傾斜角為45°,所以直線m的傾斜角為45°+30°=75°或45°-30°=15°.
答案:①⑤