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1、 精品資料 學(xué)案24　平面向量及其線性運(yùn)算 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義. 3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 自主梳理 1.向量的有關(guān)概念 (1)向量的定義：既有________又有________的量叫做向量． (2)表示方法：用____________來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．用字母a，

2、b，…或用，，…表示． (3)模：向量的________叫向量的長度或模，記作______或________． (4)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是________． (5)單位向量：長度為________單位長度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e＝____________. (6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量________． (7)相等向量：長度________且方向________的向量． 2．向量的加法運(yùn)算及其幾何意

3、義 (1)已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的____，記作________，即________＝＋＝________，這種求向量和的方法叫做向量加法的____________． (2)以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的____________． (3)加法運(yùn)算律 a＋b＝________ (交換律)； (a＋b)＋c＝________(結(jié)合律)． 3．向量的減法及其幾何意義 (1)相反向量 與a________、________的向量，叫做a的相反

4、向量，記作____． (2)向量的減法 ①定義a－b＝a＋____，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的________． ②如圖，＝a，＝b，則＝______，＝______. 4．向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作______，它的長度與方向規(guī)定如下： ①|(zhì)λa|＝________； ②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)a＝0時(shí)，λa＝____；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝____. (2)運(yùn)算律 設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 ①λ(μa)＝________.(結(jié)合律) ②(λ＋μ)a＝_

5、_______.(第一分配律) ③λ(a＋b)＝________.(第二分配律) (3)兩個(gè)向量共線定理：向量b與a (a≠0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. 5．重要結(jié)論 (1)＝(＋＋)?G為△ABC的________； (2)＋＋＝0?P為△ABC的________． 自我檢測(cè) 1．(2010四川改編)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 2．下列四個(gè)命題： ①對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb； ②對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b (m∈R)，若ma＝mb，則a＝b； ③若ma＝n

6、a (m，n∈R，a≠0)，則m＝n； ④若a＝b，b＝c，則a＝c， 其中正確命題的個(gè)數(shù)為________． 3．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則用a，b表示為________． 4．(2010湖北改編)已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 5．(2009安徽)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝______. 探究點(diǎn)一　平面向量的有關(guān)概念辨析 例1?、儆邢蚓€段就是向量，向量就是有向線段； ②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③向量與向

7、量共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線； ④如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 以上命題中正確的個(gè)數(shù)為________． 變式遷移1　下列命題中正確的有________(填寫所有正確命題的序號(hào))． ①|(zhì)a|＝|b|?a＝b； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③|a|＝0?a＝0； ④若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則＝?四邊形ABCD是平行四邊形． 探究點(diǎn)二　向量的線性運(yùn)算 例2　已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)．求證：＝(＋)． 變式遷移2　如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知＝a，＝b

8、，＝c，試用a、b、c表示，，＋. 探究點(diǎn)三　共線向量問題 例3　如圖所示，平行四邊形ABCD中，＝b，＝a，M為AB中點(diǎn)，N為BD靠近B的三等分點(diǎn)，求證：M、N、C三點(diǎn)共線． 變式遷移3　設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值． 1．若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則＝(＋)．如圖所示． 2．證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決

9、，但應(yīng)注意向量與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． 3．三點(diǎn)共線的性質(zhì)定理： (1)若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，則＝λ. (2)若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，則＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是________(填上正確的序號(hào))． ①＝＋； ②＝－； ③＝－＋； ④＝－－. 2．設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則使＝λ成立的λ值為________． 3．設(shè)a，b是任意的兩個(gè)向量

10、，λ∈R，給出下面四個(gè)結(jié)論： ①若a與b共線，則b＝λa； ②若b＝－λa，則a與b共線； ③若a＝λb，則a與b共線； ④當(dāng)b≠0時(shí)，a與b共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ＝λ1，使得a＝λ1b. 其中正確的結(jié)論有________(填上正確的序號(hào))． 4．在△ABC中，＝c，＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，則用b，c表示為________． 5．(2010廣東中山高三六校聯(lián)考)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 6．(2009湖南)如下圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，則x＝______，y＝_______. 7．已知

11、＝a，＝b，＝λ(λ≠0)，則＝_________. 8．O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ＝時(shí)，則(＋)的值為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？ 10．(14分)在△ABC中，＝，＝，BE與CD交于點(diǎn)P，且＝a，＝b，用a，b表示. 11．(14分)已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)． (1)求＋＋； (2)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證

12、：＋＝3. 答案 自主梳理 1．(1)大小　方向　(2)有向線段　(3)大小　|a|　||　(4)任意的　(5)1個(gè)　　(6)相同　相反　非零　共線向量　平行　(7)相等　相同　2.(1)和　a＋b　a＋b　　三角形法則　(2)平行四邊形法則　(3)b＋a　a＋(b＋c)　3.(1)長度相等　方向相反?。璦　(2)①(－b)　相反向量?、赼＋b　a－b　4.(1)λa?、質(zhì)λ||a|?、谙嗤∠喾础?　0　(2)①(λμ)a?、讦薬＋μa　③λa＋λb　5.(1)重心 (2)重心 自我檢測(cè) 1．2 解析　由2＝16，得||＝4， |＋|＝|－|＝||＝4. 而

13、|＋|＝2||，故||＝2. 2．3 解析?、俑鶕?jù)實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算可判斷其正確；②當(dāng)m＝0時(shí)，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故②錯(cuò)誤；③正確；④由于向量相等具有傳遞性，故④正確． 3．－a＋b 解析　由＝3得4＝3＝3(a＋b)， 又＝a＋b，所以＝(a＋b)－ ＝－a＋b. 4．3 解析　由題目條件可知，M為△ABC的重心，連結(jié)AM并延長交BC于D，則＝，① 因?yàn)锳D為中線，則＋＝2＝m， 即2＝m，② 聯(lián)立①②可得m＝3. 5. 解析　設(shè)＝a，＝b， 那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b， ∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　0

14、 解析?、俨徽_，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段； ②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反； ③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行； ④不正確，如果b＝0時(shí)，則a與c不一定平行． 變式遷移1?、冖邰? 解析?、倌Ｏ嗤?，方向不一定相同， 故①不正確； ②兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，②正確； ③只有零向量的模才為0，故③正確； ④＝，即模相等且方向相同，即平行四邊形對(duì)邊平行且相等．故④正確． 例2 證明　方法一　如圖所示， 在四邊形CDEF中， ＋＋＋＝

15、0.① 在四邊形ABFE中， ＋＋＋＝0.② ①＋②得 (＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0. ∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)， ∴＋＝0，＋＝0. ∴2＝－－＝＋， 即＝(＋)． 方法二　取以A為起點(diǎn)的向量，應(yīng)用三角形法則求證． ∵E為AD的中點(diǎn)，∴＝. ∵F是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)． 又＝＋，∴＝(＋＋) ＝(＋)＋ ＝(＋)＋ ∴＝－＝(＋)． 即＝(＋)． 變式遷移2　解?。剑? ＝－a＋b＋c， ∵＝＋＋， ＝－＝－c，＝－＝－b， ＝＝a，∴＝a－b－c， ＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c. 例3　解題導(dǎo)引　(1)在平面幾何中，向量之間的關(guān)系

16、一般通過兩個(gè)指定的向量來表示，向量共線應(yīng)存在實(shí)數(shù)λ使兩向量能互相表示． (2)向量共線的判斷(或證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線． 證明　在△ABD中，＝－， 因?yàn)椋絘，＝b，所以＝b－a. ∵N點(diǎn)是BD的三等分點(diǎn)， ∴＝＝(b－a)． ∵＝b，∴＝－ ＝(b－a)－b＝－a－b.① ∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴＝a， ∴＝－＝－(＋) ＝－＝－a－b.② 由①②可得：＝. 由共線向量定理知：∥， 又∵與有公共點(diǎn)C， ∴M、N、C三點(diǎn)共線． 變式遷移3　(1)證明　∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝e1－e2

17、＋3e1＋2e2 ＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－. ∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A、C、D三點(diǎn)共線． (2)解?。剑?e1＋e2)＋(2e1－3e2) ＝3e1－2e2， ∵A、C、D三點(diǎn)共線，∴與共線， 從而存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ， 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)． 由平面向量的基本定理得 解之，得∴k的值為. 課后練習(xí)區(qū) 1．② 解析　由減法的三角形法則知＝－. 2．2 解析?。剑絘＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. 3．②③④ 解析　題目考查兩向量共線的充要條件，此定理應(yīng)把握好兩點(diǎn)：(

18、1)與λ相乘的向量為非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正確． 4.＝b＋c 解析　如圖， ＝＋ ＝c＋ ＝c＋(b－c) ＝b＋c. 5. 解析　∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋. 又＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. 6．1＋　 解析　作DF⊥AB交AB的延長線于F，設(shè)AB＝AC＝1?BC＝DE＝，∵∠DEB＝60，∴BD＝. 由∠DBF＝45， 得DF＝BF＝＝，所以＝，＝， 所以＝＋＋＝(1＋)＋. 7.a＋b 解析?。剑剑? ＝＋(－) ＝a＋(b－a)＝a＋b. 8．0 解析　由＝＋λ(＋)，λ＝，得＝

19、(＋)，即點(diǎn)P為△ABC中BC邊的中點(diǎn)， ∴＋＝0. ∴(＋)＝0＝0. 9．解　設(shè)＝a，＝tb，＝(a＋b)， ∴＝－＝－a＋b，…………………………………………………………(4分) ＝－＝tb－a.……………………………………………………………………(6分) 要使A、B、C三點(diǎn)共線，只需＝λ， 即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分) ∴　∴……………………………………………………(13分) ∴當(dāng)t＝時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上．……………………………………………(14分) 10．解　取AE的三等分點(diǎn)M， 使|AM|

20、＝|AE|，連結(jié)DM. 設(shè)|AM|＝t，則|ME|＝2t. 又|AE|＝|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ＝＝，……………………………………………………………………………(5分) ∴DM∥BE，∴＝＝＝. ∴|DP|＝|DC|. ∴＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋ ＝＋＝a＋b.……………………………………………………………(14分) 11．解　(1)∵點(diǎn)G是△ABO的重心， ∴＋＋＝0.……………………………………………………………………(2分) (2)∵M(jìn)是AB邊的中點(diǎn)， ∴＝(a＋b)． ∵G是△ABO的重心， ∴＝＝(a＋b)． ∵P、G、Q三點(diǎn)共線，∴∥， 且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使＝λ.……………………………………………………(5分) 又＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b， ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋(n－)b， ∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．……………………………………………………(8分) 又因?yàn)閍、b不共線，所以，…………………………………………(10分) 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分)