《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題突破熱點(diǎn)題型(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題
考點(diǎn)一
等差、等比數(shù)列的綜合問題
[例1] 在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*),證明:{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng),求q的值,并證明:此時(shí)對(duì)任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項(xiàng).
[自主解答] (1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(a
2、n-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.
又b1=a2-a1=1,q≠0,
所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.
(2)由(1),得a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2).
將以上各式相加,得
an-a1=1+q+q2+…+qn-2(n≥2).
所以當(dāng)n≥2時(shí),有an=
上式對(duì)n=1也成立,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
(3)由(2),得當(dāng)q=1時(shí),顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng),故q≠1.
由a3是a6與a9的等差中項(xiàng),即2a3=a6+a9,
可得2q2=q5+q8,
由q≠0,得q6+q3-2=0,
整理,得(
3、q3)2+q3-2=0,
解得q3=-2或q3=1(舍去).
于是q=-.
而an=1+,an+3=1+,an+6=1+,
所以an+3+an+6=+=2+=2+=2+=2+=2=2an.
所以對(duì)任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項(xiàng).
【方法規(guī)律】
解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法
對(duì)于等差、等比數(shù)列的綜合問題,應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng),前n項(xiàng)和以及等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系,往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).
(1
4、)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 013.
解:(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2(∵d>0).
∴an=1+(n-1)·2=2n-1.
又b2=a2=3,b3=a5=9,
∴數(shù)列{bn}的公比為3,∴bn=3·3n-2=3n-1.
(2)由++…+=an+1,得
當(dāng)n≥2時(shí),++…+=an.
兩式相減得:n≥2時(shí),=an+1-an=2.
∴cn=2bn=2·3
5、n-1(n≥2).
又當(dāng)n=1時(shí),=a2,∴c1=3.
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2 013=3+=3+(-3+32 013)=32 013.
考點(diǎn)二
數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用
[例2] 某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求,進(jìn)行減排治污.現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例,原計(jì)劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸,已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸.
(1)按原計(jì)劃,“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸?
(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號(hào)召,決定加大減排
6、力度.在2012年剛好按原計(jì)劃完成減排任務(wù)的條件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p,為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi),求p的取值范圍.
[自主解答] (1)設(shè)“十二五”期間,該城市共排放SO2約y萬噸,
依題意,2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項(xiàng)為9.3,公差為-0.3的等差數(shù)列,
所以y=5×9.3+×(-0.3)=43.5(萬噸).
所以按原計(jì)劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸.
(2)由已知得, 2012年的SO2年排放量為9.3-0.3=9(萬噸),
所以2012年至2020
7、年SO2的年排放量構(gòu)成首項(xiàng)為9,公比為1-p的等比數(shù)列.
由題意得9×(1-p)8<6,由于0<p<1,
所以1-p< ,
所以1-p<0.950 5,解得p>4.95%.
所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(4.95%,1).
【方法規(guī)律】
解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題
解決數(shù)列應(yīng)用問題,要明確問題屬于哪一種類型,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,是求an還是Sn,特別是要弄清項(xiàng)數(shù).
某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以
8、后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.
(1)用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式;
(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).
解:(1)由題意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,
a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d.
an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d
=-d
=2an-2-d-d
…
9、
=n-1a1-d.
整理得an=n-1(3 000-d)-2d
=n-1(3 000-3d)+2d.
由題意,am=4 000,
即m-1(3 000-3d)+2d=4 000.
解得d==.[來源:]
故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí),經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
1.?dāng)?shù)列與函數(shù)、 不等式的綜合問題是每年高考的重點(diǎn),多為解答題,難度偏大,屬中高檔題.
2.高考對(duì)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的考查常有以下兩個(gè)命題角度:[來源:]
(1)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題;
(
10、2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題.
[例3] (2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.
[自主解答] (1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.
由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以Sn>0,Sn=n2+n.
于是a1=S1=2,
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.
綜上,數(shù)列{
11、an}的通項(xiàng)公式為an=2n.
(2)證明:由于an=2n,故
bn===.
Tn=1-+-+-+…+-+-
=
<=.
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略
(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題.此類問題常構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題.
(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題.解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.
[來源:]
1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+a4=-,且對(duì)于任意的n∈N*,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知bn=n(n
12、∈N*),記Tn=+++…+,若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
∵S1,S3,S2成等差數(shù)列,[來源:]
∴2S3=S1+S2,
∴2a1(1+q+q2)=a1(2+q),解得q=-,
又a1+a4=a1(1+q3)=-,
∴a1=-,∴an=a1qn-1=n.
(2)∵bn=n,an=n,
∴=n·2n,
∴Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)
13、83;2n+n·2n+1,②
①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
∴Tn=-=(n-1)·2n+1+2.
若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,
則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1],
(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1),
∴m≥,[來源:]
令f(x)=,
可判斷f(x)在x∈[2,+∞)上是減函數(shù).
則f(n)=的最大值為f(2)=,
∴m≥.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種思想——函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化化歸思想
(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時(shí)主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性).
(2)轉(zhuǎn)化化歸思想,an與Sn轉(zhuǎn)化,一般數(shù)列與特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化等.
3個(gè)注意點(diǎn)——數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何相結(jié)合應(yīng) 注意的問題
(1)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時(shí)注意遞推.
(2)數(shù)列與不等式相結(jié)合時(shí)注意對(duì)不等式進(jìn)行放縮.
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.