《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
【考綱下載】[來源:]
1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.
3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.[來源:]
1.直線與圓的位置關(guān)系
(1)三種位置關(guān)系:相交、相切、相離.
(2)兩種研究方法:
2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).
方法
位置關(guān)系
幾何法:圓心距
2、d與r1,r2的關(guān)系
代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
相離
d>r1+r2
無解
外切
d=r1+r2[來源:]
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
兩組不同的實(shí)數(shù)解
內(nèi)切[來源:]
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一組實(shí)數(shù)解
內(nèi)含
0≤d<|r1-r2|
(r1≠r2)
無解
1.兩圓不同的位置關(guān)系與對應(yīng)公切線的條數(shù)有何關(guān)系?
提示:當(dāng)兩圓外離時,有4條公切線;
當(dāng)兩圓外切時,有3條公切線;
當(dāng)兩圓相交時,有2條公切線;
當(dāng)兩圓內(nèi)切時,有1條公切線;
當(dāng)兩圓內(nèi)含時,沒有公切線.
2.若兩圓相
3、交時,公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關(guān)系?
提示:兩圓的方程作差,消去二次項(xiàng)得到關(guān)于x,y的二元一次方程,就是公共弦所在的直線方程.
1.直線x-y+1=0與圓(x+1)2+y2=1的位置關(guān)系是( )[來源:]
A.相切
B.直線過圓心
C.直線不過圓心,但與圓相交
D.相離
解析:選B 依題意圓心(-1,0),到直線x-y+1=0的距離d==0,所以直線過圓心.
2.(2012·山東高考)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為( )
A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離
解析
4、:選B 兩圓的圓心距離為,兩圓的半徑之差為1,之和為5,而1<<5,所以兩圓相交.
3.(2012·重慶高考)設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點(diǎn),則|AB|=( )
A.1 B. C. D.2
解析:選D 因?yàn)橹本€y=x過圓x2+y2=1的圓心(0,0),所以所得弦長|AB|=2.
4.若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.
解析:依題意知>1,解得-<k<.
答案:(-,)
5.已知直線5x+12y+m=0與圓x2-
5、2x+y2=0相切,則m=________.
解析:由圓x2-2x+y2=0,得(x-1)2+y2=1,則圓心為(1,0),半徑為r=1.由于直線和圓相切,則=1,得m=8或-18.
答案:8或-18
前沿?zé)狳c(diǎn)(十一)
直線與圓的綜合應(yīng)用問題
1.直線與圓的綜合應(yīng)用問題是高考中一類重要問題,常常以解答題的形式出現(xiàn),并且常常是將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯,求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問題.
2.對于這類問題的求解,首先要注意理解直線和圓等基礎(chǔ)知識及它們之間的深入聯(lián)系;其次要對問題的條件進(jìn)行全方位的審視,特別是題中各個條件之間的相互關(guān)系及隱含
6、條件的挖掘,再次要掌握解決問題常用的思想方法,如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、待定系數(shù)及分類討論等思想方法.
[典例] (2011·新課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求a的值.
[解題指導(dǎo)] (1)曲線與坐標(biāo)共有三個交點(diǎn),由這三點(diǎn)即可求出圓的方程;(2)設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2),直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及⊥即可求出a的值.
[解] (1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),與x軸的交點(diǎn)為(3+2
7、,0),(3-2,0).
故可設(shè)圓C的圓心為(3,t),
則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
則圓C的半徑為=3.
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則=(x1,y1),=(x2,y2),
其坐標(biāo)滿足方程組:
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0.
從而x1+x2=4-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,所以·=0,即x1x2+y1y2=0,
又y1=x1+a,y2=x2+a,
所以2x1x2+a(x1
8、+x2)+a2=0.②
由①②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1.
[名師點(diǎn)評] 解答本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn):
(1)正確找到確定圓的三個條件.
(2)注意到OA⊥OB?·=0.
(3)a的值必須滿足圓C與直線x-y+a=0相交.
1.已知直線ax+by=1(其中a,b是實(shí)數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB是直角三角形,則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)M(0,1)之間的距離的最大值為( )
A.+1 B.2 C. D.-1
解析:選A 直線ax+by=1(其中a,b是實(shí)數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則依題意可知,△AOB是等腰直角三角形,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線ax+by=1的距離d==,即2a2+b2=2,
∴a2=(-≤b≤),
則|PM|== =,
∴當(dāng)b=-時,|PM|max==+1.
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________.
解析:因?yàn)閳A的半徑為2,且圓上有且僅有四個點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,等價于圓心到直線的距離小于1,即<1,解得-13<c<13.
答案:(-13,13)