《三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國通用》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國通用(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第六節(jié)第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 A 組 專項基礎(chǔ)測試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx長沙模擬)有以下命題: 如果向量a a,b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底,那么a a,b b的關(guān)系是不共線; O,A,B,C為空間四點,且向量OA,OB,OC不構(gòu)成空間的一個基底,那么點O,A,B,C一定共面; 已知向量a a,b b,c c是空間的一個基底,則向量a ab b,a ab b,c c也是空間的一個基底 其中正確的命題是( ) A B C D 解析 對于,“如果向量a a,b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底,那么a a,b b的關(guān)系一定是共線”,所以錯誤,
2、正確 答案 C 2(20 xx莆田模擬)已知a a(2,1,3),b b(1,4,2),c c(7,5,),若a a,b b,c c三向量共面,則實數(shù)等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由題意得c cta ab b(2t,t4,3t2), 72t,5t4,3t2,解得t337,177,657. 答案 D 3(20 xx長春模擬)已知點B是點A(3,7,4)在xOz平面上的射影,則OB2等于( ) A(9,0,16) B25 C5 D13 解析 A在xOz平面上的射影為B(3,0,4),則OB(3,0,4),OB 225. 答案 B 4(20 xx青島調(diào)研)正方體A
3、BCDA1B1C1D1的棱長為 1,點M在AC1上,且AM12MC1,N為B1B的中點,則|MN|為( ) A.216 B.66 C.156 D.153 解析 如圖,設(shè)ABa a,ADb b,AA1c c, 則a ab bb bc cc ca a0. 由條件知MNMAABBN 13(a ab bc c)a a12c c 23a a13b b16c c, MN249a a219b b2136c c22136, |MN|216. 答案 A 二、填空題 5(20 xx壽光模擬)已知a a(1t,1t,t),b b(2,t,t),則|b ba a|的最小值為_ 解析 b ba a(1t,2t1,0),
4、 |b ba a| (1t)2(2t1)25(t15)295, 當(dāng)t15時,|b ba a|取得最小值為3 55. 答案 3 55 一年創(chuàng)新演練 6.如圖所示,已知空間四邊形OABC,OBOC,且AOBAOC3,則 cosOA,BC的值為( ) A0 B.12 C.32 D.22 解析 設(shè)OAa a,OBb b,OCc c,由已知條件a a,b ba a,c c3,且|b b|c c|, OABCa a(c cb b)a ac ca ab b 12|a a|c c|12|a a|b b|0, cosOA,BC0. 答案 A 7.直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D,E分別為AB
5、,BB的中點 (1)求證:CEAD; (2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值 (1)證明 設(shè)CAa a,CBb b, CCc c, 根據(jù)題意,|a a|b b|c c|, 且a ab bb bc cc ca a0, CEb b12c c,ADc c12b b12a a. CEAD12c c212b b20. CEAD,即CEAD. (2)解 ACa ac c, |AC| 2|a a|,|CE|52|a a|. ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2, cosAC,CE12|a a|2252|a a|21010. 即異面直線CE與AC所成角的余弦值為1010.
6、 B 組 專項提升測試 三年模擬精選 一、選擇題 8(20 xx福州模擬)若兩點的坐標(biāo)是A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),則|AB|的取值范圍是( ) A0,5 B1,5 C(0,5) D1,25 解析 A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),|AB| (3cos 2cos )2(3sin 2sin )2(11)2 9412(cos cos sin sin ) 1312cos(), 1312|AB| 255, 即 1|AB|5,故選 B. 答案 B 二、填空題 9(20 xx??谀M)已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),
7、C(1,1,5)則以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為_ 解析 由題意可得: AB(2,1,3),AC(1,3,2), cosAB,ACABAC|AB|AC| 23614 1471412.sinAB,AC32. 以AB,AC為邊的平行四邊形的面積 S212|AB|AC|sinAB,AC14327 3. 答案 7 3 三、解答題 10.(20 xx河南商丘模擬)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB側(cè)面BB1C1C,ABBC1,BB12,BCC160. (1)求證:C1B平面ABC; (2)設(shè)CECC1(01),且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為 30,試求的值 (1)證明 因
8、為AB平面BB1C1C,BC1 平面BB1C1C,所以ABBC1, 在CBC1中,BC1,CC1BB12,BCC160, 由余弦定理得:BC21BC2CC212BCCC1cosBCC1 1222212cos 603, 所以BC1 3,故BC2BC21CC21,所以BCBC1, 又BCABB,C1B平面ABC. (2)解 由(1)可知,AB,BC,BC1兩兩垂直以B為原點,BC,BA,BC1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0), C1(0,0, 3),B1(1,0, 3) 所以CC1(1,0, 3), 所以CE(,0, 3),E(1,
9、0, 3),則AE(1,1, 3),AB1(1,1, 3) 設(shè)平面AB1E的一個法向量為n n(x,y,z), 則n nAE,n nAB1,得(1)xy 3z0,xy 3z0, 令z 3,則x332,y32, ,n n332,32, 3 , AB平面BB1C1C,BA(0,1,0)是平面的一個法向量, |cosn n,BA|n nBA|n n|BA| 3213322322( 3)232. 兩邊平方并化簡得 22530,所以1 或32(舍去)1. 11(20 xx山東青島一模)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為 2 的的菱形,BAD60,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF平面AB
10、CD,BF3,G和H分別是CE和CF的中點 (1)求證:平面BDGH平面AEF; (2)求二面角HBDC的大小 (1)證明 在CEF中,因為G,H分別是CE,CF的中點 所以GHEF,又因為GH平面AEF,EF 平面AEF, 所以GH平面AEF. 設(shè)ACBDO,連接OH, 因為ABCD為菱形, 所以O(shè)為AC中點, 在ACF中,因為OAOC,CHHF, 所以O(shè)HAF, 又因為OH平面AEF,AF 平面AEF, 所以O(shè)H平面AEF. 又因為OHGHH,OH,GH 平面BDGH, 所以平面BDGH平面AEF. (2)解 取EF的中點N,連接ON, 因為四邊形BDEF是矩形,O,N分別為BD,EF的中
11、點, 所以O(shè)NED, 因為平面BDEF平面ABCD, 所以ED平面ABCD, 所以O(shè)N平面ABCD, 因為ABCD為菱形,所以ACBD,得OB,OC,ON兩兩垂直 所以以O(shè)為原點,OB,OC,ON所在直線分別為x軸,y軸,z軸, 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 因為底面ABCD是邊長為 2 的菱形,BAD60,BF3, 所以B(1,0,0),D(1,0,0),E(1,0,3),F(xiàn)(1,0,3),C(0,3,0),H12,32,32, 所以BH12,32,32,DB(2,0,0) 設(shè)平面BDH的法向量為n n(x,y,z), 則n nBH0n nDB0 x 3y3z0,2x0, 令z1,得n n(0,
12、3,1) 由ED平面ABCD,得平面BCD的法向量為DE(0,0,3), 則 cosn n,DEn nDE|n|n|DE| 00( 3)01323 12. 所以二面角HBDC的大小為 60. 一年創(chuàng)新演練 12如圖,在直角梯形ABCP中,APBC,APAB,ABBC12AP2,D是AP的中點,E,F(xiàn),G分別為PC,PD,CB的中點將PCD沿CD折起,使得PD平面ABCD. (1)求證:平面PCD平面PAD; (2)求二面角GEFD的大??; (3)求三棱錐DPAB的體積 (1)證明 PD平面ABCD.CD 平面ABCD, PDCD.又ABBC12APAD,APAB, 四邊形ABCD為正方形, C
13、DAD.又PDADD, CD平面PAD. CD 平面PCD, 平面PCD平面PAD. (2)解 如圖,以D為原點,分別以DC,DA,DP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 則G(2,1,0),E(1,0,1), F(0,0,1),EF(1,0,0),EG(1,1,1) 設(shè)平面EFG的法向量為n n(x,y,z), n nEF0,n nEG0,即 x0,xyz0, x0,yz. 取n n(0,1,1) 取平面PCD的一個法向量DA(0,1,0), cosDA,n nDAn n|DA|n n|1222. 結(jié)合圖知二面角GEFD的大小為 45. (3)解 三棱錐DPAB的體積 VDPAB
14、VPDAB13SABDPD 131222243. 13.如圖,平面PAC平面ABC,ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點,AC16,PAPC10. (1)設(shè)G是OC的中點,證明:FG平面BOE; (2)證明:在ABO內(nèi)存在一點M,使FM平面BOE,并求點M到OA,OB的距離 證明 (1)如圖,連接OP,以點O為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸,y軸,x軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則O(0,0,0),A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F(xiàn)(4,0,3) 由題意,得G(0,4,0) 因為OB(8,0,0),OE(0,4,3), 所以平面BOE的一個法向量為n n(0,3,4) 由FG(4,4,3),得n nFG0, 又直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG平面BOE. (2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0,0), 則FM(x04,y0,3) 因為FM平面BOE, 所以FMn n. 因此x04,y094, 即點M的坐標(biāo)是(4,94,0) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組 x0,y0,xy8. 經(jīng)檢驗,點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組,所以在AOB內(nèi)存在一點M, 使FM平面BOE. 由點M的坐標(biāo)得點M到OA,OB的距離分別為 4,94.