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1、 考點(diǎn)20 空間向量 1.（20xx廣東高考理科Ｔ１0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= . 【命題立意】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算. 【思路點(diǎn)撥】 先算出，，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出 【規(guī)范解答】，，由， 得，即，解得 【答案】2 2.（20xx浙江高考理科Ｔ20）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段 上，.沿直線將 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值. （Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長. 【命題立意】本題主要考查空間點(diǎn)

2、、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】方法一利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題. 【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫? 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則（2，2，）， C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，所以 取，得. 又平面FDC的一個(gè)法向量，故. 所以所求二面角的余弦值為. （Ⅱ）

3、設(shè)，則，， 因?yàn)榉酆?，與重合，所以，， 所以. 方法二： （Ⅰ）取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié). 因?yàn)?及是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面,故. 又因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，易知∥，所以， 又GH∩A′H=H,于是平面，所以為二面角A′-FD-C的平面角， 在中，=，=2，=，所以. 故二面角A′-FD-C的余弦值為. （Ⅱ）設(shè), 因?yàn)榉酆?，與重合， 所以， 而， ++， 得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以. 【方法技巧】(1)利用向量法解決立體幾何問題關(guān)鍵是建系，一般要找到三個(gè)互相垂直的直

4、線建系，這種方法思路相對簡單，但計(jì)算量大. (2)翻折問題要找好在翻折的過程中變化的與不變化的量，注意點(diǎn)、線、面等元素間位置關(guān)系的變化. 3.（20xx陜西高考理科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF. （Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、 線面垂直以及二面角的求解問題，考查了考生的 空間想象能力、空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧. 【思路點(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空

5、間向量求解； 思路二：利用幾何法求解. 【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AP=AB=2， BC=，四邊形ABCD是矩形. ∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)， D(0，，0)，P(0,0,2) 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)， ∴E(0，，0),F(1，，1). ∴=（2，，-2）,=（-1，，1）,=（1,0,1）， ∴=-2+4-2=0，=2+0-2=0， ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,∴PC⊥平面BEF, （II）由（I）知平面BE

6、F的一個(gè)法向量 平面BAP 的一個(gè)法向量 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為， 則 ∴45， ∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為45. 方法二：（I）連接PE，EC，在中， PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即PEC 是等腰三角形， 又F是PC 的中點(diǎn)，∴EF⊥PC, （Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又底面ABCD是矩形，所以AB⊥BC， 平面BAP，又PB平面BAP，∴，又由（1）知平面BEF， ∴直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角； 在△PBC中，PB=BC,90,45，所以平面BEF與平面BAP的夾角為4

7、5. 4.（20xx遼寧高考理科Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：CM⊥SN. （Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【規(guī)范解答】 設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖. 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1

8、,,0). （I） 【方法技巧】（1）空間中證明線線、線面垂直，經(jīng)常用向量法. （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決. （3）線面角的范圍是0～90，因此線面角是直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦的絕對值. A E F B C D H G A E F B C D H 5.（20xx安徽高考理科Ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn). (1)求證：∥平面. (2)求證：平面. (3)求二面角的大小. 【命題立意】本

9、題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明. 【規(guī)范解答】綜合法證明如下： 向量法證明如下： A E F B C D H G X Y Z 【方法技巧】（1）證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行. （2）證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直. （3）確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解. （4）以上立

10、體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解.應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用. 6.（20xx山東高考理科Ｔ19）如圖，在五棱錐P—ABCDE中， PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC = 45，AB = 2，BC =2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形． （1）求證：平面PCD⊥平面PAC． （2）求直線PB與平面PCD所成角的大?。? （3）求四棱錐P—ACDE的體積． 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求

11、解能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，通過計(jì)算證明.(2)方法一：先證明AB∥平面，于是點(diǎn)B 到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，據(jù)此可求線面角；方法二：利用空間向量求線面角；(3)先判斷出四邊形ACDE的形狀，并求出其面積，再根據(jù)PA⊥平面ABCDE，得四棱錐P—ACDE的高即為PA，從而可求體積. 【規(guī)范解答】（1）因?yàn)锳BC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得， 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥， 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因?yàn)? ，所以平面PCD⊥平面PAC， （2）方法一：由（1）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面

12、PAC內(nèi)，過點(diǎn)A作于H，則 ，又AB∥CD，AB平面內(nèi)，所以AB∥平面，所以點(diǎn)A到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離.因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，因此PB = 4，在Rt△PAC中，PA =2，AC = 2，所以PC = 4，故PC邊上的高，此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離，設(shè)直線PB與平面PCD所成角為，則又，所以即直線PB與平面PCD所成角的大小為. 方法二：由(1)知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以 AB，AC，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間 直角坐標(biāo)系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，又AC = 2，因此A(0,0，0)

13、，B(2， 0,0)，C(0，2，0)，P(0,0，2)，因?yàn)椋? 又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，因?yàn)锳E = 2， AE∥BC，所以∠BAE = 135，因此∠CAE = 45.故所以D(-，2，0).因此，，設(shè)是平面PCD的一個(gè)法向量，則 向量與平面PCD的法向量所成的角，則，所以因此直線PB與平面PCD所成角的大小為. （3）由（1）知，所以，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形， 因?yàn)锳E = 2，∠ABC = 45，AE∥BC，所以∠BAE = 135，因此∠CAE = 45.故所以四邊形ACDE的面積為，又PA⊥平面ABCDE，得四棱錐P —ACD

14、E的高為PA=，所以四棱錐 P —ACDE的體積為=. 7.（20xx天津高考理科Ｔ１9） 如圖，在長方體中，，分別是棱, 上的點(diǎn)，,. 求異面直線與所成角的余弦值. 證明：平面. 求二面角的正弦值. 【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力. 【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題. 【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,,, 易得,，

15、于是， 所以異面直線與所成角的余弦值為. 已知,,， 于是=0，=0.因此，,,又， 所以平面. (3)設(shè)平面的法向量，則 不妨令X=1,可得由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量. 于是，從而， 所以二面角的正弦值為， 方法二：（1）設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=， 連接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C， 由,可知EF∥BC1.故是異面 直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=, 所以 , 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. （2）連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)椋? 所以∽，從而， 又由于,所以，

16、故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且， 所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE. 連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D，又因?yàn)?，所以AF⊥平面A1ED. (3)連接A1N,FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF， 所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角, 易知，所以， 又,所以， 8.（20xx福建高考理科Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑. （I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1. （II）設(shè)AB

17、＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P. （i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動時(shí)，求P的最大值； （ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）,當(dāng)p取最大值時(shí)，求cos的值. 【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計(jì)算出幾何概率.立體幾何中

18、我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角.對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中有關(guān)角的問題. 【規(guī)范解答】 （I）平面，平面，，又是的直徑，C，又，平面，而平面，所以平面平面； （II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓周上運(yùn)動，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為； （ii）由（i）知，取最大值時(shí)，，于是，以為坐

19、標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 平面，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則， 令z=1,得x=0,y=-2,故，，. 【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進(jìn)行證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為， ，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值.，所以當(dāng)時(shí)的的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為； 9.（20xx安徽高考文科Ｔ19）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥

20、AB,EF⊥FB,∠BFC=90，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)， （1）求證：FH∥平面EDB. （2）求證：AC⊥平面EDB. （3）求四面體B—DEF的體積. 【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、體積的求解等問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明. 【規(guī)范解答】綜合法證明如下： 方法一： ， 方法二：， ，點(diǎn)到的距離， 又，，即. 向量法證明如下： A E F B C D H G X Y Z 【方法技巧】(1)證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行. (2)證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直. (3)求四面體的體積時(shí)，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透哌M(jìn)行求解. (4)以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明.應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用.