《二輪復習數學文通用版講義：第一部分 第二層級 重點增分專題三 導數的簡單應用 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《二輪復習數學文通用版講義：第一部分 第二層級 重點增分專題三 導數的簡單應用 Word版含解析（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 重點增分專題三重點增分專題三 導數的簡單應用導數的簡單應用 全國卷全國卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全國卷全國卷 全國卷全國卷 全國卷全國卷 2018 奇函數的定義及利用導數的幾何意義奇函數的定義及利用導數的幾何意義求切線方程求切線方程 T6 利用導數的幾何意義求利用導數的幾何意義求切線方程切線方程 T13 利用導數的幾何利用導數的幾何意義求切線方意義求切線方程程 T21(1) 利用函數的極值點求參數及單調區(qū)利用函數的極值點求參數及單調區(qū)間間 T21(1) 利用導數求函數的單調利用導數求函數的單調區(qū)間區(qū)間 T21(1) 2017 利用導數的幾何意義求切線方程利用導數的幾何意義求切線

2、方程 T14 利用導數研究函數的單利用導數研究函數的單調性調性 T21(1) 利用導數研究函利用導數研究函數的單調數的單調性性 T21(1) 利用導數研究函數的單調性利用導數研究函數的單調性 T21(1) 2016 利用導數研究函數的單調性利用導數研究函數的單調性 T21(1) 利用導數的幾何意義求利用導數的幾何意義求切線方程切線方程 T20(1) 利用導數研究函利用導數研究函數的單調數的單調性性 T21(1) (1)此部分內容是高考命題的熱點內容在選擇題、填空題中多考查導數的幾何意義，此部分內容是高考命題的熱點內容在選擇題、填空題中多考查導數的幾何意義，難度較小難度較小 (2)應用導數研究函

3、數的單調性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考應用導數研究函數的單調性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題；常在解答題的第一問中考查，難度一般查，難度中等偏上，屬綜合性問題；常在解答題的第一問中考查，難度一般 考點一考點一 導數的幾何意義導數的幾何意義 保分考點保分考點 練后講評練后講評 大穩(wěn)定大穩(wěn)定常規(guī)角度考雙基常規(guī)角度考雙基 1.已知切點求切線方程已知切點求切線方程(2018 全國卷全國卷)曲線曲線 y2ln x 在點在點(1,0)處的切線方程為處的切線方程為_ 解析：解析：因為因為 y2x，y|x12，所以切線方程為，所以切線方程為

4、y02(x1)，即，即 y2x2. 答案：答案：y2x2 2.由切線方程求切點坐標由切線方程求切點坐標曲線曲線 f(x)x3x3 在點在點 P 處的切線平行于直線處的切線平行于直線 y2x1，則點則點 P 的坐標為的坐標為_ 解析：解析：f(x)3x21，令，令 f(x)2，則，則 3x212，解得，解得 x1 或或 x1，P(1,3)或或 (1,3)，經檢驗，點，經檢驗，點(1,3)，(1,3)均不在直線均不在直線 y2x1 上，故點上，故點 P 的坐標為的坐標為(1,3)和和(1,3) 答案：答案：(1,3)和和(1,3) 3.求參數值或范圍求參數值或范圍(2018 全國卷全國卷)曲線曲線

5、 y(ax1)ex在點在點(0,1)處的切線的斜率為處的切線的斜率為2，則則 a_. 解析：解析：y(axa1)ex，當當 x0 時，時，ya1， a12，解得，解得 a3. 答案：答案：3 4.已知切線上一點已知切線上一點 非切點非切點 求切線方程求切線方程曲線曲線f(x)x32x22 12x52過點過點P(2,0)的切的切線方程為線方程為_ 解析：解析：因為因為 f(2)23222220， 所以點所以點 P(2,0)不在曲線不在曲線 f(x)x32x22 上上 設切點坐標為設切點坐標為(x0，y0)，則，則12x052， 因為因為 f(x)3x24x， 所以所以 y0 x302x202，0

6、y02x03x204x0， 消去消去 y0，整理得，整理得(x01)(x203x01)0， 解得解得 x01 或或 x03 52(舍去舍去) 或或 x03 52(舍去舍去)， 所以所以 y01，f(x0)1， 所以所求的切線方程為所以所求的切線方程為 y1(x1)， 即即 yx2. 答案：答案：yx2 解題方略解題方略 1求曲線求曲線 yf(x)的切線方程的的切線方程的 3 種類型及方法種類型及方法 類型類型 方法方法 已知切點已知切點 P(x0，y0)，求切線方程，求切線方程 求出切線的斜率求出切線的斜率 f(x0)，由點斜式寫出方程，由點斜式寫出方程 已知切線的斜率已知切線的斜率 k，求切

7、線方程，求切線方程 設切點設切點 P(x0，y0)，通過方程，通過方程 kf(x0)解得解得 x0，再由點斜式寫出方程再由點斜式寫出方程 已知切線上一點已知切線上一點(非切點非切點)，求切線方程，求切線方程 設切點設切點 P(x0， y0)， 利用導數求得切線斜率， 利用導數求得切線斜率 f(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組組)解得解得 x0，再由點斜式或兩點式寫出方程再由點斜式或兩點式寫出方程 2由曲線的切線求參數值或范圍的由曲線的切線求參數值或范圍的 2 種類型及解題關鍵種類型及解題關鍵 類型類型 解題關鍵解題關鍵 已知曲線在已知曲線在某點處的切

8、線求某點處的切線求參數參數 關鍵是用關鍵是用“方程思想方程思想”來破解，先求出函數的導數，從而求來破解，先求出函數的導數，從而求出在某點處的導數值；再根據導數的幾何意義與已知條件，出在某點處的導數值；再根據導數的幾何意義與已知條件， 建立關于參數的方程，通過解方程求出參數的值建立關于參數的方程，通過解方程求出參數的值 已知曲線的切線方程， 求含有已知曲線的切線方程， 求含有雙參數的代數式的取值范圍雙參數的代數式的取值范圍 關鍵是過好關鍵是過好“雙關雙關”：一是轉化關，即把所求的含雙參數的：一是轉化關，即把所求的含雙參數的代數式轉化為含單參數的代數式，此時需利用已知切線方程，代數式轉化為含單參數

9、的代數式，此時需利用已知切線方程，尋找雙參數的關系式；二是求最值關，常利用函數的單調性、尋找雙參數的關系式；二是求最值關，常利用函數的單調性、基本不等式等方法求最值，從而得所求代數式的取值范圍基本不等式等方法求最值，從而得所求代數式的取值范圍 小創(chuàng)新小創(chuàng)新變換角度考遷移變換角度考遷移 1.與數列交匯與數列交匯已知函數已知函數 f(x)x2ax 的圖象在點的圖象在點 A(1， f(1)處的切線處的切線 l 與直線與直線 x3y10 垂直，記數列垂直，記數列 1f n 的前的前 n 項和為項和為 Sn，則，則 S2 018的值為的值為( ) A.2 0162 017 B.2 0172 018 C.

10、2 0152 016 D.2 0182 019 解析：解析：選選 D 由題意知由題意知 f(x)x2ax 的圖象在點的圖象在點 A(1，f(1)處的切線斜率處的切線斜率 kf(1) 2a3a1，故，故 f(x)x2x.則則1f n 1n n1 1n1n1，S2 018112121312 01812 019112 0192 0182 019. 2.與圓交匯與圓交匯曲線曲線 f(x)x33x2在點在點(1，f(1)處的切線截圓處的切線截圓 x2(y1)24 所得的弦所得的弦長為長為( ) A4 B2 2 C2 D. 2 解析：解析：選選 A 因為因為 f(x)3x26x，則，則 f(x)在點在點(

11、1，f(1)處的切線的斜率處的切線的斜率 k363，又，又 f(1)2，故切線方程為，故切線方程為 y23(x1)，即，即 3xy10. 因為圓心因為圓心 C(0，1)到直線到直線 3xy10 的距離的距離 d0， 所以直線所以直線 3xy10 截圓截圓 x2(y1)24 所得的弦長就是該圓的直徑所得的弦長就是該圓的直徑 4，故選，故選 A. 3.與三角函數交匯與三角函數交匯已知函數已知函數 f(x)12x14sin x34cos x 的圖象在點的圖象在點 A(x0，y0)處的切線處的切線的斜率為的斜率為 1，則，則 tan x0_. 解析：解析：f(x)12x14sin x34cos x，f

12、(x)1214cos x34sin x1212sin x6. 函數函數 f(x)的圖象在點的圖象在點 A(x0，y0)處的切線斜率為處的切線斜率為 1， 1212sin x061， x0622k，kZ Z， x0232k，kZ Z， tan x0tan 232k 3. 答案：答案： 3 考點二考點二 利用導數研究函數的單調性利用導數研究函數的單調性 增分考點增分考點深度精研深度精研 析母題析母題高考年年高考年年“神神”相似相似 典例典例 已知函數已知函數 f(x)ex(exa)a2x，討論，討論 f(x)的單調性的單調性 解解 函數函數 f(x)的定義域為的定義域為(，)， f(x)2e2xa

13、exa2(2exa)(exa) 若若 a0，則，則 f(x)e2x在在(，)上單調遞增上單調遞增 若若 a0，則由，則由 f(x)0，得，得 xln a. 當當 x(，ln a)時，時，f(x)0； 當當 x(ln a，)時，時，f(x)0. 故故 f(x)在在(，ln a)上單調遞減，上單調遞減， 在在(ln a，)上單調遞增上單調遞增 若若 a0，則由，則由 f(x)0，得，得 xln a2. 當當 x ，ln a2時，時，f(x)0； 當當 x ln a2， 時，時，f(x)0. 故故 f(x)在在 ，ln a2上單調上單調遞減，遞減， 在在 ln a2， 上單調遞增上單調遞增 練子題練

14、子題高考年年高考年年“形形”不同不同 1若本例中若本例中 f(x)變?yōu)樽優(yōu)?f(x)ln x1ax1a，aR R 且且 a0，討論函數，討論函數 f(x)的單調性的單調性 解：解：函數函數 f(x)的定義域為的定義域為(0，)， 則則 f(x)1x1ax2ax1ax2. 當當 a0 恒成立，恒成立， 函數函數 f(x)在在(0，)上單調遞增上單調遞增 當當 a0 時，由時，由 f(x)0，得，得 x1a； 由由 f(x)0，得，得 0 x1a， 函數函數 f(x)在在 1a， 上單調遞增，在上單調遞增，在 0，1a上單調遞減上單調遞減 綜上所述，當綜上所述，當 a0 時，時，函數函數 f(x)

15、在在 1a， 上單調遞增，在上單調遞增，在 0，1a上單調遞減上單調遞減 2若本例變?yōu)椋阂阎瘮等舯纠優(yōu)椋阂阎瘮?f(x)ex(exa)a2x 在在1，)上單調遞增，求實數上單調遞增，求實數 a 的取的取值范圍值范圍 解：解：由本例解析知由本例解析知 f(x)(2exa)(exa)， f(x)在在1，)上單調遞增，上單調遞增， 則則 f(x)0 在在1，)上恒成立，上恒成立， (2exa)(exa)0， 2exaex在在1，)上恒成立，上恒成立， 2eae， 實數實數 a 的取值范圍為的取值范圍為2e，e 3若本例變?yōu)椋汉瘮等舯纠優(yōu)椋汉瘮?f(x)ex(exa)a2x 在在1，)上存在單

16、調遞減區(qū)間，求實數上存在單調遞減區(qū)間，求實數 a的取值范圍的取值范圍 解：解：由本例解析知由本例解析知 f(x)2e2xaexa2， 設設 tex，x1，)，te，)， 即即 g(t)2t2ata2在在e，)上有零點上有零點 g(e)2e2aea2e 或或 a0)由由 f x 0，得得 0 x1. 所以函數所以函數 f(x)的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為(0,1) 2 已知函數 已知函數 f(x)在定義域在定義域 R R 內可導，內可導， f(x)f(2x)， 且當， 且當 x(， 1)時，時， (x1)f(x)0.設設 af(0)，bf 12，cf(3)，則，則 a，b，c 的大小關系為的

17、大小關系為( ) Acab Bcba Cabc Dbca 解析：解析：選選 A 依題意得，當依題意得，當 x0，函數，函數 f(x)為增函數為增函數 又又 f(3)f(1)，10121，f(1)f(0)f 12，即，即 f(3)f(0)f 12，cab. 3已已知函數知函數 f(x)x212ln x32在其定義域內的一個子區(qū)間在其定義域內的一個子區(qū)間(a1，a1)內不是單調函內不是單調函數，求實數數，求實數 a 的取值范圍的取值范圍 解：解：法一：法一：由已知得由已知得 f(x)的定義域為的定義域為(0，)，函數函數 f(x)x212ln x32在區(qū)間在區(qū)間(a1，a1)上不單調，上不單調，f

18、(x)2x12x4x212x在區(qū)間在區(qū)間(a1，a1)上有零點由上有零點由 f(x)0，得，得x12，則，則 a10，a112a1，得得 1a0，得，得x12， 令， 令 f(x)0， 得， 得 0 x12， 即函數， 即函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為 12， ， 單調遞減區(qū)間為， 單調遞減區(qū)間為 0，12.若函數若函數 f(x)在其定義域內的一個子區(qū)間在其定義域內的一個子區(qū)間(a1，a1)內是單調函數，則內是單調函數，則 a112或或 a112，a10，即即 a32， 函數函數 f(x)在其定義域內的一個子區(qū)間在其定義域內的一個子區(qū)間(a1， a1)內不是單調函數，內不是單調

19、函數，需滿足需滿足 1a0)在在1，)上的最大值為上的最大值為33，則，則 a 的值為的值為( ) A. 31 B.34 C.43 D. 31 (2)已知函數已知函數 f(x)2ln x2axx2有兩個極值點有兩個極值點 x1，x2(x10，f(x)單調遞增，單調遞增， 故當故當 x a時，函數時，函數 f(x)有最大值有最大值12 a33，得，得 a341，不合題意；，不合題意； 當當 a1 時，函數時，函數 f(x)在在1，)上單調遞減，最大值為上單調遞減，最大值為 f(1)12，不合題意；，不合題意； 當當 0a1 時，函數時，函數 f(x)在在 1，)上單調遞減，此時最大值為上單調遞減

20、，此時最大值為 f(1)1a133，得，得 a 31，符合題意，符合題意 故故 a 的值為的值為 31. (2)f(x)的定義域為的定義域為(0，)， f(x)2x2a2x2 x2ax1 x， 令令 f(x)0，即，即 x2ax10，要使，要使 f(x)在在(0，)上有兩個上有兩個極值點，則方程極值點，則方程 x2ax10 有兩個不相等的正根，有兩個不相等的正根， 則則 a240，x1x2a0，解得，解得a2，x1x210， 實數實數 a 的取值范圍為的取值范圍為(2，) 解題方略解題方略 已知函數極值點或極值求參數的方法已知函數極值點或極值求參數的方法 列式列式 根據極值點處導數為根據極值點

21、處導數為 0 和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解 驗證驗證 因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性驗證根的合理性 邏輯推理邏輯推理分類與整合思想研究函數的單調性分類與整合思想研究函數的單調性 典例典例 (2018 佛山月考佛山月考)已知函數已知函數 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)當當 a1 時，求函數時，求函數 f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)若函數若函數 f(x)在區(qū)間在區(qū)間(1，)上是減函數，

22、求實數上是減函數，求實數 a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)當當 a1 時，時，f(x)ln xx2x，其定義域為，其定義域為(0，)， f(x)1x2x12x2x1x， 令令 f(x)0，則，則 x1(負值舍去負值舍去) 當當 0 x0；當；當 x1 時時，f(x)0， f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0，)上為增函數，不合題意；上為增函數，不合題意； 當當 a0 時，由時，由 f(x)1a. f(x)的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為 1a， . 依題意依題意，得，得 1a1，a0，解得解得 a1； 當當 a0 時，由時，由 f(x)12a. f(x)的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為 12a， .

23、 依題意，得依題意，得 12a1，a0，解得解得 a12. 綜上所述，實數綜上所述，實數 a 的取值范圍是的取值范圍是 ，121，) 法二：法二：f(x)1x2a2xa2a2x2ax1x. 由由 f(x)在區(qū)間在區(qū)間(1，)上是減函數，可得上是減函數，可得 g(x)2a2x2ax10 在區(qū)間在區(qū)間(1，)上上恒成立恒成立 當當 a0 時，時，10 不合題意；不合題意； 當當 a0 時，可得時，可得 14a14或或a14或或a0 時，時，x2； f(x)0 時，時，1x0，xln a，代入曲線方程得，代入曲線方程得 y1 ln a，所以切線方程為，所以切線方程為 y(1ln a)2(xln a)

24、，即，即 y2xln a12x1a1. 3(2019 屆高三屆高三 廣州高中綜合測試廣州高中綜合測試)已知函數已知函數 f(x)x3ax2bxa2在在 x1 處的極值處的極值為為 10，則數對，則數對(a，b)為為( ) A(3,3) B(11,4) C(4，11) D(3,3)或或(4，11) 解析：解析：選選 C f(x)3x22axb，依題意可得，依題意可得 f 1 0，f 1 10， 即即 32ab0，1aba210，消去消去 b 可得可得 a2a120， 解得解得 a3 或或 a4，故，故 a3，b3或或 a4，b11.當當 a3，b3時，時， f(x)3x26x33(x1)20，這

25、時，這時 f(x)無極值，不合題意，舍去，故選無極值，不合題意，舍去，故選 C. 4已知已知 f(x)x2ax3ln x 在在(1，)上是增函數，則實數上是增函數，則實數 a 的取值范圍為的取值范圍為( ) A(，2 6 B. ，62 C2 6，) D5，) 解析：解析：選選 C 由題意得由題意得 f(x)2xa3x2x2ax3x0 在在(1，)上恒成立上恒成立g(x) 2x2ax30 在在(1，)上恒成立上恒成立a2240 或或 a41，g 1 02 6a2 6或或 a4，a5a2 6，故選，故選 C. 5(2018 全國卷全國卷)設函數設函數 f(x)x3(a1)x2ax，若，若 f(x)

26、為奇函數，則曲線為奇函數，則曲線 yf(x)在在點點(0,0)處的切線方程為處的切線方程為( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 解析：解析：選選 D 法一：法一：f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又又f(x)為奇函數，為奇函數，f(x)f(x)恒成立，恒成立， 即即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲線曲線 yf(x)在點在點(0,0)處的切線方程為處的切線方程為 yx. 法二：法二：易知易知 f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因為，因為 f(x)為奇函數，所以函數為奇函數，所以函

27、數g(x)x2(a1)xa 為偶函數，所以為偶函數，所以 a10，解得，解得 a1，所以，所以 f(x)x3x，所以，所以 f(x)3x21，所以，所以 f(0)1，所以曲線，所以曲線 yf(x)在點在點(0,0)處的切線方程為處的切線方程為 yx.故選故選 D. 6函數函數 f(x)(x0)的導函數為的導函數為 f(x)，若，若 xf(x)f(x)ex，且，且 f(1)e，則，則( ) Af(x)的最小值為的最小值為 e Bf(x)的最大值為的最大值為 e Cf(x)的最小值為的最小值為1e Df(x)的最大值為的最大值為1e 解析：解析：選選 A 設設 g(x)xf(x)ex， 所以所以

28、g(x)f(x)xf(x)ex0， 所以所以 g(x)xf(x)ex為常數函數為常數函數 因為因為 g(1)1f(1)e0， 所以所以 g(x)xf(x)exg(1)0， 所以所以 f(x)exx，f(x)ex x1 x2， 當當 0 x1 時，時，f(x)1 時，時，f(x)0， 所以所以 f(x)f(1)e. 二、填空題二、填空題 7 (2019 屆高三屆高三 西安八校聯(lián)考西安八校聯(lián)考)曲線曲線 y2ln x 在點在點(e2,4)處的切線與坐標軸所圍成的三角處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為形的面積為_ 解析：解析：因為因為 y2x，所以曲線，所以曲線 y2ln x 在點在點(e2,4

29、)處的切線斜率為處的切線斜率為2e2，所以切線方程為，所以切線方程為 y42e2(xe2)，即，即2e2xy20.令令 x0，則，則 y2；令；令 y0，則，則 xe2，所以切線與坐標，所以切線與坐標軸所圍軸所圍成的三角形的面積成的三角形的面積 S12e22e2. 答案：答案：e2 8已知函數已知函數 f(x)x25x2ln x，則函數，則函數 f(x)的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是_ 解析：解析： 函數函數 f(x)x25x2ln x 的定義域是的定義域是(0， ， )， 令， 令 f(x)2x52x2x25x2x x2 2x1 x0，解得，解得 0 x2，故函數，故函數 f(x)的單調遞

30、增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是 0，12和和(2，) 答案：答案： 0，12和和(2，) 9若函數若函數 f(x)xaln x 不是單調函數，則實數不是單調函數，則實數 a 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：由題意知由題意知 f(x)的定義域為的定義域為(0，)，f(x)1ax，要使函數，要使函數 f(x)xaln x 不不是單調函數，則需方程是單調函數，則需方程 1ax0 在在(0，)上有解，即上有解，即 xa，a0. 答案：答案：(，0) 三、解答題三、解答題 10已知已知 f(x)exax2，曲線，曲線 yf(x)在點在點(1，f(1)處的切線方程為處的切線方程為 ybx1. (1)求求

31、 a，b 的值；的值； (2)求求 f(x)在在0,1上的最大值上的最大值 解：解：(1)f(x)ex2ax， 所以所以 f(1)e2ab，f(1)eab1， 解得解得 a1，be2. (2)由由(1)得得 f(x)exx2， 則則 f(x)ex2x，令，令 g(x)ex2x，x0,1， 則則 g(x)ex2， 由由 g(x)0，得，得 0 x0，得，得 ln 2x0， 所以所以 f(x)在在0,1上單調遞增，上單調遞增， 所以所以 f(x)maxf(1)e1. 11(2018 濰坊統(tǒng)一考試濰坊統(tǒng)一考試)已知函數已知函數 f(x)axln x， F(x)exax， 其中， 其中 x0， a0，

32、 a0，f(x)0 在在(0，)上恒成立，即上恒成立，即 f(x)在在(0，)上單調遞減，上單調遞減， 當當1a0，即，即 F(x)在在(0，)上單調遞增，不合題意，上單調遞增，不合題意， 當當 a0，得，得 xln(a)； 由由 F(x)0，得，得 0 x1. (1)若若 f(x)在在(1，)上單調遞減，求實數上單調遞減，求實數 a 的取值范圍；的取值范圍； (2)若若 a2，求函數，求函數 f(x)的極小值的極小值 解：解：(1)f(x)ln x1ln2xa， 由題意可得由題意可得 f(x)0 在在(1，)上恒成立，上恒成立， a1ln2x1ln x 1ln x12214. x(1，)，l

33、n x(0，)， 當當1ln x120 時，函數時，函數 t 1ln x12214的最小值為的最小值為14， a14，即實數，即實數 a 的取值范圍為的取值范圍為 ，14. (2)當當 a2 時，時，f(x)xln x2x(x1)， f(x)ln x12ln2xln2x， 令令 f(x)0，得，得 2ln2xln x10， 解得解得 ln x12或或 ln x1(舍去舍去)，即，即 xe12. 當當 1xe12時，時，f(x)e12時，時，f(x)0， f(x)的極小值為的極小值為 f(e12)e12122e124e12. B 組組大題專攻補短練大題專攻補短練 1(2019 屆高三屆高三 益陽

34、、湘潭調研益陽、湘潭調研)已知函數已知函數 f(x)ln xax2x，aR. (1)當當 a0 時，求曲線時，求曲線 yf(x)在點在點(e，f(e)處的切線方程；處的切線方程； (2)討論討論 f(x)的單調性的單調性 解：解：(1)當當 a0 時，時，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x)1x1，f(e)11e，曲線曲線 yf(x)在點在點(e，f(e)處的切線方程為處的切線方程為 y(e1) 11e(xe)，即，即 y 1e1 x. (2)f(x)1x2ax12ax2x1x，x0， 當當 a0 時，顯然時，顯然 f(x)0，f(x)在在(0，)上單調遞增；上單調遞增； 當當 a0 時

35、，令時，令 f(x)2ax2x1x0，則，則2ax2x10，易知其判別式為正，易知其判別式為正， 設方程的兩根分別為設方程的兩根分別為 x1，x2(x1x2)， 則則 x1x212a0，x100. 令令 f(x)0，得，得 x(0，x2)，令，令 f(x)0. (1)求函數求函數 f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)若直線若直線 xy10 是曲線是曲線 yf(x)的切線，求實數的切線，求實數 a 的值的值 (3)設設 g(x)xln xx2f(x)，求，求 g(x)在區(qū)間在區(qū)間1，e上的最小值上的最小值(其中其中 e 為自然對數的底數為自然對數的底數) 解：解：(1)因為函數因為函數 f(

36、x)a x1 x2， 所以所以 f(x)a x1 x2 x2 a x1 x4a 2x x3， 由由 f(x)0，得，得 0 x2； 由由 f(x)0，得，得 x2， 故函數故函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為(0,2)，單調遞減區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(，0)和和(2，) (2)設切點為設切點為(x0，y0)， 由切線斜率由切線斜率 k1a 2x0 x30 x30ax02a， 由由 x0y01x0a x01 x2010(x20a)(x01)0 x01，x0 a. 把把 x01 代入代入得得 a1， 把把 x0 a代入代入得得 a1， 把把 x0 a代入代入無解，無解， 故所求實數故所

37、求實數 a 的值為的值為 1. (3)因為因為 g(x)xln xx2f(x)xln xa(x1)， 所以所以 g(x)ln x1a，由，由 g(x)0，得，得 xea1； 由由 g(x)0，得，得 0 xea1，故，故 g(x)在區(qū)間在區(qū)間(ea1，)上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間(0，ea1)上上單調遞減，單調遞減， 當當 ea11，即，即 0a1 時，時，g(x)在區(qū)間在區(qū)間1，e上單調遞增，其最小值為上單調遞增，其最小值為 g(1)0； 當當 1ea1e，即，即 1a2 時，時，g(x)的最小值為的最小值為 g(ea1)aea1； 當當 ea1e，即，即 a2 時，時，g(x)在

38、區(qū)間在區(qū)間1，e上單調遞減，其最小值為上單調遞減，其最小值為 g(e)eaae. 故故 g(x)min 0，0a1，aea1，1a0，f(x)在在(0，)上單調遞增；上單調遞增； 當當 m0 時，令時，令 f(x)0，得，得 0 xm2m， 令令 f(x)m2m， f(x)在在 0，m2m上單調遞增，在上單調遞增，在 m2m， 上單調遞減上單調遞減 (2)由由(1)知，當知，當 m0 時，時，f(x)在在(0，)上單調遞增，無最大值上單調遞增，無最大值 當當 m0 時，時，f(x)在在 0，m2m上單調遞增，在上單調遞增，在m2m，上單調遞減上單調遞減 f(x)maxf m2mlnm2m2m1

39、4mnln 212ln m12nln 2， n12ln m12，mnm12ln m12. 令令 h(x)x12ln x12(x0)， 則則 h(x)112x2x12x， 由由 h(x)0，得，得 0 x0，得，得 x12， h(x)在在 0，12上單調遞減，在上單調遞減，在 12， 上單調遞增，上單調遞增， h(x)minh 1212ln 2， mn 的最小值為的最小值為12ln 2. 4已知常數已知常數 a0，f(x)aln x2x. (1)當當 a4 時，求時，求 f(x)的極值；的極值； (2)當當 f(x)的最小值不小于的最小值不小于a 時，求實數時，求實數 a 的取值范圍的取值范圍

40、解：解：(1)由已知得由已知得 f(x)的定義域為的定義域為 x(0，)， f(x)ax2a2xx. 當當 a4 時，時，f(x)2x4x. 當當 0 x2 時，時，f(x)2 時，時，f(x)0，即，即 f(x)單調遞增單調遞增 f(x)只有極小值，且在只有極小值，且在 x2 時，時，f(x)取得極小值取得極小值 f(2)44ln 2. (2)f(x)a2xx， 當當 a0，x(0，)時，時，f(x)0，即，即 f(x)在在 x(0，)上單調遞增，沒有最小值；上單調遞增，沒有最小值； 當當 a0 得，得，xa2， f(x)在在 a2， 上單調遞增；上單調遞增； 由由 f(x)0 得，得，xa2， f(x)在在 0，a2上單調遞減上單調遞減 當當 a0 時，時，f(x)的最小值為的最小值為 f a2aln a22 a2. 根據題意得根據題意得 f a2aln a22 a2a， 即即 aln(a)ln 20. a0，ln(a)ln 20，解得，解得 a2， 實數實數 a 的取值范圍是的取值范圍是2,0)