臥式螺旋卸料沉降離心機(jī)設(shè)計(jì)
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Parrondo悖論表明(1)(2),交替進(jìn)行的2個(gè)輸?shù)牟┺挠螒驎?huì)最終導(dǎo)致贏。但這個(gè)令人驚奇的結(jié)果只是用來(lái)解答簡(jiǎn)單的博弈架構(gòu)。而對(duì)于棘齒勢(shì)(3),特別是脈沖式棘齒勢(shì)(4)(5)能夠維持一個(gè)粒子在兩個(gè)外在勢(shì)能下交替運(yùn)動(dòng),且其中任何一個(gè)都無(wú)法產(chǎn)生純粹的運(yùn)動(dòng)。盡管這種現(xiàn)象和Parrondo悖論有性質(zhì)上的矛盾,但二者之間的關(guān)系一直很“融洽”(事實(shí)上,這促成了我們對(duì)于博弈游戲的啟發(fā)),而最近在致力于推導(dǎo)出兩者之間的關(guān)系(6)(7)。
在這里,我們重新列出了主方程,利用脈沖棘齒勢(shì)中Fokker–Planck方程來(lái)清晰地描述它們的關(guān)系。這樣,我們就能夠按照博弈游戲中的概率定義給出動(dòng)力學(xué)表達(dá)式以及電學(xué)表達(dá)式,同樣,給出棘齒勢(shì),我們就能對(duì)應(yīng)博弈游戲來(lái)構(gòu)建出它的勢(shì)能。
Parrondo悖論中,參與者投擲不同的硬幣出現(xiàn)正(反)面則贏(輸)得一單位的資金,盡管提出了許多可能性(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14),這里我們只考慮最原始的那種贏的可能性。定義為資金的實(shí)際價(jià)值,i為系數(shù),來(lái)給出完全指定的集合或概率。則對(duì)于任意Pk都是一個(gè)公平的博弈,輸贏都相等,有:
。
這個(gè)悖論表明了交替進(jìn)行(隨機(jī)或者周期)兩個(gè)公平的博弈游戲可以產(chǎn)生贏的結(jié)果。舉例來(lái)說(shuō),定義交替的博弈游戲A為定義游戲B為且p0=1/10,p1=p2=3/4,這樣產(chǎn)生了贏的結(jié)果,盡管游戲A和游戲B都是公平的游戲。
定義一個(gè)離散次數(shù)τ,則每投擲一次硬幣τ增加1。如果我們定義Pi為次數(shù)τ下i所對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)的概率,能夠得到下列方程:
(1)
這里指當(dāng)資產(chǎn)為時(shí)贏的概率,指當(dāng)資產(chǎn)為時(shí)輸?shù)母怕剩⑶覟榱送暾?,我們已?jīng)介紹了為資產(chǎn)i不變時(shí)的概率(一個(gè)基本沒(méi)有考慮Parrondo悖論的博弈游戲)。這里注意,之前按照規(guī)則的描述,我們已經(jīng)設(shè)定了概率{,,}并不取決于次數(shù),很明顯這滿(mǎn)足:++=1 。 (2)
確保這個(gè)概率為:
。
這樣可以連續(xù)寫(xiě)出主方程:
, (3)
當(dāng)前給出
=, (4)
且: , (5)
這是與Fokker–Plank離散方程(15)中一個(gè)電流的概率P(x, t)一致的形式
(6)
以及電流
(7)
這里有一般的趨勢(shì),及其映射。如果和分別是時(shí)間和空間的離散變量,那么有,,可以清晰的得到
, . (8)
這里離散和連續(xù)的概率與有關(guān),并且考慮到連續(xù)極限有極值,在這種情況下且。
現(xiàn)在,我們考慮了的情況,因于是有:
, (9)
并且電流只不過(guò)是到1的概率變化。
因恒定電流,我們發(fā)現(xiàn)從(4)導(dǎo)出的固定的能夠解決邊界情況下的循環(huán)關(guān)系:
(10)
則電流
(11)
是從得到的歸一化常數(shù),這些表達(dá)式中我們介紹了勢(shì)能按照博弈游戲形式的概率
(12)
零電流的情況下,暗示了周期的勢(shì)能。這種情況再次出現(xiàn)在這樣公平的博弈中,那么得出指數(shù)函數(shù)注意方程(12)分為極限到或,即為推力和移動(dòng)系數(shù)之間的一個(gè)通常的關(guān)系。
按照勢(shì)能,獲取博弈概率的逆運(yùn)算需要解出方程(12)在(17)這種極限情況:
(13)
通過(guò)已給的概率集合,利用(12)這些結(jié)果可以得到隨機(jī)概率(和電流),利用(12);以及逆運(yùn)算:獲得了隨機(jī)的勢(shì)能下博弈游戲的概率,利用(13)。注意交替進(jìn)行的博弈結(jié)果,γ表示時(shí)游戲A的概率,以及
圖1:左邊:因公平的博弈B,從12中可以定義在時(shí)的勢(shì)能。右邊:在時(shí)博弈B的勢(shì)能,結(jié)果來(lái)自于隨機(jī)變化的博弈B和一個(gè)博弈A在概率的情況,。
通過(guò),定義一個(gè)博弈B的集合對(duì)應(yīng)了一個(gè)概率集合,又因變量,得到這種關(guān)系:
(14)
并且相關(guān)概率服從(12)。
我們給出了兩個(gè)應(yīng)用了上述形式的例子,在第一個(gè)中我們計(jì)算了公平的博弈和贏的博弈的隨機(jī)概率,概率時(shí)博弈B和博弈A的隨機(jī)結(jié)合是不變的概率,而悖論(1)最基本的解釋中,產(chǎn)生了圖1的結(jié)果,這里注意組合博弈的勢(shì)能是如何顯示區(qū)域中那種大幅增加的不對(duì)稱(chēng)性。
圖2:左邊:在時(shí)的棘齒勢(shì)。那些零星的離散值適用于博弈B的定義。右邊:從概率的博弈A和博弈B得到了組合博弈的勢(shì)能離散值,其中的線(xiàn)是在條件下的預(yù)估。
第2個(gè)應(yīng)用即為輸入勢(shì)能
(15)已被廣泛應(yīng)用于棘齒原型。設(shè),,將時(shí)的概率離散化,利用(13)我們可以得到一個(gè)概率集合。因勢(shì)能是周期性的,則博弈的B的結(jié)果取決于這些概率是公平的且當(dāng)前為零。博弈A也同樣取決于,。我們繪制了圖2博弈和博弈的勢(shì)能,時(shí)博弈A和博弈B的隨機(jī)組合,再次注意,與贏的博弈B一樣,已經(jīng)傾斜了。如圖3所示電流基于交替進(jìn)行的博弈A和B。
圖3:方程(11)得出的電流,作為交替進(jìn)行的博弈A和B的概率函數(shù)。博弈B被定義為在時(shí)離散化的棘齒勢(shì),對(duì)應(yīng)最大值
綜上所述,我們已經(jīng)利用Fokker–Planck方程寫(xiě)出了主方程來(lái)描述過(guò)阻尼狀態(tài)的布朗粒子所體現(xiàn)的離散一致性。這樣我們能夠把博弈概率與動(dòng)力學(xué)勢(shì)能關(guān)聯(lián)起來(lái),我們的方法產(chǎn)生了一個(gè)公平博弈對(duì)應(yīng)的周期性勢(shì)能和贏的游戲?qū)?yīng)的傾斜的勢(shì)能。生成的表達(dá)式在極限時(shí)用來(lái)獲取脈沖棘齒勢(shì)的有效勢(shì)能以及由此產(chǎn)生的電流。
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