《高考數學 總復習 113 推理與證明單元測試 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 總復習 113 推理與證明單元測試 新人教B版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 高考數學總復習 11-3 推理與證明但因為測試 新人教B版 1.(文)(20xx江西文，6)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則720xx的末兩位數字為(　　) A．01　 　 　 B．43　 　 　 C．07　 　 　 D．49 [答案]　B [解析]　75＝16807,76＝117649，又71＝07，觀察可見7n(n∈N*)的末二位數字呈周期出現(xiàn)，且周期為4， ∵20xx＝5024＋3， ∴720xx與73末兩位數字相同，故選B. (理)(20xx山東濟寧一模)已知函數f(x)＝sinx＋ex＋x20xx，令f1(x)＝f ′(x

2、)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，則f20xx(x)＝(　　) A．sinx＋ex　　　 　　　　 B．cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex [答案]　D [解析]　f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋20xxx2009， f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋20xx2009x2008， f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋20xx20092008x2007， f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋20xx200920082007x2006， 由此可以看出，該函數前2項的

3、和成周期性變化，周期T＝4； 而f20xx(x)＝f ′20xx(x)，此時其最后一項的導數將變?yōu)?. 故求f20xx(x)的值，只需研究該函數前2項和的變化規(guī)律即可，于是，f20xx(x)＝f(3＋4502)(x)＝－cosx＋ex. 2．(文)(20xx惠州模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1||FP3|

4、 [答案]　C [解析]　如圖所示，y2＝2px的準線為x＝－，P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l. 由拋物線定義知：|P1F|＝|P1A|＝x1＋，|P2F|＝|P2B|＝x2＋， |P3F|＝|P3C|＝x3＋， ∴2|P2F|＝2(x2＋)＝2x2＋p， |P1F|＋|P3F| ＝(x1＋)＋(x3＋)＝x1＋x3＋p. 又∵2x2＝x1＋x3， ∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. (理)(20xx山東實驗中學期末)具有性質：f＝－f(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數：①y＝x－，②y＝x＋，③y＝中滿足“倒負”變換的函數是(　　) A

5、．①② B．②③ C．①③ D．只有① [答案]　C [解析]　①對于函數f(x)＝x－， ∵f＝－x＝－＝－f(x)，∴①是“倒負”變換的函數，排除B；②對于函數f(x)＝x＋有f＝＋x＝f(x)不滿足“倒負”變換，排除A；對于③，當01， ∵f(x)＝x，∴f＝＝－＝－f(x)； 當x>1時，0<<1，∵f(x)＝－， ∴f＝－x＝－f(x)；當x＝1時，＝1， ∵f(x)＝0，∴f＝f(1)＝0＝－f(x)， ∴③是滿足“倒負”變換的函數，故選C. 3.(20xx山東淄博一中)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝a，CD＝b(a>b)．若

6、EF∥AB，EF到CD與AB的距離之比為mn，則可推算出：EF＝，試用類比的方法，推想出下述問題的結果．在上面的梯形ABCD中，延長梯形兩腰AD、BC相交于O點，設△OAB、△OCD的面積分別為S1、S2，EF∥AB，且EF到CD與AB的距離之比為mn，則△OEF的面積S0與S1、S2的關系是(　　) A．S0＝ B．S0＝ C.＝ D.＝ [答案]　C [解析]　根據面積比等于相似比的平方求解． 4．(文)(20xx紹興月考)古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成各種形狀來研究數．比如： 他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三

7、角形數；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是(　　) A．289 B．1024 C．1225 D．1378 [答案]　C [解析]　將三角形數記作an，正方形數記作bn，則an＝1＋2＋…＋n＝，bn＝n2， 由于1225＝352＝，故選C. (理)(20xx咸陽市高考模擬考試)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1,4,9,16…這樣的數稱為“正方形數”．如圖，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰的“三角形數”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達式是(　　

8、) ①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A．①④ B．②⑤ C．③⑤ D．②③ [答案]　C [解析]　這些“三角形數”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形數”是“三角形數”中相鄰兩數之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是對的． 5．設⊕是R上的一個運算，A是R的非空子集，若對任意a、b∈A ，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉，下列數集對加法、減法、乘法和除法(除數不等于零)四則運算都封閉的是(　　) A．自然數集 B．整數集 C．有理數集

9、D．無理數集 [答案]　C [解析]　令a＝1，b＝2，＝，可排除A、B. 令a＝，b＝3，＝3，可排除D，故選C. [點評]　這是一個信息給予題，用篩選法(即排除法解)更加簡便． 6．(20xx長春十一中月考)規(guī)定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步，現(xiàn)程序設計師讓機器狗以“前進3步，然后再退2步”的規(guī)律移動．如果將此機器狗放在數軸原點，面向正方向，以1步的距離為1個單位長度移動，令P(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標，且P(0)＝0，則下列結論中錯誤的是(　　) A．P(2007)＝403 B．P(2008)＝404 C．P(2009)＝403 D．P(20xx)＝4

10、04 [答案]　D [解析]　顯然每5秒前進一個單位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1， ∴P(2007)＝P(5401＋2)＝401＋2＝403， P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(20xx)＝402，故選D. 7．已知整數對排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上構造規(guī)律，第60個數對是________． [答案]　(5,7) [解析]　所給各數對依次為對整數2,3,4,5，…的分解，且

11、是第一個數從小到大依次分解，2的分解有一個(1,1)，3的分解有兩個(1,2)，(2,1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n(n≥2，n∈N)的分解有n－1個，由≤60得，n≤11， ∵n＝11時，＝55，故第60個數對為12的分解第5對，由(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)(或5＋7＝12)知，第5對為(5,7)． 8．(20xx湘潭五模、蚌埠質檢)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均為正實數)，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________. [答案]　41 [解析]　根據題中所列的前幾項的規(guī)律可知其通項應為＝n，所以

12、當n＝6時a＝6，t＝35，a＋t＝41. 9．(20xx江西吉安期末)請閱讀下列材料：若兩個正實數a1，a2滿足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因為對一切實數x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.類比上述結論，若n個正實數滿足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的結論為________． [答案]　a1＋a2＋…＋an≤(n∈N*) [解析]　構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1， ∵f

13、(x)≥0對任意實數x都成立， ∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0， ∵a1，a2，…，an都是正數，∴a1＋a2＋…＋an≤. 10．設{an}是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和． (1)求證：數列{Sn}不是等比數列； (2)數列{Sn}是等差數列嗎？為什么？ [解析]　(1)證明：法一(反證法)：若{Sn}是等比數列，則S＝S1S3，即 a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)． ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0，與q≠0矛盾，故{Sn}不是等比數列． 法二：只需證明SnSn＋2≠S. ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn

14、＋1， ∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0. 故{Sn}不是等比數列． (2)解：當q＝1時，{Sn}是等差數列．當q≠1時，{Sn}不是等差數列，否則由S1，S2，S3成等差數列得，2S2＝S1＋S3. ∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0， ∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2， ∵q≠1，∴q＝0，與q≠0矛盾. 11.下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型．在某高峰時段，單位時間進出路口A、B、C的機動車輛數如圖所示，圖中x1、x2、x3分別表示該時段單位時間通過路段

15、、、的機動車輛數(假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等)，則(　　) A．x1>x2>x3 B．x1>x3>x2 C．x2>x3>x1 D．x3>x2>x1 [答案]　C [解析]　∵x1＝50＋(x3－55)＝x3－5?x3>x1， x2＝30＋(x1－20)＝x1＋10?x2>x1， x3＝30＋(x2－35)＝x2－5?x2>x3， ∴x2>x3>x1，∴選C. [點評]　抓住“同一路段上駛入與駛出的車輛數相等”這一信息是解題的關鍵，考查閱讀理解能力． 12．(文)(20xx泉州模擬)考察下列一組不等式：23＋53>225＋252

16、,24＋54>235＋253,2＋5>225＋252，….將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為________________________． [答案]　am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0) [解析]　由“23＋53>225＋252”，“24＋54>235＋253”，“2＋5>225＋25”，可得推廣形式的最基本的印象：應具有“□□＋□□>□□□□＋□□□□”的形式． 再分析底數間的關系，可得較細致的印象：應具有“a□＋b□>a□b□＋a□b□”的形式． 再分析指數間的關系，可得準確

17、的推廣形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)． (理)觀察等式：sin230＋cos260＋sin30cos60＝，sin220＋cos250＋sin20cos50＝和sin215＋cos245＋sin15cos45＝，…，由此得出以下推廣命題，則推廣不正確的是(　　) A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝ B．sin2(α－30)＋cos2α＋sin(α－30)cosα＝ C．sin2(α－15)＋cos2(α＋15)＋sin(α－15)cos(α＋15)＝ D．sin2α＋cos2(α＋30)＋sinαcos(α＋30)＝ [答

18、案]　A [解析]　觀察已知等式不難發(fā)現(xiàn)，60－30＝50－20＝45－15＝30，推廣后的命題應具備此關系，但A中α與β無聯(lián)系，從而推斷錯誤的命題為A.選A. 13．(文)(20xx江蘇蘇州測試、南寧模擬)已知結論：“在三邊長都相等的△ABC中，若D是BC的中點，G是△ABC外接圓的圓心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在六條棱長都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則＝________.” [答案]　3 [解析]　如圖，易知球心O在線段AM上，不妨設四面體ABCD的邊長為1，外接球的半徑為R，則BM＝＝， AM

19、＝＝， R＝，解得R＝. 于是，＝＝3. (理)如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則(ihi)＝.類比以上性質，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則(iHi)的值為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　在平面四邊形中，連接P點與各個頂點，將其分成四個小三角形，根據三角形面積公式，得 S＝(a1h1＋a2h2＋a3h

20、3＋a4h4) ＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝(ihi)． 所以(ihi)＝. 類似地，連接Q點與三棱錐的四個頂點，將其分成四個小三棱錐，則有 V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4) ＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4) ＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝(iHi)， ∴(iHi)＝. [點評]　類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類相類似的對象之間的推理，類比的關鍵是能把兩個系統(tǒng)之間的某種一致性(相似性)確切地表達出來，也就是要把相關對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚．類比推理能夠為我們提供發(fā)現(xiàn)的思路和方向，但類比推理的結論不一定正確． 14．

21、先解答(1)，再根據結構類比解答(2)： (1)已知a，b為實數，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b. (2)已知a，b，c均為實數，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c. [解析]　(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0. (2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，據(1)得(ab)c＋1>ab＋c， ∴abc＋2＝[(ab)c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c. 你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結論嗎？ 即xi∈R，|xi|<1(i＝1,2，…，n)時，有________． 15．(20x

22、x上海模擬)冬天，潔白的雪花飄落時非常漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下： (ⅰ)將正三角形(圖①)的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②； (ⅱ)將圖②的每三邊等分，重復上述作圖方法，得到圖③； (ⅲ)再按上述方法無限多次繼續(xù)作下去，所得到的曲線就是雪花曲線． 將圖①、圖②、圖③……中的圖形依次記作M1，M2，…，Mn，…，設M1的邊長為1. 記Mn的邊數為an，邊長bn，周長為Ln. (1)寫出a1，a2，a3；b1，b

23、2，b3； (2)求an，bn，Ln. [解析]　(1)a1＝3，a2＝12，a3＝48，b1＝1，b2＝，b3＝， (2)其邊數與邊長的變化規(guī)律是：一條邊變?yōu)?條邊，邊長為原來的，如圖∴an＋1＝4an，bn＋1＝bn. 又a1＝3，∴an＝34n－1， ∵b1＝1，∴bn＝. (3)Ln＝anbn＝34n－1 ＝3n－1. 16．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0， 只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－

24、b)(a－c)>0. 因為a>b>c，所以a－b>0，a－c>0， 所以(a－b)(a－c)>0，顯然成立，故原不等式成立． 1．設a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　首先若P、Q、R同時大于零，則必有PQR>0成立． 其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，則必有兩個為負， 不妨設P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0

25、. 2．將正整數排成下表： 則在表中數字20xx出現(xiàn)在(　　) A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 [答案]　D [解析]　第n行有2n－1個數字，前n行的數字個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<20xx,2025>20xx，∴20xx在第45行． 又2025－20xx＝15，且第45行有245－1＝89個數字，∴20xx在第89－15＝74列，選D. 3．(20xx清遠模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應圖中的(1)(2)(3)(4)，那么

26、下圖中(A)(B)所對應的運算結果可能是(　　) A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D [答案]　B [解析]　觀察圖形及對應運算分析可知，基本元素為A→|，B→□，C→——，D→○，從而可知圖(A)對應B*D，圖B對應A*C. 4．(20xx皖南八校聯(lián)考)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.

27、例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是(　　) A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 [答案]　C [解析]　對于選項C，傳輸信息是10111，對應的原信息是011，由題目中運算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應是10110. 5．n個連續(xù)自然數按規(guī)律排成下表： 根據規(guī)律，從2008到20xx的箭頭方向依次為(　　) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ [答案]　A [解析]　觀察圖例可見，位序相同的數字都是以4為

28、公差的等差數列，故從2008至20xx，其位序應與相同，故選A. 6．(20xx曲師大附中)設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝；類比這個結論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球的半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　設三棱錐的內切球球心為O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC， 即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r， 可得r＝. 7．(20xx陜西文，13)觀察下列等式 　　　　　　　1

29、＝1 　　　　　　2＋3＋4＝9 　　　　　3＋4＋5＋6＋7＝25 　　　　4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 　　　　　　　　　…… 照此規(guī)律，第五個等式應為______________________． [答案]　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析]　第1個等式有1項，從1開始 第2個等式有3項，從2開始 第3個等式有5項，從3開始 第4個等式有7項，從4開始 每個等式左邊都是相鄰自然數的和，右邊是項數的平方，故由已知4個等式的變化規(guī)律可知，第5個等式有9項，從5開始，等式右邊是92，故為5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81. [

30、點評]　觀察各等式特點可得出一般結論：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 8．(20xx臺州模擬)觀察下列等式： (1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2， (1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4， (1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6， (1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8， …… 由以上等式推測：對于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a2＝________. [答案]　n(n＋1) [解析]　由給出等式觀察可知，x

31、2的系數依次為1,3,6,10,15，…，∴a2＝n(n＋1)． 9．(20xx鹽城市高三第一次調研)觀察下列幾個三角恒等式： ①tan10tan20＋tan20tan60＋tan60tan10＝1； ②tan5tan100＋tan100tan(－15)＋tan(－15)tan5＝1； ③tan13tan35＋tan35tan42＋tan42tan13＝1. 一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個恒等式中猜想得到的一個結論為__________________________． [答案]　當α＋β＋γ＝90時，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1 [解析]　所給三角恒等式都為tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的結構形式，且α，β，γ之間滿足α＋β＋γ＝90.