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1、
專(zhuān)題四 解三角形
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí)
1.正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
===2R(R為△ABC外接圓半徑)
a2=b2+c2-2bccos_A;
b2=c2+a2-2cacos_B;
c2=a2+b2-2abcos_C
變形形式
a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
sin A=,sin B=,
sin C=;
a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;
=
cos A=;
cos B=;
cos C=
2.三角形中常用的面積公式
(1)△=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分
2、別表示a、b、c上的高);
(2)△=absinC=bcsinA=acsinB;
(3)△===;
(4)△=2R2sinAsinBsinC。(R為外接圓半徑)
(5)△=;
(6)△=;;
(7)△=rs。
3.仰角和俯角
在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中,視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角,在水平線(xiàn)下方的角叫俯角(如圖①).
4.方位角
從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的角(如圖②,B點(diǎn)的方位角為α).
5.方向角
相對(duì)于某一正方向的角(如圖③).
(1)北偏東α:指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.
(2)東北方向:指北偏東45.
(3)其他方向角類(lèi)
3、似.
二、題之本:思想方法技巧
1.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),要謹(jǐn)防漏解.
2.在判斷三角形的形狀時(shí),一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系(注意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論)或邊邊關(guān)系,再用三角變換或代數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解,注意等式兩邊的公因式一般不要約掉,而要移項(xiàng)提取公因式,否則有可能漏掉一種形狀.
3.要熟記一些常見(jiàn)結(jié)論,如三內(nèi)角成等差數(shù)列,則必有一角為60;若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列,則三邊也成等差數(shù)列;內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論:sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),sin=cos,sin2A=-
4、sin2(B+C),cos2A=cos2(B+C)等.
4.應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟:
(1)分析:理解題意,分清已知與未知,畫(huà)出示意圖;
(2)建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中到一個(gè)三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的模型;
(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;
(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)上述所求得的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.
5.正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角
5、形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù).其主要方法有:化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法.注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想.
6.要注意銳角三角形中的隱含條件:任意兩內(nèi)角的和大于.
例:設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,
(Ⅰ)求的大??;(Ⅱ)求的取值范圍
【解】(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得
三、題之變:課本典例改編
1.原題(必修5第3頁(yè)例1)改編 中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的值為( )
【解析】先
6、求出,再求出,最后用一次正弦定理即得.選D.
2.原題(必修5第10頁(yè)習(xí)題1.1A組第2題)改編1 在三角形ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩個(gè)解的是( )
A.a(chǎn)=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A=
C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A=
【解析】C.
改編2 在△ABC中,已知,,B=45 ,求A、C及c.
3.原題(必修5第10頁(yè)習(xí)題1.1B組第2題)改編 (2010遼寧)在△ABC中,a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊,且(Ⅰ)求A的
7、大??;(Ⅱ)求的最大值.
【解析】(Ⅰ)由已知,根據(jù)正弦定理得
即,由余弦定理得 ,故,A=120
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故當(dāng)B=30時(shí),sinB+sinC取得最大值1.
4.原題(必修5第11頁(yè)例2)改編 如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸兩個(gè)建筑物C、D之間的距離,在河岸這邊取兩點(diǎn)A、B,測(cè)得∠BAC=45,∠DAC=75,∠ABD=30,∠DBC=45.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面內(nèi),試求C、D之間的距離.
5.原題(必修5第19頁(yè)習(xí)題1.2A組第1題)改編 一只船以均勻的速度由A點(diǎn)
8、向正北方向航行,如圖,開(kāi)始航行時(shí),從A點(diǎn)觀測(cè)燈塔C的方位角為30,行駛60海里后,船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔C的方位角為45,求A到C的距離.
【解析】A到C的距離為海里.
6.原題(必修5第81頁(yè)習(xí)題3.2B組第四題)改編 如圖,氣象部門(mén)預(yù)報(bào):在海面上生成了一股較強(qiáng)臺(tái)風(fēng),在距臺(tái)風(fēng)中心60千米的圓形區(qū)域內(nèi)將會(huì)受?chē)?yán)重破壞.臺(tái)風(fēng)中心正從海岸M點(diǎn)登陸,并以72千米/時(shí)的速度沿北偏西60的方向移動(dòng).已知M點(diǎn)位于A城的南偏東15方向,距A城千米;M點(diǎn)位于B城的正東方向,距B城千米.假設(shè)臺(tái)風(fēng)在移動(dòng)過(guò)程中,其風(fēng)力和方向保持不變,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)A城和B城是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的侵襲?并說(shuō)明理由;(2)若受到此次臺(tái)風(fēng)侵襲,該城受到臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間有多少小時(shí)?
【解析】(1)A城不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響:B城會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響;(2)小時(shí);