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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
2超幾何分布
超幾何分布
已知在8件產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中任取2件,用X表示取得的次品數(shù).
問題1:X可能取哪些值?
提示:0,1,2.
問題2:“X=1”表示的試驗結(jié)果是什么?P(X=1)的值呢?
提示:任取2件產(chǎn)品中恰有1件次品.
P(X=1)=.
問題3:如何求P(X=k)?(k=0,1,2)
提示:P(X=k)=.
超幾何分布
一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件是次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么
P(X=k)=(其中k為非負整數(shù)).
2、如果一個隨機變量的分布列由上式確定,則稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布.
(1)超幾何分布,實質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩類物品,其中一類有M(M≤N)件,從所有物品中任取n件,這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機變量,它取值為k時的概率為P(X=k)=①(k≤l,l是n和M中較小的一個).
(2)在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式①求出X取不同值時的概率P,從而寫出X的分布列.
利用超幾何分布公式求概率
[例1] 高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲:在一個口袋中裝有10個紅球,20個白球,這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)一次從中摸出5
3、個球,若摸到4個紅球1個白球的就中一等獎,求中一等獎的概率.
[思路點撥] 若以30個球為一批產(chǎn)品,則球的總數(shù)30可與產(chǎn)品總數(shù)N對應(yīng),紅球數(shù)10可與產(chǎn)品中總的不合格產(chǎn)品數(shù)對應(yīng),一次從中摸出5個球,即n=5,這5個球中紅球的個數(shù)X是一個離散型隨機變量,X服從超幾何分布.
[精解詳析] 若以30個球為一批產(chǎn)品,其中紅球為不合格產(chǎn)品,隨機抽取5個球,X表示取到的紅球數(shù),則X服從超幾何分布.
由公式得P(X=4)==≈0.0295,
所以獲一等獎的概率約為2.95%.
[一點通] 解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷所給問題是否屬于超幾何分布問題,若是,則可直接利用公式求解,要注意M,N,n,k的取值
4、.
1.一批產(chǎn)品共10件,次品率為20%,從中任取2件,則正好取到1件次品的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:由題意10件產(chǎn)品中有2件次品,故所求概率為P==.
答案:B
2.設(shè)10件產(chǎn)品中,有3件次品,現(xiàn)從中抽取5件,用X表示抽得次品的件數(shù),則X服從參數(shù)為________(即定義中的N,M,n)的超幾何分布.
答案:10,3,5
3.從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機選出3名同學(xué)參加一項競技測試.試求出選3名同學(xué)中,至少有一名女同學(xué)的概率.
解:設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=4,n=3的
5、超幾何分布,于是選出的3名同學(xué)中,至少有一名女同學(xué)的概率為:P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++=或P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.
超幾何分布的分布列
[例2] (10分)從5名男生和3名女生中任選3人參加某運動會火炬接力活動,若隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的分布列及P(X<2).
[思路點撥] 可以將8人看作8件“產(chǎn)品”,3名女生看作3件“次品”,任選3人中女生的人數(shù)可看作是任取3件“產(chǎn)品”中所含的“次品”數(shù).
[精解詳析] 由題意分析可知,隨機變量X服從超幾何分布.其中N=8,M=3,n=3,
(2分)
所以P(X=0)==,
6、P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
(8分)
從而隨機變量X的分布列為
X=k
0
1
2
3
P(X=k)
所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
(10分)
[一點通] 解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機變量是否服從超幾何分布,如果滿足超幾何分布的條件,則直接利用超幾何分布概率公式來解.當然,本例也可通過古典概型解決.
4.(重慶高考改編)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
7、
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列.(注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù).)
解:(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p==.
(2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,
故X的分布列為
X
1
2
3
P
5.某飲料公司招聘了一名員工,現(xiàn)對其進行一項測試,以便確定工資級別.公司準備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求其員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對,則月工資定為3 500
8、元;若4杯選對3杯,則月工資定為2 800元;否則月工資定為2 100元.令X表示此人選對A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.
(1)求X的分布列;
(2)用Y表示新錄用員工的月工資,求Y的分布列.
解:(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.
P(X=k)=(k=0,1,2,3,4).
則X的分布列為
X=k
0
1
2
3
4
P(X=k)
(2)令Y表示新錄用員工的月工資,則Y的所有可能取值為2 100,2 800,3 500.
則P(Y=3 500)=P(X=4)=,
P(Y=2 800)=P(X=3)=,
P
9、(Y=2 100)=P(X≤2)=,
則Y的分布列為
Y=k
2 100
2 800
3 500
P(Y=k)
1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,從形式上看超幾何分布的模型,其產(chǎn)品有較明顯的兩部分組成.
2.在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式求出隨機變量X取k時的概率P(X=k),從而列出隨機變量X的分布列.
1.一個小組有6人,任選2名代表,求其中甲當選的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)X表示2名代表中有甲的個數(shù),X的可能取值為0,1,
由題意知X服從超幾何分布,其中參數(shù)為N=
10、6,M=1,n=2,
則P(X=1)==.
答案:B
2.在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球,這些球除顏色外完全相同,從中摸出3個球,至少摸到2個黑球的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析:黑球的個數(shù)X服從超幾何分布,則至少摸到2個黑球的概率P(X ≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
答案:A
3.某12人的興趣小組中,有5名“三好生”,現(xiàn)從中任意選6人參加競賽,用X表示這6人中“三好生”的人數(shù),則是表示的概率是( )
A.P(X=2) B.P(X=3)
C.P(X≤2) D.P(X≤3)
解析:6人中“三好生”的人數(shù)
11、X服從超幾何分布,其中參數(shù)為N=12,M=5,n=6,所以P(X=3)=.
答案:B
4.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張,則至少有3張A的概率為( )
A. B.
C.1- D.
解析:設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù).
則P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+.
答案:D
5.某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當選的概率為________.
解析:至少有1名女生當選包括1男1女,2女兩種情況,概率為=.
答案:
6.知識競答,共有10個不同的題目,其中選擇題6個,判斷題4個,小張抽4題,則小張抽到選擇題至
12、少2道的概率為________.
解析:由題意知小張抽到選擇題數(shù)X服從超幾何分布(N=10,M=6,n=4),
小張抽到選擇題至少2道的概率為:
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.
答案:
7.一盒中有12個乒乓球,其中9個新的,3個舊的,從盒中任取3個球來用,用完后裝回盒中,此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量,求X的分布列.
解:由題意知,舊球個數(shù)X的所有可能取值為3,4,5,6.
則P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)===,P(X=6)===.
所以X的分布列為
X=i
3
4
5
6
P(X=i)
13、
8.在一次購物抽獎活動中,假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張,可獲價值50元的獎品,有二等獎獎券3張,每張可獲價值10元的獎品,其余6張沒有獎品.
(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張,求中獎次數(shù)X的分布列.
(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張.
①求顧客乙中獎的概率;
②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值Y元,求Y的分布列.
解:(1)抽獎一次,只有中獎和不中獎兩種情況,故X的取值只有0和1兩種情況.
P(X=1)===,
則P(X=0)=1-P(X=1)=1-=.
因此X的分布列為
X=k
0
1
P(X=k)
(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類:所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎.
故所求概率P===.
②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60,且
P(Y=0)===,
P(Y=10)===,
P(Y=20)===,
P(Y=50)===,
P(Y=60)===.
因此隨機變量Y的分布列為
Y=k
0
10
20
50
60
P(Y=k)