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1、
一、題之源:課本基礎知識
1.求二次函數(shù)的解析式
利用已知條件求二次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法,但須根據(jù)不同條件選取適當形式的f(x),一般規(guī)律是:
①已知三個點的坐標時,宜用一般式;
②已知拋物線的頂點坐標、對稱軸、最大(小)值時,常用頂點式;
③若已知拋物線與x軸有兩個交點,且橫坐標已知時,選用零點式更方便.
2.含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域
二次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的最值或值域問題,通常有兩種類型:其一是定函數(shù)(解析式確定),動區(qū)間(區(qū)間的端點含有參數(shù));其二是動函數(shù)(解析式中含有參數(shù)),定區(qū)間(區(qū)間是確定的).無論哪種情況,解題的關(guān)鍵都是抓住“三
2、點一軸”,“三點”即區(qū)間兩端點與區(qū)間中點,“一軸”即為拋物線的對稱軸.對于動函數(shù)、動區(qū)間的類型同樣是抓住“三點一軸”,只不過討論要復雜一些而已
3.分數(shù)指數(shù)冪 (,且)
(1).如;(2) . 如;(3);
(4)當為奇數(shù)時,; 當為偶數(shù)時,.
4.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)()
(1); (2); (3)
5.指數(shù)函數(shù)(且),其中是自變量,叫做底數(shù),定義域是R
x
y
0
1
y
圖
象
1
0
x
性
質(zhì)
(1)定義域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)過定點(0,1),即x=0時,y=1
(4)
3、在 R上是增函數(shù)
(4)在R上是減函數(shù)
6.若,則 叫做以 為底的對數(shù)。記作:(,)
其中,叫做對數(shù)的底數(shù),叫做對數(shù)的真數(shù)。
注:指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式:
7.對數(shù)的性質(zhì)
(1)零和負數(shù)沒有對數(shù),即中;
(2)1的對數(shù)等于0,即 ;底數(shù)的對數(shù)等于1,即
8.常用對數(shù):以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記為:
自然對數(shù):以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記為:
9.對數(shù)恒等式:
10.對數(shù)的運算性質(zhì)(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1);
(2) ;
(3) (注意公式的逆用)
11.對數(shù)的換底公式
4、(,且,,且, ).
推論①或; ②.
12.對數(shù)函數(shù)(,且):其中,是自變量,叫做底數(shù),定義域是
圖像
x
1
y
0
1
x
0
性質(zhì)
定義域:(0, ∞)
值域:R
過定點(1,0)
增函數(shù)
減函數(shù)
取值范圍
01時,y>0
00
x>1時,y<0
13.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù);它們圖象關(guān)于直線對稱.
14.冪函數(shù)(),其中是自變量。要求掌握這五種情況(如下圖)
15.冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律:
(Ⅰ)所有冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,
5、并且圖象都過點(1,1);
(Ⅱ)當時,冪函數(shù)的圖象都通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).
(Ⅲ)當時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).
二、題之本:思想方法技巧
1.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.
2.對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應滿足的條件是求解對數(shù)問題時必須予以特別重視的.
3. 比較冪形式的兩個數(shù)的大小,一般的思路是:(1)若能化為同指數(shù),則用冪函數(shù)的單調(diào)性;(2)若能化為同底數(shù),則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;(3)若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小.
4.比較幾個數(shù)的大小是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應用的常
6、見題型.在具體比較時,可以首先將它們與零比較,分出正負;正數(shù)通常都再與1比較分出大于1還是小于1,然后在各類中間兩兩相比較.
5.冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關(guān)系,大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x=2或x=的交點縱坐標的大小反映.一般地,在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”),在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,圖象越遠離x軸(不包括冪函數(shù)y=x0).
6.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在二、三象限內(nèi),則要看函數(shù)的定義域和奇偶性.函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi),如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交,則交點
7、一定是原點.
7.判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或冪函數(shù),一定要根據(jù)三種函數(shù)定義中的“標準”形式.如f(x)=2x2不是指數(shù)函數(shù),而f(x)=23x是指數(shù)函數(shù),因為f(x)=23x=8x,此時a=8,同樣f(x)=2x+1也不是指數(shù)函數(shù),因為f(x)=2x+1=22x,不是f(x)=ax(a>0,且a≠1)的形式.
8.若,則,。
三、題之變:課本典例改編
1. 原題(必修1第五十九頁習題2.1第8題)已知下列不等式,比較,的大小
(1) (2)
改編1 設,那么 ( )
A.a<a<b B.a< b<a C.a<a<
8、b D.a<b<a
【答案】C.
改編2 已知,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】 由已知,因為在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,所以,故答案為A.
改編3 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)(且)的圖象關(guān)于直線對稱,記.若在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】 本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式,再用換元法判斷的單調(diào)性,結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù),求出實數(shù)的取值范圍是,故答案為D.
2. 原題(必修1第七十五頁習題2.
9、2 B組第2題)若,且,求實數(shù)的取值范圍.
改編1 若,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】 當時,若,則,∴
當時,若,則,此時無解!故選C.
改編2 設,函數(shù),則使的的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
3. 原題(必修1第七十五頁習題2.2 B組第4題)已知函數(shù),,且(1)求函數(shù)定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
改編1 已知是偶函數(shù),定義域為.則 , .
【答案】,.
【解析】 函數(shù)是偶函數(shù),所以定義域關(guān)于原點對稱.∴,.
改編2 函
10、數(shù)的圖象關(guān)于 ( )
A.軸對稱 B.軸對稱 C.原點對稱 D.直線對稱
【答案】B.
【解析】 函數(shù)定義域為,所以,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖像關(guān)于軸對稱.故選B.
改編3 若函數(shù)是奇函數(shù),則
【答案】
4.原題(必修1第八十二頁復習參考題A組第七題)已知,求證:(1),(2).
改編 給出下列三個等式:.下列選項中,不滿足其中任何一個等式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)的性質(zhì)可知,滿足,滿足,
11、滿足,而不滿足其中任何一個等式.故選B.
5.原題(必修1第八十二頁復習參考題A組第八題)已知,,求證:(2).
改編 定義在上的函數(shù)滿足對,都有成立,且當時,,給出下列命題:①;②函數(shù)是奇函數(shù);③函數(shù) 只有一個零點;④,其中正確命題的個數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
6.原題(必修1第八十三頁復習參考題B組第一題)已知集合,
,則=( )
A. B. C. D.
改編 在平面直角坐標系中,集合,且,設集合中的所有點的橫坐標之積為,則有( )
A. B.
12、 C. D.
【答案】B.
【解析】由圖知與圖象交于不同的兩點,設為,不妨設,則,∵在R上遞減,∴,當時,,,;當時,,,,故選B.
7.原題(必修1第八十三頁復習參考題B組第三題)對于函數(shù).(a R)
(1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在實數(shù)a使f(x)為奇函數(shù)?
改編1 對于函數(shù)f(x)=a+ (x∈R),(1)用定義證明:f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù);(2)若f(x)是奇函數(shù),求a值;(3)在(2)的條件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
【解析】(1):設<,則f()-f()=-=∵->0,>0,>0.即f()-f()>0.∴f(x)
13、在R上是單調(diào)減函數(shù)
(2)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0?a=-1.
(3)由(1)(2)可得f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù),∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.轉(zhuǎn)化為f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),?2t+1≥-t+5?t≥,故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集為:{t|t≥}.
改編2 已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).(1)求a,b的值;(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
8.原題(必修1第八十三頁復習參考題B組第四題)設,求證:(1);(2);(3);
改編1 設,給出如下結(jié)論:①對任意,有;②存在實數(shù),使得;③不存在實數(shù),使得;④對任意,有;
其中所有正確結(jié)論的序號是
【答案】①③④.
改編2 已知函數(shù)滿足,且,分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若使得不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】.
【解析】,得,
即,解得,,即得
,參數(shù)分離得,因為
(當且僅當,即時取等號,的解滿足),
所以.
改編3 已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足:,則
.
【答案】