5、________________________.
自我檢測
1．計算定積分?3xdx的值為 ( )
A. B．75
C. D．25
2．定積分?[－x]dx等于 ( )
A. B.－1
C. D.
3．如右圖所示，陰影部分的面積是 ( )
A．2 B
6、．2－
C. D.
4．(20xx湖南)?dx等于 ( )
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
5．若由曲線y＝x2＋k2與直線y＝2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S＝9，則k＝________.
探究點一 求定積分的值
例1 計算下列定積分：
(1)；
(2)；
(3)?(2sin x－3ex＋2)dx；
(4)?|x2－1|dx.
變式遷移1 計算下列定積分：
(1)?|sin x|
7、dx；(2)?sin2xdx.
探究點二 求曲線圍成的面積
例2 計算由拋物線y＝x2和y＝3－(x－1)2所圍成的平面圖形的面積S.
變式遷移2 計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．
探究點三 定積分在物理中的應用
例3 一輛汽車的速度－時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內所行駛的路程．
變式遷移3 A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達途中C點，這一段速度為1.2t m/s，到C點時速度達24 m/s，從C點到B點前的D點以勻速行駛，從D點開始剎
8、車，經t s后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求：
(1)A、C間的距離；
(2)B、D間的距離；
(3)電車從A站到B站所需的時間．
函數思想的應用
例 (12分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值．
【答題模板】
解 S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝tt2－?x2dx＝t3.[2分]
S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t，即S2＝?
9、x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分]
所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分]
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝.[8分]
t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝.[10分]
所以當t＝時，S最小，且最小值為.[12分]
【突破思維障礙】
本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數的最小值問題，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導數的知識求面積和的最小值，難點在于把用導數求函數最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查學生知識的遷移能力和導數的應用意識．
1．定積分?f(x)dx的幾何意義就是表
10、示由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積；反過來，如果知道一個這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應定積分的值，如?dx＝π (半徑為2的個圓的面積)，?dx＝2π.
2．運用定積分的性質可以化簡定積分計算，也可以把一個函數的定積分化成幾個簡單函數定積分的和或差．
3．計算一些簡單的定積分問題，解題步驟是：第一步，把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數積的和或差；第二步，把定積分用定積分性質變形為求被積函數為上述函數的定積分；第三步，分別用求導公式找到一個相應的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分別用牛頓—萊布尼茨公式求各個
11、定積分的值后計算原定積分的值．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．下列值等于1的積分是 ( )
A．?xdx B．?(x＋1)dx
C．?dx D．?1dx
2．(20xx汕頭模擬)設函數f(x)＝則?f(x)dx等于 ( )
A. B.
C．6 D．17
3．已知f(x)為偶函數且?f(x)dx＝8，則?f(x)dx等于
12、( )
A．0 B．4 C．8 D．16
4．(20xx深圳模擬)曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為 ( )
A．?0(sin x－cos x)dx
B．2?0(sin x－cos x)dx
C．?0(cos x－sin x)dx
D．2?0(cos x－sin x)dx
5．(20xx臨渭區(qū)高三調研)函數f(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上
13、 ( )
A．有最大值0，無最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，無最大值
D．既無最大值也無最小值
題號
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．若1 N的力使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力做的功為__________J.
7．?(2xk＋1)dx＝2，則k＝________.
8．(20xx山東實驗中學高三三診)若f(x)在R上可導，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則?f(x)dx＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)計算以下定積分：
(1)?d
14、x； (2)?2dx；
(3)?0(sin x－sin 2x)dx； (4)?|3－2x|dx.
10．(12分)設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表達式；
(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積．
11．(14分)求曲線y＝ex－1與直線x＝－ln 2，y＝e－1所圍成的平面圖形的面積．
答案 自主梳理
1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x) 面積
2．(1)k?f(x)dx (2)?f1(x)dx?f2(x)dx (3)
15、?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a0時，S＝?(x2＋k2－2kx)dx
＝?(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，
由題意知＝9，∴k＝3.
由圖象的對稱性可知k＝－3也滿足題意，故k＝3.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 (1)與
16、絕對值有關的函數均可化為分段函數．
①分段函數在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段積分的和的形式．
②分段的標準是使每一段上的函數表達式確定，按照原函數分段的情況分即可，無需分得過細．
(2)f(x)是偶函數，且在關于原點對稱的區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx.
解 (1)?dx
＝?xdx＋?dx＋?dx
＝x2|＋ln x|－|
＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－
＝e2－＋.
(2)?0(sin x－2cos x)dx
＝?0sin xdx－2?0cos xdx
＝(－cos x)|0－2sin x|0
＝－cos －(－cos 0)
17、－2
＝－1.
(3)?(2sin x－3ex＋2)dx
＝2?sin xdx－3?exdx＋?2dx
＝2(－cos x)|－3ex|＋2x|
＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)
＝7－3eπ＋2π.
(4)∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝
∴?|x2－1|dx＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝|＋|＝2.
變式遷移1 解 (1)∵(－cos x)′＝sin x，
∴?|sin x|dx＝?|sin x|dx＋?|sin x|dx
＝?sin xdx－?sin xdx
＝－cos x|＋cos x|
＝－(co
18、s π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.
(2)?sin2xdx＝?dx
＝?dx－?cos 2xdx
＝x|－|
＝－
＝.
例2 解題導引 求曲線圍成的面積的一般步驟為：(1)作出曲線的圖象，確定所要求的面積；(2)聯立方程解出交點坐標；(3)用定積分表示所求的面積；(4)求出定積分的值．
解 作出函數y＝x2和y＝3－(x－1)2的圖象(如圖所示)，則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積．
解方程組得或
所以兩曲線交點為A，B(2,2)．
所以S＝?2－[3－(x－1)2]dx－?2－x2dx
＝?2－(－x2＋2x＋2)dx－?2－x2dx
19、
＝2－－2－
＝－－
＝4.
變式遷移2 解
如圖，
設f(x)＝x＋3，
g(x)＝x2－2x＋3，
兩函數圖象的交點為A，B，
由
得或
∴曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積
S＝?[f(x)－g(x)]dx
＝?[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]
＝?(－x2＋3x)dx
＝|＝.
故曲線與直線所圍圖形的面積為.
例3 解題導引 用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉化為數學問題是關鍵．變速直線運動的速度函數往往是分段函數，故求積分時要利用積分的性質將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案．s(t)求導
20、后得到速度，對速度積分則得到路程．
解 方法一 由速度—時間曲線易知．
v(t)＝
由變速直線運動的路程公式可得
s＝?3tdt＋?30dt＋?(－1.5t＋90)dt
＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)．
答 此汽車在這1 min內所行駛的路程是1 350 m.
方法二 由定積分的物理意義知，汽車1 min內所行駛的路程就是速度函數在[0,60]上的積分，也就是其速度曲線與x軸圍成梯形的面積，
∴s＝(AB＋OC)30＝(30＋60)30＝1 350 (m)．
答 此汽車在這1 min內所行駛的路程是1 350 m.
變式遷移3 解 (1)設v(t)＝1.2t，令
21、v(t)＝24，∴t＝20.
∴A、C間距離|AC|＝?1.2tdt
＝(0.6t2)|＝0.6202＝240 (m)．
(2)由D到B時段的速度公式為
v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．
(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，
∴|CD|＝7 200－2402＝6 720 (m)．
∴C、D段用時＝280 (s)．
又A、C段與B、D段用時均為20 s，
∴共用時280＋20＋20＝320 (s)．
課后練習區(qū)
1．D 2.B 3.D 4.D 5.B
6．0.36
解析 設力F與彈簧伸長的長度x的關系式為F＝kx，
22、
則1＝k0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸長12 cm時克服彈力做的功
W＝?50xdx＝x2|＝0.122＝0.36(J)．
7．1
解析 ∵?(2xk＋1)dx＝
＝＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，
∴?f(x)dx＝33－432＋33＝－18.
9．解 (1)函數y＝2x2－的一個原函數是y＝x3－ln x，
所以?dx＝
＝－ln 2－＝－ln 2.………………………………………………………………(3分)
(2)?2dx＝?dx
23、
＝
＝－(2＋ln 2＋4)
＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函數y＝sin x－sin 2x的一個原函數為
y＝－cos x＋cos 2x，所以?0(sin x－sin 2x)dx
＝0
＝－＝－.……………………………………………………………(9分)
＝(3x－x2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分)
10．解 (1)設f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
則f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c
24、.………………………………………………(4分)
又方程f(x)＝0有兩個相等實根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依題意，所求面積S＝?(x2－2x＋1)dx
＝|＝.……………………………………………………………………(12分)
11．解 畫出直線x＝－ln 2，y＝e－1及曲線y＝ex－1如圖所示，則所求面積為圖中陰影部分的面積．
由解得B(1，e－1)．
由解得A.…………………………………………………(4分)
此時，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．
所以S＝S曲邊梯形BCDO＋S曲邊三角形OAD
＝?(e－1)dx－?(ex－1)dx＋………………………………………(7分)
＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分)
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－
＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)
高考數學 理科一輪【學案16】定積分及其簡單的應用含答案
