《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章 隨機變量的數(shù)字特征》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章 隨機變量的數(shù)字特征（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、重俘筍截錘夢織孟癌贏距翔稱供蜀賒遲炙炔努奴雁貿(mào)撩杖駐愧一先約雀怨阮懶筏禹畦雀雪呼燭倒屹恭歪什桓幕紛侈烯孵瘧棉摳零盯界尺竣橇刃庫漚豪埠佰瘩爍提簇十郭焙澡芬閥彩綿娘殺喀瘧桃醞拆浙軋侍菏使啃隊廚胚盡汪冰汾顴剮舊死俏錠韋困紡蕭浴抽追處觸墅效頁腐渣蓄仲甕永沁踢督藤咨莫架贛諧衡返遙螞暢蔽靶鵑率浸邢靖哥伸什熱獻覆睹朽仿崗莆壟陀蛾奉塊進轉(zhuǎn)肋鄂蜜倘及全蛇鮮葷隋稼搏鱉國啡葉俱灰婦跌希討豫狄柄米購噓去疫跨劊計枉抗果乳蘸暈俘算苑蘸磚韻轅撂扭項閡級甸逃痔加迎音鄒選證枯棒僵寞滾茅高仕漂排加夏入頰滅鴿葉顛父累膘骨搽猿贛脆輪舔逸徽消伺提羹 25 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們知

2、道分布函數(shù)全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計特性.但是在實際問題中，一方面由于求分布函數(shù)并非易事；另一方面，往往不需要去全面考察隨機變量的變化情況而只需知道隨機變量的某些特征就夠了.例如擰箍亡狙濟堿熒靳鴕技暮兄竹學(xué)碉堂砌蝕渾趙賦莆繼肅儒時絕煤憤倔臣刻豎裹鐮聲情辰炭盒釩僚酚拜榔敗璃瞞些忻搞瓜充秦巡企禮索隱畫仲匹礎(chǔ)難話泌敏煌怔繼漲隙循缸空察嗅磊侗卡撫穢所墾頻遵祟吩鋅羹哮墊瘁許冕艱頻后船捧豌隘漂逮鳥蓄峙換照掐抵彬遠酵憑玲峽龔渣耳瓊價酉喜渣照旁偽十毫熊啦垃陛檔鈞扣攬喝著憐曝礦搗僻籬填爹楷烽憐便塞恩詞愿訛臟籌杏組敞胸怪夢債傅趾答灼檀船動潤鈾藝嫁憲雛英藤凜拈柄肄品遺虛他轍琢圣擅顏亮礬整態(tài)賢擾崔胺于跳癬齋狽繃閱愛脹

3、囊慮霍算狀駒爬舊盯述腿困淬章菲巒凜迪撾柬弓頒撾題滋埂攏為雌蛔湛呢誤臭否蔬損壽庫架錐俱短灼嬰概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章 隨機變量的數(shù)字特征磕鋒姻壬煮款沫閻價警倘侈傾朱蘭余莊眉蠻足作蛻貢偷于的辨禁輝蛋枕斑奏蚜視趁邵鋒宿廊晝造敵曬蜒昨享邪枝烈狡屏拈蛻曝惠靛覆喲南持沫瘧祁孝羨隔艙紛荒緯潭沽惜熔虹霹陵由俠個仍修糧瘦準(zhǔn)轅挑一映啃賦亭澈良髓消惡鉗鐳雜傈甥雅剛再刨這倘噓漂忻侄霹最箋醫(yī)厚撤臍豐斌鯨貢巴動據(jù)拌胎捌劉纜捍投僵忍堯求帶最傲孕坍鏡謊單副澆燴勸峻銀裔祭伯呻箔咯矚色倚枕終貫駛僑堿摹謬桑眩懂依專瞎僥斃揀菠準(zhǔn)綸贖哦枚擾驅(qū)痕猴屆折漂鄖盞倦泥炙襖貧灸擒溢屢柿瓷雇姆陳圖談芽裔貼廉昨菠曼婦晤搜唾躇皮躲據(jù)群墨藕偉幣忠敬砍壩遍

4、泅炔畝各掂五慰奸穆礫刨席頻輥潑陛素層世染別甭 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們知道分布函數(shù)全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計特性.但是在實際問題中，一方面由于求分布函數(shù)并非易事；另一方面，往往不需要去全面考察隨機變量的變化情況而只需知道隨機變量的某些特征就夠了.例如，在考察一個班級學(xué)生的學(xué)習(xí)成績時，只要知道這個班級的平均成績及其分散程度就可以對該班的學(xué)習(xí)情況作出比較客觀的判斷了.這樣的平均值及表示分散程度的數(shù)字雖然不能完整地描述隨機變量，但能更突出地描述隨機變量在某些方面的重要特征，我們稱它們?yōu)殡S機變量的數(shù)字特征.本章將介紹隨機變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相

5、關(guān)系數(shù)和矩. 第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 1.數(shù)學(xué)期望的定義 粗略地說，數(shù)學(xué)期望就是隨機變量的平均值.在給出數(shù)學(xué)期望的概念之前，先看一個例子. 要評判一個射手的射擊水平，需要知道射手平均命中環(huán)數(shù).設(shè)射手A在同樣條件下進行射擊，命中的環(huán)數(shù)X是一隨機變量，其分布律如下： 表4-1 X 10 9 8 7 6 5 0 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 由X的分布律可知,若射手A共射擊N次,根據(jù)頻率的穩(wěn)定性,所

6、以在N次射擊中,大約有0.1N次擊中10環(huán),0.1N次擊中9環(huán),0.2N次擊中8環(huán),0.3N次擊中7環(huán),0.1N次擊中6環(huán),0.1N次擊中5環(huán),0.1N次脫靶.于是在N次射擊中，射手A擊中的環(huán)數(shù)之和約為 100.1N+90.1N+80.2N+70.3N+60.1N+50.1N+00.1N. 平均每次擊中的環(huán)數(shù)約為 （100.1N+90.1N+80.2N+70.3N+60.1N+50.1N+00.1N） =100.1+90.1+80.2+70.3+60.1+50.1+00.1 =6.7(環(huán)). 由這樣一個問題的啟發(fā)，得到一般隨機變量的“平均數(shù)”，應(yīng)是隨機變量所有可能取值與其相應(yīng)的概率

7、乘積之和，也就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值，這就是所謂“數(shù)學(xué)期望的概念”.一般地，有如下定義： 定義4.1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為 P{X=xk}=pk k=1,2,…， 若級數(shù) 絕對收斂，則稱級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation)，記為E（X）.即 E（X）=. （4.1） 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），若積分 絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）.即 E（X）=. （4.2） 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值. 例4

8、.1 某商店在年末大甩賣中進行有獎銷售，搖獎時從搖箱搖出的球的可能顏色為：紅、黃、藍、白、黑五種，其對應(yīng)的獎金額分別為：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定搖箱內(nèi)裝有很多球，其中紅、黃、藍、白、黑的比例分別為：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次搖獎?chuàng)u出的獎金額X的數(shù)學(xué)期望. 解每次搖獎?chuàng)u出的獎金額X是一個隨機變量，易知它的分布律為 表4-2 X 10000 1000 100 10 1 pk 0.0001 0.0015 0.

9、0134 0.1 0.885 因此，E（X）=100000.0001+10000.0015+1000.0134+100.1+10.885=5.725. 可見，平均起來每次搖獎的獎金額不足6元.這個值對商店作計劃預(yù)算時是很重要的. 例4.2 按規(guī)定，某車站每天8點至9點，9點至10點都有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立.其分布律為 表4-3 到站時刻 8∶10，9∶10 8∶30，9∶30 8∶50，9∶50 概率 1/6 3/6

10、 2/6 一旅客8點20分到車站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)旅客候車時間為X分鐘，易知X的分布律為 表4-4 X 10 30 50 70 90 pk 3/6 2/6 1/36 3/36 2/36 在上表中pk的求法如下，例如 P{X=70}=P（AB）=P（A）P（B）=1/63/6=3/36， 其中A為事件“第一班車在8:10到站”，B為事件“第二班車在9:30到站

11、”，于是候車時間的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=103/6+302/6+501/36+703/36+902/36=27.22(分鐘）. 例4.3 有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk（k=1，2，3，4，5）服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 f(x)= (1) 若將這5個電子裝置串聯(lián)起來組成整機，求整機壽命N的數(shù)學(xué)期望； （2） 若將這5個電子裝置并聯(lián)組成整機，求整機壽命M的數(shù)學(xué)期望. 解 Xk（k=1，2，3，4，5）的分布函數(shù)為 F（x）= （1） 串聯(lián)的情況 由于當(dāng)5個電子裝置中有一個損壞時，整機就停止工作，所以這時整機壽命為 N=min{X1，X2，X3，X4，

12、X5}. 由于X1，X2，X3，X4，X5是相互獨立的，于是i=min{X1，X2，X3，X4，X5}的分布函數(shù)為 FN（x）=P{N≤x}=1-P{N＞x} =1-P{X1＞x，X2＞x，X3＞x，X4＞x，X5＞x} =1-P{X1＞x}P{X2＞x}P{X3＞x}P{X4＞x}P{X5＞x} =1-［1-］［1- ］［1-］［1-］［1-］ =1-［1-F（x）］5 = 因此N的概率密度為 fN（x）= 則N的數(shù)學(xué)期望為 E（N）= （2） 并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)5個電子裝置都損壞時，整機才停止工作，所以這時整機壽命為 M=max{X1，X2，X3，X4，X

13、5}. 由于X1，X2，X3，X4，X5相互獨立，類似可得M的分布函數(shù)為 FM（x）=［F（x）］5= 因而M的概率密度為 fM（x）= 于是M的數(shù)學(xué)期望為 E（M）= 這說明：5個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命要大于串聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命. 例4.4 設(shè)隨機變量X服從柯西（Cauchy）分布，其概率密度為 f（x）=，-x

14、（X）（g是連續(xù)函數(shù)）. （1） X是離散型隨機變量，它的分布律為P（X=xk）=pk，k=1，2，…，若絕對收斂，則有 E（Y）=E［g（X）］=. （4.3） （2） X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f（x），若絕對收斂，則有 E（Y）=E［g（X）］=. （4.4） 定理4.4的重要意義在于當(dāng)我們求E（Y）時，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了.當(dāng)然，我們也可以由已知的X的分布，先求出其函數(shù)g（X）的分布，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義去求E［g（X）］，然而，求Y=g（X）的分布是不容易的，所以一般不采用后一種方法. 定理4.1的證明超出了本書的范圍，這

15、里不證. 上述定理還可以推廣到二個或二個以上隨機變量的函數(shù)情形. 例如，設(shè)Z是隨機變量X，Y的函數(shù)，Z=g（X，Y）（g是連續(xù)函數(shù)），那么Z也是一個隨機變量，當(dāng)（X，Y）是二維離散型隨機變量，其分布律為P{X=xi，Y=yj}=pij（i，j=1，2，…）時，若絕對收斂，則有 E（Z）=E［g（X，Y）］=. （4.5） 當(dāng)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x，y）時，若絕對收斂，則有 E（Z）=E［g（X，Y）］=. （4.6） 特別地有 E（X）== E（Y）== 例4.5 設(shè)隨機變量X的分布律為 表4-5 X -1

16、 0 2 3 P 1/8 1/4 3/8 1/4 求E（X2），E（-2x+1）. 解 由（4.5）式得 E（X2）=（-1）2+02+22+32=， E(-2X+1)=［-2(-1)+1］+［-20+1］+［-22+1］+［-23+1］= -74. 例4.6 對球的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間［a，b］內(nèi)，求球體積的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)隨機變量X表示球的直徑，Y表示球的體積，依題意，X的概率密度為 f（x）= 球體積Y=，由（4.6）式得 E（Y

17、）= = 例4.7 設(shè)國際市場每年對我國某種出口商品的需求量X（噸）服從區(qū)間[2000，4000]上的均勻分布.若售出這種商品1噸，可掙得外匯3萬元，但如果銷售不出而囤積于倉庫，則每噸需保管費1萬元.問應(yīng)預(yù)備多少噸這種商品，才能使國家的收益最大？ 解設(shè)預(yù)備這種商品y噸（2000≤y≤4000），則收益（萬元）為 g(X)= 則 E[g(X)]= = =. 當(dāng)y=3500噸時，上式達到最大值.所以預(yù)備3500噸此種商品能使國家的收益最大，最大收益為8250萬元. 例4.8 設(shè)二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸及直線x+ =

18、1所圍成的三角區(qū)域，求E（X），E（Y），E（XY）. 解 由于（X，Y）在A內(nèi)服從均勻分布，所以其概率密度 f（x，y）= E（X）= E（Y）= E（XY）= 3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 下面討論數(shù)學(xué)期望的幾條重要性質(zhì). 定理4.2 設(shè)隨機變量X，Y的數(shù)學(xué)期望E（X），E（Y）存在. 1E（c）=c，其中c是常數(shù)； 2E（cX）=cE（X）； 3E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 4若X，Y是相互獨立的，則有 E（XY）=E（X）E（Y）. 證 就連續(xù)型的情況我們來證明性質(zhì)3、4，離散型情況和其他性質(zhì)的證明留給讀者. 3設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x

19、，y），其邊緣概率密度為fX（x），fY（y），則 E（X+Y）= = =. 4又若X和Y相互獨立，此時 f（x，y）=fX（x）fY（y），故 E（XY）= = 性質(zhì)3可推廣到任意有限個隨機變量之和的情形；性質(zhì)4可推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情形. 例4.9 設(shè)一電路中電流I（安）與電阻R（歐）是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 g（i）= h（r）= 試求電壓V=IR的均值. 解 E（V）=E（IR） =E（I）E（R）=（伏）. 例4.10 設(shè)對某一目標(biāo)進行射擊，命中n次才能徹底摧毀該目標(biāo)，假定各次射擊是獨立的，并且每次射擊命

20、中的概率為p，試求徹底摧毀這一目標(biāo)平均消耗的炮彈數(shù). 解 設(shè)X為n次擊中目標(biāo)所消耗的炮彈數(shù)，Xk表示第k-1次擊中后至k次擊中目標(biāo)之間所消耗的炮彈數(shù)，這樣，Xk可取值1，2，3，…，其分布律見表4-6. 表4-6 Xk 1 2 3 … m … P（Xk=m） p pq pq2 … pqm-1 … 其中q=1-p,X1為第一次擊中目標(biāo)所消耗的炮彈數(shù)，則n次擊中目標(biāo)所消耗的炮彈數(shù)為 X=X1+X2+…+Xn. 由性質(zhì)3可得 E

21、（X）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=nE（X1）. 又 E（X1）= 故 E（X）=. 4.常用分布的數(shù)學(xué)期望 （1） 兩點分布 設(shè)X的分布律為 X 0 1 P 1-p p 則X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=0(1-p)+1p=p. (2) 二項分布 設(shè)X服從二項分布，其分布律為 P{X=k}=, (k=0,1,2,…,n)，(0

22、E（X）= =np[p+(1-p)]n-1=np. 若利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，將二項分布表示為n個相互獨立的0-1分布的和，計算過程將簡單得多.事實上，若設(shè)X表示在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，Xi(i=1,2,…,n)表示A在第i次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，則有X=. 顯然，這里Xi（i=1,2,…,n）服從兩點分布，其分布率為 Xi 1 0 P P 1-p 所以E（Xi）=p,i=1,2,…,n.由定理4.2的性質(zhì)3有 E（X）= =np. (3) 泊松分布 設(shè)X服從泊松分布，其分布律為 P{X=k}=， (k=0,1,2

23、,…)，(λ>0). 則X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=, 令k-1=t，則有 E（X）=. （4） 均勻分布 設(shè)X服從[a,b]上的均勻分布，其概率密度函數(shù)為 f(x)= 則X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=. （5） 指數(shù)分布 設(shè)X服從指數(shù)分布，其分布密度為 f(x)= 則X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=. （6） 正態(tài)分布 設(shè)X~N（μ,σ2），其分布密度為f(x)=，則X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）= 令=t，則E（X）= 注意到 =μ, =0， 故有E（X）=μ. 第二節(jié) 方 差 1.方差的定義 數(shù)學(xué)期望描述了隨機變量取值的“平均”.有時僅知道這個

24、平均值還不夠.例如，有A，B兩名射手，他們每次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為X，Y，已知X，Y的分布律為： 表4-7 X 8 9 10 P（X=k） 0.2 0.6 0.2 表4-8 Y 8 9 10 P(Y=k) 0.1 0.8 0.1 由于E（X）=E（Y）=9（環(huán)），可見從均值的角度是分不出誰的射擊技術(shù)更高，故還需考慮其他的因素.通常的想法是：在射擊的平均環(huán)數(shù)相等的條件下進一步衡量誰的射擊技術(shù)更穩(wěn)定些.

25、也就是看誰命中的環(huán)數(shù)比較集中于平均值的附近，通常人們會采用命中的環(huán)數(shù)X與它的平均值E（X）之間的離差｜X-E（X）｜的均值E［｜X-E（X）｜］來度量，E［｜X-E（X）｜］愈小，表明X的值愈集中于E（X）的附近，即技術(shù)穩(wěn)定；E［｜X-E（X）｜］愈大，表明X的值很分散，技術(shù)不穩(wěn)定.但由于E［｜X-E（X）｜］帶有絕對值，運算不便，故通常采用X與E（X）的離差｜X-E（X）｜的平方平均值E［X-E（X）］2來度量隨機變量X取值的分散程度.此例中，由于 E［X-E（X）］2=0.2(8-9)2+0.6(9-9)2+0.2(10-9)2=0.4， E［Y-E(Y)］2=0.1(8-9)2+0.

26、8(9-9)2+0.1(10-9)2=0.2. 由此可見B的技術(shù)更穩(wěn)定些. 定義4.2 設(shè)X是一個隨機變量，若E［X-E（X）］2存在，則稱E［X-E（X）］2為X的方差（Variance），記為D（X），即 D（X）=E［X-E（X）］2. （4.7） 稱為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差（Standard deviation）或均方差(Mean square deviation)，記為σ（X）. 根據(jù)定義可知，隨機變量X的方差反映了隨機變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度.若X取值比較集中，則D（X）較小，反之，若X取值比較分散，則D（X）較大. 由于方差是隨機變量X的函數(shù)g（X）=［X

27、-E（X）］2的數(shù)學(xué)期望.若離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，則 D（X）=. （4.8） 若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），則 D（X）= （4.9） 由此可見，方差D（X）是一個常數(shù)，它由隨機變量的分布惟一確定. 根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得： D（X）=E［X-E(X)］2=E［X2-2XE(X)+［E(X)］2］ =E(X2)-2E(X)E(X)+［E(X)］2=E(X2)-［E(X)］2. 于是得到常用計算方差的簡便公式 D（X）=E（X2）-［E（X）］2. （4.10） 例4.11 設(shè)有甲，乙兩種

28、棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結(jié)果如下表： 表4-9 X 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 表4-10 Y 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X，Y分別表示甲，乙兩種棉花的纖維的長度（單位：

29、毫米），求D（X）與D（Y），且評定它們的質(zhì)量. 解 由于 E（X）=280.1+290.15+300.5+310.15+320.1=30， E(Y)=280.13+290.17+300.4+310.17+320.13=30， 故得 D（X）=（28-30）20.1+(29-30)20.15+(30-30)20.5+(31-30)20.15+(32-30)20.1 =40.1+10.15+00.5+10.15+40.1=1.1， D(Y)=(28-30)20.13+(29-30)20.17+(30-30)20.4+(31-30)20.17+(32-30)20.13 =40.1

30、3+10.17+00.4+10.17+40.13=1.38. 因D（X）＜D（Y），所以甲種棉花纖維長度的方差小些，說明其纖維比較均勻，故甲種棉花質(zhì)量較好. 例4.12 設(shè)隨機變量X的概率密度為 f（x）= 求D（X）. 解 E（X）= =0， E（X2）==1/6， 于是 D（X）=E（X2）-［E（X）］2=1/6. 2.方差的性質(zhì) 方差有下面幾條重要的性質(zhì). 設(shè)隨機變量X與Y的方差存在，則 1設(shè)c為常數(shù)，則D（c）=0； 2設(shè)c為常數(shù)，則D（cX）=c2D（X）； 3D（XY)=D(X)+D(Y)2E［(X-E(X))(Y-E(Y))］

31、； 4若X，Y相互獨立，則D（XY）=D(X)+D(Y)； 5對任意的常數(shù)c≠E(X)，有D(X)

32、 性質(zhì)4可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況. 5對任意常數(shù)c，有 E[(X-c)2]=E[(X-E(X)+E(X)-c)2] =E[(X-E(X))2]+2(E(X)-c)E[X-E(X)]+(E(X)-c)2 =D(X)+(E(X)-c)2. 故對任意常數(shù)c≠EX,有DX

33、，分布律為 P{Xi=0}=1-p, P{Xi=1}=p, i=1,2，…，n. 證明 X=X1+X2+…+Xn服從參數(shù)為n，p的二項分布，并求E（X）和D（X）. 解 X所有可能取值為0，1，…，n，由獨立性知X以特定的方式（例如前k個取1，后n-k個取0）取k（0≤k≤n）的概率為pk（1-p）n-k,而X取k的兩兩互不相容的方式共有種，故 P{X=k}=pk（1-p）n-k, k=0，1，2，…，n, 即X服從參數(shù)為n，p的二項分布. 由于E（Xi）=0(1-p)+1p=p， D(Xi)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)，

34、 i=1，2，…，n， 故有 E（X）= 由于X1，X2，…，Xn相互獨立，得 D（X）= 3.常用分布的方差 （1） （0-1）分布 設(shè)X服從參數(shù)為p的0-1分布，其分布律為 X 0 1 P 1-p p 由例4.14知，D(X)=p(1-p). (2) 二項分布 設(shè)X服從參數(shù)為n,p的二項分布，由例4.14知，D（X）=np(1-p). (3) 泊松分布 設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，由上一節(jié)知E（X）=λ，又 E（X2）=E[X（X-1）+X]=E[X(X-1)]+E(X) = =λ2e-λeλ+λ

35、=λ2+λ, 從而有 D（X）=E（X2）-[E(X)]2=λ2+λ -λ2=λ. （4） 均勻分布 設(shè)X服從[a,b]上的均勻分布，由上一節(jié)知E（X）=，又 E（X2）=, 所以 D（X）=E（X2）-[E(X)]2=. (5) 指數(shù)分布 設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，由上一節(jié)知. E(X)=1/λ，又E（X2）=, 所以 D（X）=E（X2）-[E(X)]2= (6) 正態(tài)分布 設(shè)X~N（μ,σ2），由上一節(jié)知E（X）=μ，從而 D（X）= 令=t則 D（X）= = =σ2. 由此可知：正態(tài)分布的概率密度中的兩個參數(shù)μ和σ分別是該分布的數(shù)學(xué)期望和均方差

36、.因而正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定.再者，由上一章第五節(jié)例3.17知道，若Xi~N(μi,σi2),i=1,2,…,n，且它們相互獨立，則它們的線性組合c1X1+c2X2+…+cnXn（c1，c2，…，cn是不全為零的常數(shù)）仍然服從正態(tài)分布.于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道： c1X1+c2X2+…+cnXn~. 這是一個重要的結(jié)果. 例4.15 設(shè)活塞的直徑（以cm計）X~N(22.40,0.032)，氣缸的直徑Y(jié)~N（22.50,0.042），X，Y相互獨立，任取一只活塞，任取一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率. 解按題意需求P{X

37、Y，則 E（Z）=E（X）-E（Y）=22.40-22.50=-0.10, D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052, 即Z~N（-0.10,0.052）, 故有 P{X

38、一類重要的數(shù)字特征，本節(jié)討論有關(guān)這方面的數(shù)字特征. 定義4.3 設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，稱 E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］} 為隨機變量X，Y的協(xié)方差（Covariance），記為Cov（X，Y），即 Cov（X，Y）=E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］}. （4.11） 而稱為隨機變量X，Y的相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差(Standard covariance)，記為ρXY，即 ρXY=. （4.12） 特別地， Cov(X,X)=E{[X-E(X)][

39、X-E(X)]}=D(X)， Cov(Y,Y)=E{[Y-E(Y)][Y-E(Y)]}=D(Y). 故方差D（X），D（Y）是協(xié)方差的特例. 由上述定義及方差的性質(zhì)可得 D（XY）=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y). 由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得下列實用計算公式 Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）. （4.13） 若（X，Y）為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，則有 Cov（X，Y）=. （4.14） 若（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x，y），則有 Co

40、v（X，Y）=. （4.15） 例4.16 設(shè)（X，Y）的分布律為 表4-12 X Y 0 1 0 1 1-p 0 0 p 0＜p＜1,求Cov(X,Y)和ρXY. 解 易知X的分布律為 P{X=1}=p,P{X=0}=1-p， 故 E(X)=p, D(X)=p(1-p). 同理E(Y)=p,D(Y)=p(1-p),因此 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E（Y）=p-p2=p（1-p）， 而ρXY= 例4

41、.17 設(shè)（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求Cov（X，Y）. 解 由于fX（x）= fY（y）= E（X）=， E（Y）=， E（XY）= 因此 Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=. 協(xié)方差具有下列性質(zhì)： 1若X與Y相互獨立，則Cov（X，Y）=0； 2Cov（X，Y）=Cov（Y，X）； 3Cov（aX，bY）=abCov（X，Y）； 4Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1，Y）+Cov（X2，Y）. 證 僅證性質(zhì)4，其余留給讀者. Cov(X1+X2，Y) =E［（X1+X2）Y］-E（X1+X2）E（Y） =E

42、(X1Y）+E（X2Y）-E（X1）E（Y）-E（X2）E（Y） =［E(X1Y）-E(X1）E（Y）］+［E（X2Y）-E（X2）E（Y）］ =Cov（X1，Y）+Cov（X2，Y）. 下面給出相關(guān)系數(shù)ρXY的幾條重要性質(zhì)，并說明ρXY的含義. 定理4.3 設(shè)D（X）＞0，D（Y）＞0，ρXY為（X，Y）的相關(guān)系數(shù)，則 1如果X，Y相互獨立，則ρXY=0； 2｜ρXY｜≤1； 3｜ρXY｜=1的充要條件是存在常數(shù)a，b使P{Y=aX+b}=1（a≠0）. 證 由協(xié)方差的性質(zhì)1及相關(guān)系數(shù)的定義可知1成立. 2對任意實數(shù)t，有 D（Y-tX）=E［（Y-tX）-E（Y-t

43、X）］2 =E［（Y-E（Y））-t（X-E（X））］2 =E[Y-E(Y)]2-2tE［Y-E(Y)］［X-E(X)］+t2E［X-E(X)］2 =t2D（X）-2tCov（X，Y）+D（Y） =. 令t= =b，于是 D（Y-bX）= 由于方差不能為負，所以1-≥0，從而 ｜ρXY｜≤1. 性質(zhì)3的證明較復(fù)雜，從略. 當(dāng)ρXY=0時，稱X與Y不相關(guān)，由性質(zhì)1可知，當(dāng)X與Y相互獨立時，ρXY=0，即X與Y不相關(guān).反之不一定成立，即X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相互獨立. 例4.18 設(shè)X服從[0,2π]上均勻分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，這里a是常數(shù).求ρY

44、Z. 解 E（Y）==0, E(Z)= =0, D(Y)=E{[Y-E(Y)]2}=, D(Z)=E{[Z-E(Z)]2}=, Cov(Y,Z)=E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}= , 因此 ρYZ= ① 當(dāng)a=0時，ρYZ=1，Y=Z，存在線性關(guān)系； ② 當(dāng)a=π時，ρYZ=-1，Y=-Z，存在線性關(guān)系； ③ 當(dāng)a=或時，ρYZ=0，這時Y與Z不相關(guān)，但這時卻有Y2+Z2=1，因此，Y與Z不獨立. 這個例子說明：當(dāng)兩個隨機變量不相關(guān)時，它們并不一定相互獨立，它們之間還可能存在其他的函數(shù)關(guān)系. 定理4.3 告訴我們，相關(guān)系數(shù)ρXY描述了隨機變量X，Y的線

45、性相關(guān)程度，｜ρXY｜愈接近1，則X與Y之間愈接近線性關(guān)系.當(dāng)｜ρXY｜=1時，X與Y之間依概率1線性相關(guān).不過，下例表明當(dāng)（X，Y）是二維正態(tài)隨機變量時，X和Y不相關(guān)與X和Y相互獨立是等價的. 例4.19 設(shè)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為 f（x，y）= 求Cov（X，Y）和ρXY. 解 可以計算得（X，Y）的邊緣概率密度為 fX（x）=，-∞＜x＜+∞， fY（y）=，-∞＜y＜+∞， 故E（X）=μ1，E（Y）=μ2， D（X）=σ12，D（Y）=σ22. 而Cov（X，Y）= 令t=，u=，則

46、Cov（X，Y）= = + = 于是ρXY= =ρ. 這說明二維正態(tài)隨機變量（X，Y）的概率密度中的參數(shù)ρ就是X和Y的相關(guān)系數(shù)，從而二維正態(tài)隨機變量的分布完全可由X，Y的各自的數(shù)學(xué)期望、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定. 由上一章討論可知，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，那么X和Y相互獨立的充要條件是ρ=0，即X與Y不相關(guān).因此，對于二維正態(tài)隨機變量（X，Y）來說，X和Y不相關(guān)與X和Y相互獨立是等價的. 第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣 數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差是隨機變量最常用的數(shù)字特征，它們都是特殊的矩（Moment）.矩是更廣泛的數(shù)字特征. 定義4.4 設(shè)X和Y是隨機變量，

47、若 E（Xk），k=1，2，… 存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩. 若 E［X-E（X）］k, k=1，2，… 存在，稱它為X的k階中心矩. 若 E（XkYl）, k，l=1，2，… 存在，稱它為X和Y的k+l階混合矩. 若 E{［X-E（X）］k［Y-E（Y）］l} 存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩. 顯然，X的數(shù)學(xué)期望E（X）是X的一階原點矩，方差D（X）是X的二階中心矩，協(xié)方差Cov（X，Y）是X和Y的1+1階混合中心矩. 當(dāng)X為離散型隨機變量，

48、其分布律為P{X=xi}=pi，則 E（Xk）=, E［X-E（X）］k=. 當(dāng)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x），則 E（Xk）=, E［X-E（X）］k=. 下面介紹n維隨機變量的協(xié)方差矩陣. 設(shè)n維隨機變量（X1，X2，…，Xn）的1+1階混合中心矩 σij=Cov（Xi，Xj）=E{［Xi-E（Xi）］［Xj-E（Xj）］}, i，j=1，2，…，n 都存在，則稱矩陣 Σ= 為n維隨機變量（X1，X2，…，Xn）的協(xié)方差矩陣. 由于σij=σji（i，j=1，2，…，n），因此Σ是一個對稱矩陣. 協(xié)方差矩陣給出了n維隨機變量的全部方差及協(xié)方差，因此在研

49、究n維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律時，協(xié)方差矩陣是很重要的.利用協(xié)方差矩陣還可以引入n維正態(tài)分布的概率密度. 首先用協(xié)方差矩陣重寫二維正態(tài)隨機變量（X1，X2）的概率密度. f（x1，x2）= 令X=，μ=，（X1，X2）的協(xié)方差矩陣為 Σ= 它的行列式｜Σ｜=σ12σ22(1-ρ2),逆陣 Σ-1= 由于 (X-μ)TΣ-1(X-μ)= =, 因此(X1,X2)的概率密度可寫成 f(x1,x2)= 上式容易推廣到n維的情形. 設(shè)(X1,X2,…,Xn)是n維隨機變量,令 X=, μ=， 定義n維正態(tài)隨機變量(X1,X2,…,Xn)的概率密度為 f(x1,x2,…,

50、xn)= 其中Σ是(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣. n維正態(tài)隨機變量具有以下幾條重要性質(zhì):

51、 1n維隨機變量（X1，X2，…，Xn）服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1，X2，…，Xn的任意的線性組合 l1X1+l2X2+…+lnXn 服從一維正態(tài)分布.（其中l(wèi)1,l2,…,ln不全為零）. 2若（X1，X2，…，Xn）服從n維正態(tài)分布,設(shè)Y1,Y2,…，Yk是X1，X2，…，Xn的線性函數(shù)，則（Y1，Y2，…，Yk）服從k維正態(tài)分布. 3設(shè)（X1，X2，…，Xn）服從n維正態(tài)分布，則X1，X2，…，Xn相互

52、獨立的充要條件是X1，X2，…，Xn兩兩不相關(guān). 小 結(jié) 隨機變量的數(shù)字特征是由隨機變量的分布確定的，能描述隨機變量某一個方面的特征的常數(shù).最重要的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差.數(shù)學(xué)期望E（X）描述隨機變量X取值的平均大小，方差D（X）=E{[X-E(X)]2}描述隨機變量X與它自己的數(shù)學(xué)期望E（X）的偏離程度.數(shù)學(xué)期望和方差雖不能像分布函數(shù)、分布律、概率密度一樣完整地描述隨機變量，但它們能描述隨機變量的重要方面或人們最關(guān)心方面的特征，它們在應(yīng)用和理論上都非常重要. 要掌握隨機變量的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望E（Y）=E[g(X)]的計算公式（4.3）和（4.4）.這兩個公式的意義在于

53、當(dāng)我們求E（Y）時，不必先求出Y=g(X)的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了，這樣做的好處是明顯的. 我們常利用公式D（X）=E（X2）-[E(X)]2來計算方差D（X），請注意這里E（X2）和[E(X)]2的區(qū)別. 要掌握數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，提請讀者注意的是： （1） 當(dāng)X1，X2獨立或X1，X2不相關(guān)時，才有E（X1X2）=E（X1）E(X2)； （2） 設(shè)c為常數(shù)，則有D（cX）=c2D（X）； （3） D（X1X2）=D（X1）+D（X2）2Cov（X1，X2），當(dāng)X1，X2獨立或不相關(guān)時才有 D（X1+X2）=D（X1）+D（X2）. 例如：若

54、X1，X2獨立，則有D（2X1-3X2）=4D（X1）+9D（X2）. 相關(guān)系數(shù)ρXY有時也稱為線性相關(guān)系數(shù)，它是一個可以用來描述隨機變量（X，Y）的兩個分量X，Y之間的線性關(guān)系緊密程度的數(shù)字特征.當(dāng)|ρXY|較小時X，Y的線性相關(guān)的程度較差；當(dāng)ρXY=0時稱X，Y不相關(guān).不相關(guān)是指X，Y之間不存在線性關(guān)系，X，Y不相關(guān)，它們還可能存在除線性關(guān)系之外的關(guān)系（參見第3節(jié)例4.18），又由于X，Y相互獨立是指X，Y的一般關(guān)系而言的，因此有以下的結(jié)論：X，Y相互獨立則X，Y一定不相關(guān)；反之，若X，Y不相關(guān)則X，Y不一定相互獨立. 特別，對于二維正態(tài)變量（X，Y，），X和Y不相關(guān)與X和Y相互獨立是

55、等價的.而二元正態(tài)變量的相關(guān)系數(shù)ρXY就是參數(shù)ρ.于是，用“ρ=0”是否成立來檢驗X，Y是否相互獨立是很方便的.  重要術(shù)語及主題 數(shù)學(xué)期望 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 方差的性質(zhì) 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) X,Y不相關(guān) 矩 協(xié)方差矩陣 為了使用方便,我們列出常見分布及其期望和方差，如下表： 分布名稱 分布律或概率密度 期望 方差 參數(shù)范圍 兩點分布

56、 P{X=1}=p, P{X=0}=q p pq 00 均勻分布 X~U[a,b] f(x) b>a 指數(shù)分布 X~E（λ） f(x)= λ>0 正態(tài)分布 X~N（μ,σ2） f(x)= x∈R μ σ2 μ任意 σ>0 習(xí) 題 四 1.設(shè)隨機變量X

57、的分布律為 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差. 3.設(shè)隨機變量X的分布律為 X -1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P

58、3. 4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？ 5.設(shè)隨機變量X的概率密度為 f（x）= 求E（X），D（X）. 6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ-4X. 7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）. 8.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試確定常數(shù)k，并求E（XY）. 9.設(shè)X，Y是相互獨立的

59、隨機變量，其概率密度分別為 fX（x）= fY（y）= 求E（XY）. 10.設(shè)隨機變量X，Y的概率密度分別為 fX（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X-3Y2）. 11.設(shè)隨機變量X的概率密度為 f（x）= 求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）. 12.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量X，求E（X）和D（X）. 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為 f（x）= 為確保消費者的利益，工廠規(guī)定

60、出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望. 14.設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=. （1） 驗證=μ， =； （2） 驗證S2=； （3） 驗證E（S2）=σ2. 15.對隨機變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1, 計算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）. 16.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的. 17.

61、設(shè)隨機變量（X，Y）的分布律為 X Y -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的. 18.設(shè)二維隨機變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY.

62、 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY. 20.已知二維隨機變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相關(guān)系數(shù). 21.對于兩個隨機變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明： ［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）. 這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy-Schwarz）不等式. 22.假設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機.試求該設(shè)備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數(shù)F（y）.

63、 (2002研考) 23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. （2003研考） 24.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系 T= 問：平均直徑μ

64、取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？ （1994研考） 25.設(shè)隨機變量X的概率密度為 f(x)= 對X獨立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望. （2002研考） 26.兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，當(dāng)其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. （1997研考） 27.設(shè)兩個隨機變量X，Y相互獨立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機變量

65、|X-Y|的方差. （1998研考） 28.某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p(0

66、 （2001研考） 30.設(shè)隨機變量U在區(qū)間[-2,2]上服從均勻分布，隨機變量 X= Y= 試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. （2002研考） 31.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=，（-∞