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1、精編北師大版數(shù)學資料
1離散型隨機變量及其分布列
離散型隨機變量
(1)擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點數(shù).
(2)在一塊地里種下10顆樹苗,成活的棵數(shù).
(3)一個袋中裝有10個紅球,5個白球,從中任取4個球,所含紅球的個數(shù).
問題1:上述現(xiàn)象有何特點?
提示:各現(xiàn)象的結(jié)果都可以用數(shù)表示.
問題2:現(xiàn)象(3)中紅球的個數(shù)x取什么值?
提示:x=0,1,2,3,4.
問題3:擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)正面向上,反面向上,其結(jié)果能用數(shù)字表示嗎?
提示:可以,如用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上.
1.隨機變量
將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一
2、個可能的結(jié)果都對應于一個數(shù),這種對應稱為一個隨機變量,通常用大寫的英文字母X,Y來表示.
2.離散型隨機變量
如果隨機變量X的所有可能的取值都能夠一一列舉出來,這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量.
離散型隨機變量的分布列
1.拋擲一枚均勻的骰子,用X表示骰子向上一面的點數(shù).
問題1:X的可能取值是什么?
提示:X=1,2,3,4,5,6.
問題2:X取不同值時,其概率分別是多少?
提示:都等于.
問題3:試用表格表示X和P的對應關(guān)系.
提示:
X
1
2
3
4
5
6
P
問題4:試求概率和.
提示:其和等于1.
3、
1.離散型隨機變量的分布列的定義
設離散型隨機變量X的取值為a1,a2…,隨機變量X取ai的概率為pi(i=1,2,…),記作:
P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1)
或把上式列成表
X=ai
a1
a2
…
P(X=ai)
p1
p2
…
上表或(1)式稱為離散型隨機變量X的分布列.
2.離散型隨機變量的性質(zhì)
(1)pi>0;(2)p1+p2+p3+…=1.
1.隨機試驗中,確定了一個對應關(guān)系,使每一個試驗結(jié)果用一個確定的數(shù)字表示,這些數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化,稱為隨機變量.
2.判斷一個隨機變量是否為離散型隨機變量關(guān)鍵是看隨機變量的所
4、有可能取值能否一一列出.
3.求離散型隨機變量的分布列關(guān)鍵是搞清隨機變量所取的所有可能值,以及對應的概率.
隨機變量的概念
[例1] 寫出下列各隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值所表示的隨機試驗的結(jié)果:
(1)從一個裝有編號為1號到10號的10個球的袋中,任取1球,被取出的球的編號為X;
(2)一個袋中裝有10個紅球,5個白球,從中任取4個球,其中所含紅球的個數(shù)為X;
(3)投擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和為X.
[思路點撥] 把隨機變量的取值一一列舉出來,再說明每一取值與試驗結(jié)果的對應關(guān)系.
[精解詳析] (1)X的可能取值為1,2,3,…,10,
5、X=k(k=1,2,…,10)表示取出第k號球.
(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.X=k表示取出k個紅球,(4-k)個白球,其中k=0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值為2,3,4,…,12.若以(i,j)表示投擲甲、乙兩枚骰子后,骰子甲得i點,且骰子乙得j點,則X=2表示(1,1);X=3表示(1,2),(2,1);X=4表示(1,3),(2,2),(3,1);…;X=12表示(6,6).
[一點通] 解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機變量所有可能的取值,以及取每一個值時對應的意義,即隨機變量的一個取值可能對應一個或多個隨機試驗的結(jié)果,解答過程不要漏掉某些試驗結(jié)果.
1.
6、下列變量中屬于離散型隨機變量的有________.
①在2 014張已編號的卡片(從1號到2 014號)中任取一張,被取出的編號數(shù)為X;
②連續(xù)不斷射擊,首次命中目標需要的射擊次數(shù)X;
③從2 014張已編號的卡片(從1號到2 014號)中任取3張,被取出的卡片的號數(shù)和X;
④某工廠加工的某種鋼管,外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X;
⑤投擲一枚骰子,六面都刻有數(shù)字6,所得的點數(shù)X.
解析:①②③中變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的,是離散型隨機變量.④中X的取值為某一范圍內(nèi)的實數(shù),無法全部列出,不是離散型隨機變量.⑤中X的取值確定,是6,不是隨機變量.
答案:①②③
2.在8件
7、產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取一件,取到次品就停止,設抽取次數(shù)為X,則X=3表示的試驗結(jié)果是________.
解析:X=3表示前2次均是正品,第3次是次品.
答案:共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品
3.拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為X,試求X的集合,并說明“X>4”表示的試驗結(jié)果.
解:設第一枚骰子擲出的點數(shù)為x,第二枚骰子擲出的點數(shù)為y,其中x,y=1,2,3,4,5,6.
依題意得X=x-y.
則-5≤X≤5,
即X的集合為{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
則X>4?X=5,表示x=6,y=
8、1,
即第一枚骰子擲出6點,第二枚骰子擲出1點.
離散型隨機變量分布列的性質(zhì)
[例2] 已知隨機變量X的分布列:
X=i
1
2
3
4
5
P(X=i)
a
(1)求a;
(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).
[思路點撥] (1)利用分布列中所有概率和為1的性質(zhì)求解.
(2)借助互斥事件概率求法求解.
[精解詳析] (1)由++a++=1,
得a=.
(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+=,
P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=++
=.
[一點通] 利用分布列的性質(zhì)解題時要注
9、意以下兩個問題:
(1)X的各個取值表示的事件是互斥的.
(2)p1+p2+…=1,且pi>0,i=1,2,….
4.設隨機變量X的分布列為P(X=i)=ai,i=1,2,3,則a的值為( )
A.1 B.
C. D.
解析:由分布列的性質(zhì),知P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a+a2+a3=a=1.∴a=.
答案:D
5.設隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4.求:
(1)P(X=1或X=2);
(2)P.
解:∵P(X=k)=,k=1,2,3,4,
(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)
=+=
10、.
(2)P
=P(X=1或X=2或X=3)
=1-P(X=4)=1-==.
離散型隨機變量的分布列
[例3] (10分)袋中裝有編號為1~6的同樣大小的6個球,現(xiàn)從袋中隨機取3個球,設X表示取出3個球中的最大號碼,求X的分布列.
[思路點撥] 先確定X的所有可能取值,然后分別求出X取各值時的概率即可.
[精解詳析] 根據(jù)題意,隨機變量X的所有可能取值為3,4,5,6.
X=3,即取出的3個球中最大號碼為3,其他2個球的號碼為1,2.所以,P(X=3)==;(2分)
X=4,即取出的3個球中最大號碼為4,其他2個球只能在號碼為1,2,3的3個球中?。?
所以,P(X
11、=4)==; (4分)
X=5,即取出的3個球中最大號碼為5,其他2個球只能在號碼為1,2,3,4的4個球中?。?
所以,P(X=5)==; (6分)
X=6,即取出的3個球中最大號碼為6,其他2個球只能在號碼為1,2,3,4,5的5個球中?。?
所以,P=(X=6)==. (8分)
所以,隨機變量X的分布列為
X=xi
3
4
5
6
P(X=xi)
(10分)
[一點通] (1)求離散型隨機變量的分布列關(guān)鍵是搞清離散型隨機變量X取每一個值時對應的隨機事件,然后利用排列組合知識求出X取每個值的概
12、率,最后列出分布列.
(2)求離散型隨機變量X的分布列的步驟:首先確定X的所有可能的取值;其次,求相應的概率P(X=xi)=pi;最后列成表格的形式.
6.在射擊的試驗中,令X=如果射中的概率為0.8,求隨機變量X的分布列.
解:由P(X=1)=0.8,得P(X=0)=0.2.所以X的分布列為:
X=xi
1 0
P(X=xi)
0.8 0.2
7.(天津高考改編)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張, 編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).
(1)求取出的4張卡片中,含有編號
13、為3的卡片的概率;
(2)在取出的4張卡片中, 紅色卡片編號的最大值設為X, 求隨機變量X的分布列.
解:(1)設“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片”為事件A,則P(A)==.
所以,取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為.
(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==.
所以隨機變量X的分布列為
X
1
2
3
4
P
8.(湖南高考改編)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示:
一
14、次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時間
(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)求x,y的值;
(2)將頻率視為概率,求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列.
解: (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.
該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,將頻率視為概率得
P(X=1)==,
15、P(X=1.5)==,
P(X=2)==,P(X=2.5)==,
P(X=3)==.
X的分布列為
X
1
1.5
2
2.5
3
P
1.隨機變量X是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù),即每一個試驗結(jié)果對應著一個實數(shù);隨機變量X的線性組合Y=aX+b(a,b是常數(shù))也是隨機變量.
2.離散型隨機變量X的分布列實質(zhì)上就是隨機變量X與這一變量所對應的概率P的分布表,它從整體上反映了隨機變量取各個值的可能性的大小,反映了隨機變量取值的規(guī)律.
1.一個袋子中有質(zhì)量相等的紅、黃、綠、白四種小球各若干個,一次倒出三個小球,下列變量是離散型隨機變量的
16、是( )
A.小球滾出的最大距離
B.倒出小球所需的時間
C.倒出的三個小球的質(zhì)量之和
D.倒出的三個小球的顏色種數(shù)
解析:A,B不能一一列舉,不是離散型隨機變量,而C是常量,是個確定值,D可能取1,2,3,是離散型隨機變量.
答案:D
2.袋中有大小相同的5個鋼球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼.在有放回地抽取條件下依次取出2個球,設兩個球號碼之和為隨機變量X,則X所有可能值的個數(shù)是( )
A.25 B.10
C.9 D.5
解析:第一次可取1,2,3,4,5中的任意一個,由于是有放回抽取,第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一個,兩次的號
17、碼和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案:C
3.設隨機變量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,則n=( )
A.3 B.4
C.10 D.不確定
解析:∵X等可能取1,2,3,…,n,
∴X的每個值的概率均為.
由題意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,
∴n=10.
答案:C
4.設隨機變量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又設隨機變量Y=2X-1,P(Y<6)的值為
( )
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
解析:Y<6,即2X-1<6,∴X<3.5.X=
18、1,2,3,P=.
答案:A
5.隨機變量Y的分布列如下:
Y=y(tǒng)i
1
2
3
4
5
6
P(Y=y(tǒng)i)
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
則(1)x=________;(2)P(Y>3)=________;
(3)P(1<Y≤4)=________.
解析:(1)由i=1,∴x=0.1.
(2)P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)
=0.1+0.15+0.2=0.45.
(3)P(1<Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)
=0.1+0.35+0.1=0.55.
答案:(1)0.1 (2)0.45
19、 (3)0.55
6.隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,其中C為常數(shù),則P(X≥2)=________.
解析:由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,得++=1,∴C=.
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
答案:
7.若離散型隨機變量X的分布列為:
X=xi
0
1
P(X=xi)
9a2-a
3-8a
,求常數(shù)a及相應的分布列.
解:由離散型隨機變量的性質(zhì)得
解得a=,或a=(舍).
所以隨機變量X的分布列為:
X=xi
0
1
P(X=xi)
8.設S是不等式x2-x-6≤0的解集,
20、整數(shù)m,n∈S.
(1)記“使得m+n=0成立的有序數(shù)組(m,n)”為事件A,試列舉A包含的基本事件;
(2)設X=m2,求X的分布列.
解:(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件為(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,
所以X=m2的所有不同取值為0,1,4,9,
且有P(X=0)=,P(X=1)==,
P(X=4)==,P(X=9)=.
故X的分布列為
X=i
0
1
4
9
P(X=i)