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課時作業(yè)(十六) 兩條直線平行與垂直的判定
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.若l1與l2為兩條不重合的直線,它們的傾斜角分別是α1、α2,斜率分別為k1、k2,有下列命題:
①若l1∥l2,則斜率k1=k2;
②若k1=k2,則l1∥l2;
③若l1∥l2,則傾斜角α1=α2;
④若α1=α2,則l1∥l2.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析:①錯,兩直線不一定有斜率.
答案:C
2.已知點(diǎn)M(4,2),N(1,-2),在x軸上求一點(diǎn)Q,使∠MQN=90,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A.(3,
2、0) B.(0,0)
C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)
解析:設(shè)Q的坐標(biāo)為(t,0),由∠MQN=90知kQMkQN=-1,∴=-1,即t2-5t=0,解得t=0或5,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(5,0).
答案:D
3.已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過C(3,a),D(6,5),若l1⊥l2,則a的值為( )
A.0 B.5
C.0或5 D.3
解析:由題意可知,直線l2的斜率一定存在,而直線l1的斜率有可能不存在,故要對l1的斜率進(jìn)行討論:①若a-2=3,即a=5,k1不存在,k2=0,則l1⊥l2;②若a≠5,k1=
3、,k2=,由l1⊥l2得k1k2=-1,即=-1,解得a=0.故實(shí)數(shù)a的值是0或5.
答案:C
4.下列各對直線不互相垂直的是( )
A.l1的傾斜角為60,l2過點(diǎn)P(1,0),Q(4,-)
B.l1的斜率為-,l2過點(diǎn)M(1,1),N
C.l1的傾斜角為30,l2過點(diǎn)A(3,),B(4,2)
D.l1過點(diǎn)A(1,0),B(-2,2),l2過點(diǎn)P(-6,0),Q(-4,3)
解析:選項(xiàng)C中,直線l1的斜率k1=tan30=,l2的斜率k2==,k1k2≠-1,所以l1與l2不垂直.
答案:C
5.已知點(diǎn)A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),則以A,B
4、,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是( )
A.梯形 B.平行四邊形
C.菱形 D.矩形
解析:如圖所示,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,所以kAB=kCD,kBC=kAD,kABkAD=0,kACkBD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB與AD不垂直,BD與AC不垂直.所以四邊形ABCD為平行四邊形.
答案:B
6.已知點(diǎn)A(-2,-5),B(6,6),點(diǎn)P在y軸上,且∠APB=90,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(0,-6) B.(0,7)
C.(0,-6)或(0,7) D.(-6,0)或(7,0)
解析:由題意可設(shè)點(diǎn)P
5、的坐標(biāo)為(0,y).因?yàn)椤螦PB=90,所以AP⊥BP,且直線AP與直線BP的斜率都存在.又kAP=,kBP=,kAPkBP=-1,即=-1,解得y=-6或y=7.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-6)或(0,7).
答案:C
7.若不同兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(a,b),(3-b,3-a),則線段PQ的垂直平分線的斜率為________.
解析:由兩點(diǎn)的斜率公式可得:kPQ==1,所以線段PQ的垂直平分線的斜率為-1.
答案:-1
8.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),給出下面四個結(jié)論:①AB∥CD;②AB⊥CD;③AC∥BD;④AC⊥BD.其中正確的是____
6、____.(把正確選項(xiàng)的序號填在橫線上)
解析:∵kAB=-,kCD=-,kAC=,kBD=-4,
∴AB∥CD,AC⊥BD.
答案:①④
9.若過點(diǎn)P(1,1),Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
解析:本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系.因?yàn)閗PQ==,由于kPQ=tanα,90<α<180,∴tanα<0,即<0,∴a<.
答案:
10.求經(jīng)過A(m,3),B(1,2)兩點(diǎn)的直線的斜率,并指出傾斜角α的取值范圍.
解析:設(shè)所求直線的斜率為k.
當(dāng)m=1時,直線的斜率不存在,此時直線的傾斜角為α=90.
當(dāng)m≠1時,由斜率公式可
7、得k==.
此時分兩種情況分析:
①當(dāng)m>1時,k=>0,所以直線的傾斜角的取值范圍是(0,90);
②當(dāng)m<1時,k=<0,所以直線的傾斜角的取值范圍是(90,180).
B組 能力提升
11.已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),若直線y=k(x-2)上至少存在三個點(diǎn)P,使得△MNP是直角三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.[-5,5]
B.
C.∪
D.∪
解析:當(dāng)k=0時,M,N,P三點(diǎn)共線,不能構(gòu)成三角形,故k≠0,由題意,由于直徑對的圓周角是直角,可知只要直線y=k(x-2)和以MN為直徑的圓有公共點(diǎn)即可,此時,≤1?-≤k≤,(k≠0),故選C.
8、
答案:C
12.已知函數(shù)f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,則,,的大小關(guān)系為( )
A.>>
B.<<
C.>>
D.<<
解析:本題考查斜率與對數(shù)函數(shù)圖象相結(jié)合的綜合問題.作出函數(shù)f(x)=log3(x+2)的大致圖象,如圖所示.由圖象可知曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨x的增大而減小,因?yàn)閍>b>c>0,所以<<,故選B.
答案:B
13.已知在平行四邊形ABCD中,A(1,2),B(2,1),中心E(3,3).
(1)判斷平行四邊形ABCD是否為正方形;
(2)點(diǎn)P(x,y)在平行四邊形ABCD的邊界及內(nèi)部運(yùn)動,求的取值范圍.
解析:(1)∵平行
9、四邊形的對角線互相平分,
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得C(5,4),D(4,5).
∴kAB=-1,kBC=1.
∴kABkBC=-1,
∴AB⊥BC,即平行四邊形ABCD為矩形.
又|AB|=,|BC|=3,
∴|AB|≠|(zhì)BC|,即平行四邊形ABCD不是正方形.
(2)∵點(diǎn)P在矩形ABCD的邊界及內(nèi)部運(yùn)動,
∴的幾何意義為直線OP的斜率.
作出大致圖象,如圖所示,
由圖可知kOB≤kOP≤kOA,
∵kOB=,kOA=2,∴≤kOP≤2,
∴的取值范圍為.
14.如圖所示,一個矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路,已知矩形花園長AD=5 m,寬AB=3 m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點(diǎn)D,問如何在BC上找到一點(diǎn)M,使得兩條小路所在直線AC與DM相互垂直?
解析:如圖所示,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC、BA所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.由AD=5,AB=3,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0),因?yàn)锳C⊥DM,所以kACkDM=-1,所以=-1,即x==3.2,
即BM=3.2 m時,兩條小路所在直線AC與DM相互垂直.
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