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1、 分類號 O172.2 編 號 2012010644 畢業(yè)論文 題 目 學 院 姓 名 專 業(yè) 學 號 研究類型 指導教師 提交日期 請預覽后下載！ 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨

2、立進行研究所取得的成果。學位論文中凡是引用他人已經發(fā)表或未經發(fā)表的成果、數據、觀點等均已明確注明出處。除文中已經注明引用的內容外，不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的科研成果。 本聲明的法律責任由本人承擔。 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導教師簽名： 請預覽后下載！ 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系 摘 要： 介紹了黎曼積分和勒貝格積分的概念,通過對兩類積分存在條件、基本性質、可積函數類以及相關結論的分析,結合具體實例,說明了黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯系. 關鍵詞：黎

3、曼積分;勒貝格積分;可測函數;可積函數. The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lvesque Integral Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lvesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classe

4、s of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lvesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented. Keywords: Riemann integral; Lvesque integral; measu

5、rable function; integral function 請預覽后下載！ 目 錄 1引言 2 1.1 微積分的發(fā)展史 2 1.2 黎曼積分與勒貝格積分的引入 2 2 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系 5 2.1 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 5 2.2 黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較 7 2.3黎曼積分與勒貝格積分的性質比較 9 2.4黎曼可積函數類與勒貝格可積函數類 12 2.5 黎曼積分與勒貝格積分相關定理的比較 13 3 黎曼積分與勒貝格積分的主要聯系 15 4文章總結和展望 16 4.1文章總結 16 4.2

6、 文章展望 16 參考文獻 18 致謝 19 請預覽后下載！ 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系 1引言 1.1 微積分的發(fā)展史 積分學的歷史很早,它起源于求積問題,真正成為積分學萌芽的當屬阿基米德的工作,他在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積,其方法是逐次做出與該弓形 同底等高的三角形,然后將這些三角形的面積加起來,之后的很多年雖然微積分的奠基工作一直在緊鑼密鼓的進行著,但其中還是存在不少的缺陷,直到17世紀下半葉,牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立了微積分學,關于積分中怎樣理解無窮小的困擾直至柯西,海涅等人的實數理論及一致連續(xù)性的

7、提出,才完成了微積分嚴密化的任務. 牛頓將微分的思想用到積分上,得出積分運算是微分運算在某種意義下的逆運算,也發(fā)展了不定積分的思想,萊布尼茨從積分思想看出積分運算是微分運算的逆,得到了牛頓—萊布尼茨公式,即設是的不定積分,則有成立 . 此公式使得積分的計算大為簡便,是積分運算系統(tǒng)的處理方法.微積分成了真正可以應用的理論了. 1.2 黎曼積分與勒貝格積分的引入 數學史上提出用分割區(qū)間,做和式的極限來明確的定義積分的是A. Cauchy,他考察的積分對象是在上的連續(xù)函數.并用連續(xù)函數的中值性質推導積分的存在性,A. Cauchy所做的積分存在性的證明只適用于函數至多有有限個不連續(xù)點的情形

8、,于是對無窮多個不連續(xù)點的函數的存在性問題引起很多專家學者的興趣,對積分發(fā)展起推動作用的是J.Fourier關于三角級數的工作,它指出定義在上的函數可表示為 . 其中, 請預覽后下載！ . . 這一結果雖然缺乏嚴格的論證,但當時在物理學上的成功應用引起了數學界的極大重視,后來Ddrboux又得出如下結論. 設是定義在上的有界函數,做劃分 且,, 下積分,上積分,若有 = 則在上是黎曼可積的. 黎曼積分的重要性是顯然的,它對處理諸如逐段連續(xù)的函數以及一致收斂的函數是足夠的,并至今仍突然是微積分課程的主要內容,然而，

9、隨著理論工作的深入,人們越來越多的接觸到具有各種“奇特”現象的函數,這對在研究函數的可積性及積分理論出現了很多困難.比如 (1)可積函數的連續(xù)性 我們知道,函數的可積性等價于,它涉及分割子區(qū)間的長度及函數在其上的振幅兩個因素,若上是成立即就是在分割加細時,其振幅不能縮小的那些相應項的子區(qū)間的長度之和可以很小,由以前知識,函數振幅的大小與其連續(xù)性有關,即函數的不連續(xù)點可用長度很小的區(qū)間包圍,所以黎曼積分的理論基礎是以“基本”連續(xù)的函數為對象的. ⑵極限與積分交換次序問題 在處理極限與積分交換次序問題中黎曼積分的數學期望不是很高. 例 1.1 請預覽后下載！ ,顯然,而.

10、當,時. 此時,積分與極限不能交換次序,只有當0時,即一致收斂極限與積分才交換. 引理 1.1 （有界收斂定理）設是定義在上的可積函數. 〈ⅰ〉︳ ︳; 〈ⅱ〉是定義在上的可積函數且有. 這里極限與積分交換次序不僅受到的限制,而且還必須假定極限函數的可積性.這說明黎曼積分的定義太窄了.以上例子可以看出黎曼積分雖然比較簡單,但如果考慮可能在一個零測度集上不連續(xù)黎曼可積函數本來就自然的結果很難證明,甚至不成立,尤其是積分號下求極限黎曼可積函數類缺乏完備性. 隨著微積分學的發(fā)展,人們越來越感覺到它有很大的局限性,尤其是隨著集合論的一系列工作的創(chuàng)始,出現一些病態(tài)函數,在研究它們的可積性時,

11、黎曼積分迎來新的挑戰(zhàn). 例 1.2 狄里克雷函數,由定義可證不是黎曼可積的,因此必須擴大積分范圍. ⑶關于微積分基本定理 在微積分學基本定理中必須是可積得,但我們知道存在可微且導數有界的函數,其導數不是黎曼可積的,因此限制了微積分基本定理的應用范圍. 隨著數學的發(fā)展,人們發(fā)現很多問題在黎曼積分中都得不到圓滿的解決,科學的不斷前進,積分論再進一步革新,勒貝格在Borel測度思想的指導下,也吸收了Jordan和Peano的思想,建立了測度論,在可測集上定義了可測函數,并證明了在區(qū)間上的連續(xù)函數都是可測函數,利用黎曼積分對定義域的分割方法,考慮到間斷點造成的困難,勒貝格大膽的改變了

12、黎曼積分對定義域的分割方法,而采用對值域的分割,從而縮小振幅,消除了間斷點的困難,在二十世紀提出了勒貝格積分,它為現代分析學打開了大門,勒貝格積分的提出是許多問題迎刃而解了. 請預覽后下載！ 我們知道勒貝格積分是引入測度來推廣長度,與黎曼積分比較,勒貝格積分雖然有很多優(yōu)點,但任何一種理論都不是十全十美的,它也有缺點,比如在應用時測度比長度就要麻煩,反常積分是不存在的等等. 2黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系 2.1 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 定義 2.1.1（黎曼積分和勒貝格積分的定義） 黎曼積分的定義是從求曲線下方圖形的面積入手的,其定義為:設在上有界,對做分割,將區(qū)

13、間分成n部分,在每個小區(qū)間上任取一點,作和 . 稱它為屬于分割的黎曼和,令,,當→0時,若該式趨于有限極限,則稱在上可積記作 . 其精確的數學定義為:設 在上的函數,J是一確定的數,若對任意的總存在,使得上的任意分割T以及任意選取的,只要時,屬于T的積分和都滿足,則稱在上可積,稱J為則稱在上在上的定積分記作 . 黎曼積分的思想是“分割,求和,近似代替,取極限” ,這里的分割是對定義域的分割,對黎曼積分還有另一種定義 請預覽后下載！ . 定義 2.1.2 設 在上有界,對做分割,,其中令,,, ,若有 則稱在上黎曼可積. 定義 2.1.3我們已知

14、,測度是長度的推廣,啟發(fā)我們若要將黎曼積分推廣可以考慮將區(qū)間推廣到測度空間,對于被積函數按照黎曼積分的思想,必須使的在分割區(qū)間以后在盡可能多的區(qū)間上函數振幅足夠小,這使得具有較大震蕩的函數被排除在外,勒貝格大膽的采用逆向思維的方法,從值域入手,提出勒貝格積分,即 ,作,其中,,分別為在上的上界和下界,令,若存在,則勒貝格可積. 一般的可測函數的積分定義為:設在可測集E上可測,若記，,則有,若,不同時為,則在上的積分確定且 . 由簡單函數可以逼近可測函數,可先給出簡單函數的勒貝格積分定義,再寫出其它類型函數的勒貝格積分定義. 定義2.1.4（簡單函數的勒貝格積分定

15、義）設是可測集上的非負簡單函數,于是有對的劃分,,在上的取值為,則,定義 請預覽后下載！ 的勒貝格積分為,若,則稱在上勒貝格可積. 定義2.1.5（非負可測函數的勒貝格積分定義）取上的非負簡單函數列,對任意的,都收斂于,則在上勒貝格可積其積分為 . 對一般的函數由于,則 . 若左端的兩個積分值都有限時,稱在上勒貝格可積. 勒貝格積分是建立在測度論的基礎上,可以處理有界或無界的情形,而且函數可以定義在更一般的點集上.由以上兩大積的分定義,他們主要的不同是源于他們的劃分區(qū)域不同,由于勒貝格積分是對黎曼積分的推廣,所以凡是黎曼可積的函數一定勒貝格可積,但勒貝格可積的函數

16、不一定黎曼可積. 例 2.1.1 不是黎曼可積的,但它是勒貝格可積的,且積分為0. 可用下面直觀的例子說明黎曼積分與勒貝格積分在定義方面的差異. 例 2.1.2 用硬幣兌換紙幣.假設有5000枚硬幣需要兌換成紙幣,每一枚硬幣的面值分別為0.01元,0.02元,0.05元,0.1元,0.2元,0.5元,1元中的一個,要兌換需計算總幣值,計算總幣值有兩種方法,第一種是一個個硬幣的幣值逐個相加,第二種是把所有的硬幣按幣值分為7類,計算每一類幣值再相加.明顯的方法一中體現的是黎曼積分的思想,方法二則體現的是勒貝格積分的思想. 黎曼積分是將給定的函數的定義域分小而產生的,而勒貝格積分是通過劃分

17、函數的值域而產生的,前者的優(yōu)點是的度量容易給出,但當分割的細度加細時,函數在的振幅仍可能較大,后者的優(yōu)點是函數在上的振幅較小,從而擴展了可積函數類,使許多問題迎刃而解,但一般不再是區(qū)間,而是可測集,其度量一般不容易給出,對定義域和值域的劃分是這兩大積分最本質的區(qū)別. 2.2 黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較 請預覽后下載！ 2.2.1黎曼可積的條件 ㈠黎曼可積的條件必要條件 定義在上的黎曼可積的必要條件是在上有界. 注 任何黎曼可積的函數必有界,但有界函數不一定黎曼可積. ㈡黎曼可積的充分必要條件 ⒈設是定義在上的有界函數,則黎曼可積的充分必要條件為在上的黎曼上積分等于

18、黎曼下積分.即 設在上有界,為對的任一分割,其中令 ,,,,,有 . ⒉設是定義在上的有界函數,則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 . ⒊設是定義在上的有界函數,則黎曼可積的充分必要條件為對于任給正數,總存在某一分割,使得屬于的所有振幅的小區(qū)間的長度總長小于等于. ⒋設是定義在上的有界函數,則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 成立. ⒌定義在上的函數黎曼可積的充分必要條件為在上的一切間斷點構成一個零測度集. 請預覽后下載！ 注 這

19、說明黎曼可積的函數時幾乎處處連續(xù)的. 例 2.2.1 這個函數在所有無理點處是連續(xù)的,所有有理點處是不連續(xù)的,雖然中有無窮多個不連續(xù)點,但仍可積,且,事實上,中全體有理數組成一個零測度集,所以是黎曼可積的. 2.2.2勒貝格可積條件 ⒈設是定義在可測集上的有界函數,則在上勒貝格可積的充要條件為,總存在的某一分割,使得 . ⒉設是定義在可測集上的有界函數,則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測. ⒊設在上的黎曼反常積分存在,則在上勒貝格可積的充要條件為在上的黎曼反常積分存在,且有

20、 . ⒋設為上的可測函數列,在上的極限函數幾乎處處存在,且,則在上勒貝格可積. ⒌設是是定義在可測集上的連續(xù)函數,則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測. 2.3 黎曼積分與勒貝格積分的性質比較 2.3.1黎曼積分的性質 ⒈（線性性）若是定義在上的黎曼可積函數,為常數,則在 請預覽后下載！ 上也黎曼可積,且有 . ⒉（線性性）若,是定義在上黎曼可積函數,則 ,,也在上黎曼可積. 注 ,但. ⒊（區(qū)域可加性）設有界函數在,上都黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有 . ⒋（單調性）若,是定義在上黎曼可積,且,則 . ⒌（可積必

21、絕對可積）若在上黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有. 注 其逆命題不成立. ⒍若在上黎曼可積,則在的任意內閉子區(qū)間上也黎曼可積.且其積分值不會超過在上的積分值. ⒎若是上非負且連續(xù)的函數,若有,則在上恒等于零. ⒏若,是上的黎曼可積函數,則 , 在上也黎曼可積. 請預覽后下載！ ⒐若在上黎曼可積,在上有定義且有界,則也在上黎曼可積. 2.3.2勒貝格積分的性質 ⒈（有限可加性）設是有界可測集上的可積函數,,等均可測且兩兩互不相交,則有 . ⒉（可加性）設是有界可測集上的可積函數,,等均可測且兩兩互不相交,則有 . ⒊對于給定的可測函數,與的可積性相同且 . ⒋(單

22、調性)若,在上勒貝格可積,且?guī)缀跆幪幊闪?則 . ⒌是上的非負可積函數,則在上是幾乎處處有限的. ⒍是上的非負可測函數,若在上幾乎處處等于0,則. ⒎(零測集上的積分)若,則. ⒏是上的勒貝格可積函數,在上幾乎處處成立,則. ⒐設在上可測,若存在非負函數在可測集上勒貝格可積,幾乎處處成立,則在可測集上勒貝格可積. ⒑在可測集上勒貝格可積,是的可測子集,則在上也勒貝格可積. 且其積分值不會超過在上的積分值. ⒒（線性性）設,是上的非負可測函數,,為非負常數,則 請預覽后下載！ 也在上可積,且 . ⒓設在上可測,則的充要條件是在上幾乎處處成立. ⒔（絕對連續(xù)性）設在有

23、界可測集上勒貝格可積,則對,有,使得當時,有 . ⒕設在可測集上勒貝格可積,則對,有連續(xù)函數,使得. ⒖設,均在上勒貝格可積,則,也 在上勒貝格可積. ⒗若與在上幾乎處處相等,則也可積,且 . ⒘設在可測集上勒貝格可積函數,則其不定積分是絕對連續(xù)函數. ⒙設為可測集上勒貝格可積函數,則存在絕對連續(xù)的函數,使得的 導函數在上幾乎處處等于. ⒚設,是可測集上的兩列非負簡單函數,且對所有的, ,都單增收斂于相同的極限,則 . 2.4黎曼可積函數類與勒貝格可積函數類 2.4.1黎曼可積函數類 ⒈若在上有定義,且是連續(xù)函數,則在上黎曼可積. ⒉若在上有定義,且是只有有

24、限個間斷點的有界函數,則在 請預覽后下載！ 上黎曼可積. ⒊若是在上有定義,且只有有限個第一類間斷點的函數,則在上黎曼可積. ⒋若是上的單調函數,則在上黎曼可積. 注 單調函數即使有無限間斷點,它也是黎曼可積的.（單調函數只能存在有限個間斷點,使得函數在其上的振幅超過預先給定的值）. ⒌有界函數在上的不連續(xù)點集組成的是收斂數列,則在上黎曼可積. 2.4.2勒貝格可積函數類 ⒈是上的非負可測函數,若存在上的非負可積函數使得,,則在上勒貝格可積. ⒉設是在上非負可測且有界的函數,,則在上勒貝格可積. ⒊若可表示為一個簡單函數的極限,則在有界可測集上是勒貝格可積的. ⒋黎曼

25、可積的有界函數是勒貝格可積得. 2.5 黎曼積分與勒貝格積分相關定理的比較 為了更深刻的刻畫黎曼積分與勒貝格積分在相關定理方面的差異,有必要給出一致收斂的概念,然后比較這兩大積分在相關定理方面的差異. 定義2.5.1設函數列與函數定義在同一數集上,若對任意給定的正數,總存在某一正數,使得當時,對一切有 . 則稱函數列在上一致收斂于. 2.5.1與黎曼積分相關的定理 ⒈若函數列在區(qū)間上一致收斂,且每一項都連續(xù),則其極限函數也在上連續(xù). 請預覽后下載！ ⒉（可積性）若函數列在區(qū)間上一致收斂,且每一項都連續(xù), . ⒊（可微性）設為定義在上的函數列,若為的收斂點,且的每一項

26、在上都有連續(xù)的導數,在上一致收斂,則 . ⒋有界收斂定理設是定義在上的黎曼可積函數. ⑴. ⑵是定義在上的黎曼可積函數.且.則有 . 2.5.2與勒貝格積分相關的定理 ⒈（勒維定理）設可測集上的可測函數列滿足如下條件: ,,則的積分序列收斂于的積分 . ⒉（勒貝格控制收斂定理）設可測集上的可測函數列滿足如下條件: ⑴的極限存在,. ⑵存在可積函數使得那么可積,有 . ⒊設,上的可測函數列滿足如下條件: ⑴,可積. ⑵依測度收斂于,那么可積,有 . 請預覽后下載！ ⒋設是上的增函數列,且有在上收斂,則

27、 . 通過以上定理的比較我們可以發(fā)現,極限運算與勒貝格積分運算交換次序時,只需滿足存在一個控制函數或序列單調即可,這些條件比黎曼積分中要求一致收斂要弱得多,這就使得極限與積分運算,微分與積分運算,積分與積分運算很容易交換次序,從而減少計算量. 勒貝格積分的最大成功之處就是在于解決了積分與極限交換次序的條件苛刻的問題,使得極限與積分運算,微分與積分運算,積分與積分運算在勒貝格積分范圍比在黎曼積分范圍內更為圓滿的解決. 3黎曼積分與勒貝格積分的主要聯系 ⒈設是上黎曼可積,則必勒貝格可積,且兩者積分值相等. 注 上述結論只對上的有界函數成立,對于無界函數的瑕積分及無窮區(qū)間上的反常積分,

28、結論不再成立. 例3.1 在上定義函數 其反常積分的值為,但,不是勒貝格可積的. 但對于非負有界函數的黎曼反常積分,若在上黎曼反常積分存在,則必勒貝格可積,且積分值相等. ⒉勒貝格可積的函數不一定黎曼可積. 例3.2 ,而黎曼上和等于1,黎曼下和等于0,從而不是黎曼可積的. 請預覽后下載！ ⒊勒貝格積分是一定意義下的黎曼積分的推廣.(測度是長度的推廣,可測函數是連續(xù)函數的推廣.) 注 勒貝格積分并不是單純的對黎曼積分的推廣.如在反常積分理論中,而在勒貝格積分理論中,故在上不是勒貝格可積的. 4總結 4.1 總結 現將黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系總結如下

29、⒈設是上黎曼可積,則必勒貝格可積,且兩者積分值相等. ⒉閉區(qū)間上的黎曼可積函數一定是可測函數,也一定勒貝格可積. ⒊微積分基本定理的使用范圍擴大了,勒貝格提出當有界時,證明微積分基本定理并不難,但在是無界時,只要是可積的,微積分基本定理成立. ⒋勒貝格積分理論作為分析學中的有效工具,尤其在處理三角級數等問題中,得到了廣發(fā)的應用. ⒌前面提到勒貝格積分是的黎曼積分的推廣,但并不是黎曼反常積分的推廣,但對于非負有界函數的黎曼反常積分,若在上黎曼反常積分存在,則必勒貝格可積,且積分值相等. ⒍就積分的幾何意義來看,勒貝格積分將黎曼積分中的曲邊梯形面積推廣到高一微的測度. ⒎就可積函數范圍

30、來看,勒貝格可積函數類比黎曼可積函數類要廣泛的多. ⒏就某些極限過程來看,勒貝格積分比黎曼積分優(yōu)越,例對黎曼積分,關于積分序列求極限的問題,要求函數序列一致收斂,而在勒貝格積分中只要滿足極限函數有界. 總之,黎曼積分與勒貝格積分都在其相應的時期發(fā)揮自己獨特的作用,在一定意義下,勒貝格積分可以看作是對黎曼積分的推廣,它擴大了可積函數類,解決了許多古典數學中不能解決的問題,但勒貝格積分并沒有完全否定黎曼積分,而是在黎曼積分的基礎上加以 請預覽后下載！ “改造”而成. 4.2 展望 勒貝格積分是在二十世紀提出的,它建立在勒貝格提出的可列可加測度論的基礎上,被稱作是變

31、函數論,在此基礎上,各種新的分支相繼產生,復變函數論向縱深發(fā)展形成復分析,三角級數理論發(fā)展成為傅立葉積分…由于處理高維空間中曲線曲面及多變量函數的整體性質的需要,使得拓撲學知識和代數工具的大量使用,形成流行上的分析,使微分幾何學和偏微分方程等學科相結合,形成當代數學的主流方向.分析學躍上新高度的標志是泛函分析的產生,巴納赫空間,希爾伯特空間…已被完全掌握,但是無限維上的微積分學還沒有誕生,積分理論仍有待進一步發(fā)展. 從黎曼積分到勒貝格積分的發(fā)展過程,生動說明了數學的發(fā)展是永無止境的,雖然勒貝格積分比黎曼積分優(yōu)越很多,但是隨著函數論等各門學科的發(fā)展,勒貝格積分也慢慢的暴露出了一定的局限

32、,勒貝格積分也有待進一步發(fā)展. 請預覽后下載！ 參考文獻 [1] 周民強編著.實變函數論[M].北京:北京大學出版社,2001:158～173 [2] 鄭維行,王聲望編著.實變函數與泛函分析概要(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004:120～132 [3] 華東師范大學數學系編著.數學分析(第三版)[M] .北京:高等教育出版社,1999:201～216 [4] 薛玉梅.關于黎曼可積分理論教學探討[J].北京:北京航空航天大學學報,2011:4

33、 [5] 周成林.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯系[J].河南:新鄉(xiāng)教育學報.2005:(18)75～76 [6] 陳紀修,於嵩華,金路編著.數學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003:25～39 [7] HH那湯松編著.實變函數論(第五版)[M].北京:高等教育出版社.1959:251 請預覽后下載！ 致謝 本文的是在老師的耐心指導下完成的,在此期間,老師的高度責任心和敬業(yè)精神深深地影響了我,從她身上我不僅學到了寶貴的知識和經驗,而且學到了做科研該有的一種執(zhí)著精神,使我在學習和生活上受益匪淺.同時在本課題的研究過程中也要特別感謝李同學的熱心幫助,在本文即將脫稿之際,我向你們表示衷心的感謝. （注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!） 請預覽后下載！