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高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系質(zhì)量評估檢測 新人教A版必修2
時間:120分鐘 滿分:150分
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.下列說法不正確的是( )
A.空間中,一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形
B.同一平面的兩條垂線一定共面
C.過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一平面內(nèi)
D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直
解析:如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面DCC1D
2、1,因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,顯然選項D不正確,故選D.
答案:D
2.設a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,若a∥α,a?β,α∩β=b,則α內(nèi)與b相交的直線與a的位置關系是( )
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
解析:因為a∥α,a?β,α∩β=b,
所以a∥b.又因為a與α無公共點,所以α內(nèi)與b相交的直線與a異面.
答案:C
3.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F(xiàn),G分別是DD1,AB,CC1的中點,則異面直線A1E與GF所
3、成角為( )
A.30 B.45
C.60 D.90
解析:
連接EG,B1G,B1F,
則:A1E∥B1G,
故∠B1GF為異面直線A1E與GF所成的角.
由AA1=AB=2,AD=1可得B1G=,GF=,B1F=,
∴B1F2=B1G2+GF2,∴∠B1GF=90,即異面直線A1E與GF所成的角為90.
答案:D
4.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是( )
① ②
③ ④
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:
如圖所示:平面ABC∥平面M
4、NP,
所以AB∥平面MNP,
故①正確.
④中易證NP∥AB,故AB∥平面MNP.②③不正確.
答案:B
5.設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n
B.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n
C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β
解析:
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD,BC1?平面BCC1B1,BC?平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故A錯誤.
平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1?平面A1B1C1
5、D1,AC?平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故B錯誤.
AB⊥A1D1,AB?平面ABCD,A1D1?平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1∥平面ABCD,故C錯誤.故選D.
答案:D
6.設直線l?平面α,過平面α外一點A與l,α都成30角的直線有且只有( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
解析:如圖,和α成30角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線,當∠ABC=∠ACB=30,直線AC,AB都滿足條件,故選B.
答案:B
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面積是邊長為的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,
6、則PA與平面ABC所成角的大小為( )
A. B.
C. D.
解析:取正三角形ABC的中心O,連結OP,則∠PAO是PA與平面ABC所成的角.
因為底面邊長為,所以AD==,AO=AD==1.三棱柱的體積為()2AA1=,解得AA1=,即OP=AA1=,所以tan∠PAO==,即∠PAO=.
答案:B
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心,則AB1與底面ABC所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:由題意知三棱錐A1-ABC為正四面體,設棱長為a,則AB1=a,棱柱的高A1O===
7、a(即點B1到底面ABC的距離),故AB1與底面ABC所成角的正弦值為=,故選B.
答案:B
9.在四面體A-BCD中,已知棱AC的長為,其余各棱長都為1,則二面角A-CD-B的平面角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:取AC的中點E,CD的中點F,連接EF,BF,BE,∵AC=,其余各棱長都為1,∴AD⊥CD,∴EF⊥CD.
又∵BF⊥CD,
∴∠BFE是二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=,BE=,BF=,
∴EF2+BE2=BF2.∴∠BEF=90,∴cos∠BFE==,故選C.
答案:C
10.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中
8、,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析:如圖,設AB=a,則AA1=2a,三棱錐C-BDC1的高為h,CD與平面BDC1所成的角為α.
因為VC-BDC1=VC1-BDC,即aah=a22a,解得h=a.所以sinα==.
答案:A
11.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成四面體ABCD,則在四面體ABCD中,下列結論正確的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面B
9、DC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析:易知:△BCD中,∠DBC=45,∴∠BDC=90,
又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD,
而AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.
答案:D
12.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取線段AB=4,AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi),且AC⊥AB,DB ⊥AB,AC=3,BD=12,則CD的長度為( )
A.13 B.
C.12 D.15
解析:
如圖,連接AD.
∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α,
在Rt△ABD中,
AD===.
在Rt△CAD中,CD===
10、13.
答案:A
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P是平面AA1D1D的中心,點Q是B1D1上一點,且PQ∥平面AB1D,則線段PQ長為________.
解析:連接AB1,AD1,
因為點P是平面AA1D1D的中心,
所以點P是AD1的中點,
因為PQ∥平面AB1,PQ?平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AB1=AB1,
所以PQ∥AB1,所以PQ=AB1=.
答案:
14.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿足條件________時,有A1C⊥B1D1(注
11、:填上你認為正確的一種情況即可,不必考慮所有可能的情況).
解析:由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1,還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形,正方形等條件.
答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
15.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1上的距離的最小值為________.
解析:如圖,過點E作EE1⊥平面A1B1C1D1,交直線B1C1于點E1,
連接D1E1,DE,在平面D1DEE1內(nèi)過點P作PH∥
12、EE1交D1E1于點H,連接C1H,則C1H即為點P到直線CC1的距離.當點P在線段D1E上運動時,點P到直線CC1的距離的最小值為點C1到線段D1E1的距離,即為△C1D1E1的邊D1E1上的高h.
∵C1D1=2,C1E1=1,∴D1E1=,∴h==.
答案:
16.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下三個結論.
①AC⊥BD;
②△ACD是等邊三角形;
③AB與平面BCD成60的角;
說法正確的命題序號是________.
解析:
如圖所示,①取BD中點E,連接AE,CE,則BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC?平面
13、AEC,故AC⊥BD,故①正確.
②設正方形的邊長為a,
則AE=CE=a.
由①知∠AEC=90是直二面角A-BD-C的平面角,且∠AEC=90,∴AC=a,
∴△ACD是等邊三角形,故②正確.
③由題意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB與平面BCD所成的角,而∠ABE=45,所以③不正確.
答案:①②
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)如圖,正四棱錐S-ABCD的底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱長是底面邊長的倍,O為底面對角線的交點,P為側(cè)棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD;
(2)F為
14、SD中點,若SD⊥平面PAC,求證:BF∥平面PAC.
證明:(1)連接SO,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AC⊥BD且O為AC中點,
又∵SA=SC,
∴SO⊥AC,
又∵SO∩BD=O,
∴AC⊥平面SBD,
又∵SD?平面SBD,
∴AC⊥SD.
(2)連接OP,
∵SD⊥平面ACP,OP?平面ACP,
∴OP⊥SD,
又△SBD中,BD=a=SB,且F為SD中點,
∴BF⊥SD,
因為OP、BF?平面BDF,所以OP∥BF,
又∵OP?平面ACP,BF?平面PAC,
∴BF∥平面PAC.
18.(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐S-AB
15、C中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.
求證:(1)平面EFG∥平面ABC.
(2)BC⊥SA.
證明:(1)因為AS=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以F是SB的中點.
又因為E是SA的中點,所以EF∥AB.
因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又因為EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因為平面SAB⊥平面SBC,且交線為SB,又因為AF?平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC,因為BC?平面SBC,
所以AF⊥B
16、C.
又因為AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
又因為SA?平面SAB,所以BC⊥SA.
19.(本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
解析:(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE,
∴PC⊥BD.
∴BD⊥平面PAC.
(2)設AC與BD交點為O,連接OE.
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.
又∵B
17、O⊥平面PAC,
∴PC⊥BO,
∴PC⊥平面BOE,∴PC⊥BE,
∴∠BEO為二面角B-PC-A的平面角.
∵BD⊥平面PAC,
∴BD⊥AC,
∴四邊形ABCD為正方形,
∴BO=.
在△PAC中,=?=?OE=,
∴tan∠BEO==3,
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值為3.
20.(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60.
(1)證明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
解析:(1)取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.
因為C
18、A=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60,故△AA1B為等邊三角形,
所以OA1⊥AB.
因為OC∩OA1=O,所以AB⊥面OA1C.
又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由題設知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以OC=OA1=,又A1C=,則A1C2=OC2+OA,故OA1⊥OC.
因為OC∩AB=O,所以OA1⊥面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又S△ABC=ABOC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABCOA1==3.
21.(本小題滿分12分)如圖,在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=
19、90,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中點,點E在棱BB1上運動.
(1)證明:AD⊥C1E;
(2)當異面直線AC,C1E所成的角為60時,求三棱錐C1-A1B1E的體積.
解析:(1)證明:因為AB=AC,D是BC的中點,所以AD⊥BC,①
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
而AD?平面ABC,所以AD⊥BB1,②
由①②可得AD⊥平面BB1C1C,因為點E在棱BB1上運動.
得C1E?平面BB1C1C,所以AD⊥C1E.
(2)因為AC∥A1C1,所以∠A1C1E是異面直線AC與C1E所成的角,所以∠A1C1E=60,因為∠B1A1C1=∠
20、BAC=90,所以A1C1⊥A1B1,
又AA1⊥A1C1,從而A1C1⊥平面A1ABB1,于是A1C1⊥A1E,
故C1E==2,又B1C1=2,所以B1E=2,
從而VC1-A1B1E=S△A1B1EA1C1=2=.
22.(本小題滿分12分)如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F(xiàn)是平面FB1C1E與直線AA1的交點.
(1)證明:①EF∥A1D1;
②BA1⊥平面B1C1EF.
(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.
解析:(1)證明:①由AD∥BC,B
21、C∥B1C1可得AD∥B1C1,
又B1C1?平面AA1D1D,AD?平面AA1D1D,
∴B1C1∥平面AA1D1D,
又平面B1C1E∩平面AA1D1D=EF,
∴B1C1∥EF,又A1D1∥B1C1,∴EF∥A1D1.
②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中,==,
∴Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B,
∴∠A1FB1=∠BA1B1,
∵∠A1FB1+∠A1B1F=90,
∴∠BA1B1+∠A1B1F=90,
∴A1B⊥B1F,
由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1,
又B1C1⊥BB1,
∴B1C1⊥平面A1B1B,
又A1B?平面A1B1B,可得BA1⊥B1C1,
又BA1⊥B1F,且B1F∩B1C1=B1,
∴BA1⊥平面B1C1EF.
(2)設A1B∩B1F=O,連接C1O,
由(1)可知BC1與平面B1C1EF所成的角為∠BC1O,
在Rt△A1B1B中,BB=BOBA1,
即22=BO,解得BO=,
∴sin∠BC1O===,
∴BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值為.
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