《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修45 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評10 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修45 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評10 Word版含答案(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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學(xué)業(yè)分層測評(十)
(建議用時:45分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1.設(shè)a,b,c∈R+,且a+b+c=1,則++的最大值是( )
A.1 B.
C.3 D.9
【解析】 由柯西不等式得[()2+()2+()2](12+12+12)≥(++)2,∴(++)2≤31=3,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時等號成立.
∴++的最大值為.故選B.
【答案】 B
2.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=9,則++的最小值為( )
A.4 B.3
C.6 D.2
【解析】 ∵(a+b+c)
=[()2+()2+()2]
≥
2、
2=18.
∴++≥2.
【答案】 D
3.設(shè)a1,a2,…,an為實(shí)數(shù),P=,Q=,則P與Q的大小關(guān)系為( )
A.P>Q B.P≥Q
C.P<Q D.不確定
【解析】 由柯西不等式知
≥a1+a2+…+an,
∴≥a1+a2+…+an,
即得≥,∴P≥Q.
【答案】 B
4.若實(shí)數(shù)x+y+z=1,則F=2x2+y2+3z2的最小值為( )
A.1 B.6 C.11 D.
【解析】 ∵(2x2+y2+3z2)≥x+y1+z=(x+y+z)2=1,
∴2x2+y2+3z2≥=,即F≥,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)=3z時,取等號.
【答案】 D
3、
5.已知x,y,z均大于0,且x+y+z=1,則++的最小值為( )
A.24 B.30 C.36 D.48
【解析】 (x+y+z)
≥2=36,
∴++≥36.
【答案】 C
二、填空題
6.已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,則(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是__________.
【解析】 由柯西不等式得:(4+4+1)[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2,
∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2.
∵2a+2b+c=8,∴(a-1)2
4、+(b+2)2+(c-3)2≥,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是.
【答案】
7.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為________.
【解析】 ∵a+2b+3c=6,∴1a+12b+13c=6.
∴(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=2,b=1,c=時取等號.
【答案】 12
8.設(shè)x,y,z∈R,若(x-1)2+(y+2)2+z2=4,則3x-y-2z的取值范圍是__________.又3x-y-2z取最小值時,x的值為_______
5、___.
【解析】 [(x-1)2+(y+2)2+z2][32+(-1)2+
(-2)2]≥(3x-3-y-2-2z)2,414≥(3x-y-2z-5)2,
∴-2≤3x-y-2z-5≤2,
即5-2≤3x-y-2z≤5+2.
若3x-y-2z=5-2,又===t,
∴3(3t+1)-(-t-2)-2(-2t)=5-2,
∴t=-,∴x=-+1.
【答案】 [5-2,5+2] -+1
三、解答題
9.已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1.
(1)求證:++≥;
(2)求4x+4y+4z2的最小值.
【解】 (1)證明:(y+2z+z+2x+x+2y)≥++=1,
即
6、3≥1,
∴++≥.
(2)由基本不等式,得4x+4y+4z2≥3,
因?yàn)閤+y+z=1,
所以x+y+z2=1-z+z2=2+≥,
故4x+4y+4z2≥3=3,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=,z=時等號成立,
所以4x+4y+4z2的最小值為3.
10.已知f(x)=ax2+bx+c的所有系數(shù)均為正數(shù),且a+b+c=1,求證:對于任何正數(shù)x1,x2,當(dāng)x1x2=1時,必有f(x1)f(x2)≥1.
【證明】 由于f(x)=ax2+bx+c,
且a,b,c大于0,
∴f(x1)f(x2)=(ax+bx1+c)(ax+bx2+c)
≥(x1x2++c)2
=(ax1x2+b+c)
7、2
=[f()]2=[f(1)]2.
又f(1)=a+b+c,且a+b+c=1,
∴f(x1)f(x2)≥1.
[能力提升]
1.若2a>b>0,則a+的最小值為( )
A.1 B.3
C.8 D.12
【解析】 ∵2a>b>0,∴2a-b>0,
∴a+=
≥3=3.
當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=b=,即a=b=2時等號成立,
∴當(dāng)a=b=2時,a+有最小值3.
【答案】 B
2.設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則=( )
A. B.
C. D.
【解析】 由柯西不等式得,(a2+
8、b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,當(dāng)且僅當(dāng)===時取等號,因此有=.
【答案】 C
3.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=6,則++的最大值為________.
【解析】 由柯西不等式得:(++)2=(1+1+1)2≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3)=3(26+4)=48.
當(dāng)且僅當(dāng)==,
即2a=2b+1=2c+3時等號成立.
又a+b+c=6,∴a=,b=,c=時,
++取得最大值4.
【答案】 4
4.△ABC的三邊長為a,b,c,其外接圓半徑為R.
求證:(a2+b2+c2)≥36R2.
【證明】 由三角形中的正弦定理,得
sin A=,所以=,
同理=,=,
于是由柯西不等式可得
左邊=(a2+b2+c2)
≥2=36R2,
∴原不等式得證.
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