《經(jīng)濟數(shù)學基礎講義 第2章 導數(shù)與微分》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《經(jīng)濟數(shù)學基礎講義 第2章 導數(shù)與微分(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、經(jīng)濟數(shù)學基礎講義 第2章 導數(shù)與微分
第2章 導數(shù)與微分
2.1 極限概念
研究函數(shù)是利用極限的方法來進行;極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢.
例1 圓的周長的求法.早在公元263年,古代數(shù)學家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形……等的邊長近似圓的周長,顯然隨著邊數(shù)的增加,正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長.
例2 討論當時,的變化趨勢.
例3 討論一個定長的棒,每天截去一半,隨著天數(shù)的增加,棒長的變化趨勢。
“一尺之棰,日截其半,萬世不竭”——莊子?天下
定義2.3 設函數(shù)在點的鄰域(點可以除外)內(nèi)有定義,如果當無限趨于(但)時,無限趨近于某個常數(shù),則稱趨
2、于時,以為極限,記為
或
若自變量趨于時,函數(shù)沒有一個固定的變化趨勢,則稱函數(shù)在處沒有極限.
在理解極限定義時要注意兩個細節(jié):
1.時,()
2.(包括這兩種情況)
例1 討論時, =?
解:求極限時,可以利用極限的概念和直觀的了解,我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出,當時,,即=4
例2討論函數(shù),當時的極限
解:此函數(shù)在處沒有定義,可以借助圖形求極限.由
圖形得到
2.1.3 左極限和右極限
考慮函數(shù),依照極限的定義,不能考慮的極限. 因為在處無定義.
又如函數(shù),如果討論是的極限,則函數(shù)分別在和時不是同一個表達式,必須分別考慮.由此引出左
3、右極限的概念.
定義2.4 設函數(shù)在點的鄰域(點可以除外)內(nèi)有定義,
如果當且x無限于(即x從的左側趨于,記為)時,函數(shù)無限地趨近于常數(shù)L,則稱當x趨于時,以L為左極限,記作 = L;
如果當且x無限趨于(即x從的右側趨于,記為)時,函數(shù)無限地趨近于常數(shù)R,則稱當x趨于時,以R為右極限,記作= R .
極限存在的充分必要條件:
極限存在的充分必要條件是:函數(shù)在處的左,右極限都存在且相等.即
例3 , 求
解:注意到此函數(shù)當x=0的兩側表達式是不同,在0點處分別求左、右極限.
,
可見左右極限都存在但不相等;由幾何圖形易見,由極限的定義知,函數(shù)在某點處有極限存在需在該點處
4、的左右端同趨于某個常數(shù),因此此函數(shù)在0點處極限不存在.
2.1.4 無窮小量
稱當時,為無窮小量,簡稱無窮小.
補充內(nèi)容:
無窮小量是一個特殊的變量,它與有極限變量的關系是:
變量y以為A極限的充分必要條件是:y可以表示成A與一個無窮小量的和,即
無窮小量的有以下性質(zhì):
性質(zhì)1 有限個無窮小量的和是無窮小量;
性質(zhì)2 有限個無窮小量的乘積是無窮小量;
性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.
無窮大量:在某個變化過程中,絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數(shù)的變量稱為無窮大量.
例如 因為,所以,當時,是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關系”:
定理
5、:當(或)時,若是無窮小(而),則是無窮大;反之,若是無窮大,則是無窮小.
例4,當時,
解: 由圖形可知,當時,,當時,是無窮小量.
2.2 極限的運算
2.2.1 極限的四則運算法則
在某個變化過程中,變量分別以為極限,則
,
例1 求
解:
例2 求
解:
例3 求
解:
例4 求
解:
2.2.2 兩個重要極限
1.
幾何說明: 如圖,設為單位圓的圓心角,則對應的小三角形的面積為,對應的扇形的面積為,對應的大三角形的面積為當時,它們的面積都是趨于0的 ,即之比的極限是趨于1的.
例1
解:=
2.
例2 求極限
解:
例3
6、求極限
解
2.3 函數(shù)的連續(xù)性
定義 設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義,若滿足,則稱函數(shù)在點處連續(xù).點是的連續(xù)點.
函數(shù)間斷、間斷點的概念
如果函數(shù)在點處不連續(xù),則稱在點處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點,稱為的間斷點
例如 函數(shù),,
在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.
例1 ,問在處是否連續(xù)?
注意:此函數(shù)是分段函數(shù),是函數(shù)的分段點.
解: ,
不存在,在處是間斷的.
例2 ,問在處是否連續(xù)?
解:
(無窮小量有界變量=無窮小量)在處是連續(xù)的.
結論:(1)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的;
(2)連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算在其有定義處連續(xù);
(3)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是
7、連續(xù)的.
例3
解:
注意: 是初等函數(shù),在處有定義,利用
結論有極限值等于函數(shù)值.
2.4 導數(shù)與微分的概念
本節(jié)的主要內(nèi)容是導數(shù)與微分的概念.
三個引例
邊際成本問題
瞬時速率問題
曲線切線問題
引例1: 邊際成本問題
C—總成本,—總產(chǎn)量
已知 (當自變量產(chǎn)生改變量,相應的函數(shù)也產(chǎn)生改變量)
),(成本平均變化率),(邊際成本)
引例2: 瞬時速率問題
路程是時間的函數(shù),當從時,從
(平均速率)
(在時刻的瞬時速率)
引例3:曲線切線問題
考慮曲線在處的切線斜率.
當時,對應的,曲線上和兩點間割線的斜率為
(當時),稱為切線的斜率
8、.
關于函數(shù)
,,考慮極限
定義 設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義,當自變量在點處取得改變量時,函數(shù)取得相應的改變量.
若當時,兩個改變量之比的極限
存在,則稱函數(shù)在點處可導,并稱此極限值為 在點處的導數(shù),記為或或或
即 =
若極限不存在,則稱函數(shù)在點處不可導.
在理解導數(shù)定義時要注意:導數(shù)也是逐點討論的.
導數(shù)定義的意義
數(shù)量意義 變化率
經(jīng)濟意義 邊際成本
幾何意義 切線的斜率
例1 ,求
思路:先求,再求.
解:因為
所以,
例2 ,求
解: 因為
所以
導數(shù)公式
求導步驟
1、求; 2、求.
注意:是的導函數(shù),
9、函數(shù)在處的導數(shù)值
微分的概念
設,導數(shù),兩邊同乘,得到函數(shù)的微分.
微分
導數(shù)公式
微分公式
由導數(shù)公式可以得到微分公式
2.5 導數(shù)的計算
導數(shù)的加法法則
設在點處可導,則在點處可導亦可導,且
(為常數(shù))
加法公式證明
證:設,則
,
由已知條件,均可導.
導數(shù)的乘法法則
設在點處可導,則在點處可導亦可導,且
導數(shù)除法法則
設在點處可導,則在點處可導亦可導,且
()
例1 設函數(shù),求
析:現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式,利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導數(shù).
10、
解: (利用加法法則)
=(利用導數(shù)公式)
例2 設,求.
解:
(提示 )
例3 設,求.
解:(提示)
例4 ,
解:因為(由對數(shù)的性質(zhì):)
所以 (其中常數(shù)的導數(shù)為0)
例5 設,求.
解:利用導數(shù)的乘法法則,(利用導數(shù)公式)
例6 ,求.
解:<方法1>由導數(shù)基本公式
<方法2> 利用導數(shù)的乘法法則
說明無論用哪種方法其結果是唯一的.
例7 ,求.
解:<方法1> 將函數(shù)看成,利用乘法法則求導.
<方法2> 利用導數(shù)的除法法則求導
其中.兩個結果是完全一樣的.
例8 求
解:
(利用三角公式)同理可求.
2.5
11、.2 復合函數(shù)求導法則
問題:,求
,則
解:第一個問題,求導數(shù)沒有直接公式可用.
方法1:將函數(shù)展開
利用加法法則有
方法2:將函數(shù)寫成兩個因式乘積的形式
,利用四則運算法則求導數(shù).
第二個問題,展開?共101項,求導很麻煩.
寫成因式乘積的形式,求導也將很麻煩.
在這節(jié)課我們將介紹復合函數(shù)求導法則.
討論,引進中間變量
2.5.2 復合函數(shù)求導法則
定理 設y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點x處可導,y=f(u)在點u=j(x)處可導,則復合函數(shù)y=f(j(x))在點x處可導,且
或
復合函數(shù)求導步驟
分清函數(shù)的復合層次,找出所有的中間變
12、量;
依照法則,由外向內(nèi)一層層的直至對自變量求導.
多層復合的函數(shù)求導數(shù)
對于多層復合的函數(shù),即
若,則 或
注意:多層復合的函數(shù)求導數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對自變量求導.
問題: 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)?
解:先將從方程中解出來,得到和
分別求導和
將和分別代入,得
(1)
由(1)解得:
(2)
在(2)中隱含
隱函數(shù)求導方法步驟
方程兩邊求導,;
整理方程,求出.
例1 求下列函數(shù)的導數(shù)或微分
(1),求
解:方法一: 由
.這是用導數(shù)的乘法法則.
方法二: 利用復合函數(shù)求導法則,設
(其結果是完全一樣的)
(2),求
解:利
13、用復合函數(shù)求導法則,設
.
(3),求.
解:利用復合函數(shù)求導法則,設
,
例2設,求
解:先求一般點上函數(shù)的導數(shù),再將代入求得結果.
設,利用復合函數(shù)求導法則,
,
例3設函數(shù),求.
解:(首先對函數(shù)進行分解,找出所有中間變量)
,
例4 求函數(shù),求.
解:
例5 設函數(shù),求.
解:
[]
例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).
解:方程兩邊對自變量求導數(shù),此時是中間變量.
,解出(與前面的結果相同).
例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)?
解:方程兩邊對自變量求導數(shù),此時是中間變量.
,解得
注意:在隱函數(shù)的導數(shù)結果中常常含有.
例8 求雙曲線在點(1,1)處的切線斜率.
分析:此題是求隱函數(shù)在某點處的導數(shù).
解:因為,所以,且在點(1,1)處的切線斜率
2.6 高階導數(shù)
的高階導數(shù)
例1:
一般地,,函數(shù)的階導數(shù)記為
例1 求函數(shù)的二、三階導數(shù).
解: ,,
例2 求的二階導數(shù) 至導數(shù).
解: ,,
…