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1、第12章 重積分 內容提要 （一）二重積分概念和性質 1．二重積分定義：設二元函數定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域（），在每個中任取一點（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關，則稱函數在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即 其中，稱為被積函數，為被積表達式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。 2．二重積分的幾何意義：設在區(qū)域上連續(xù)，當時，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。 3．性質 （1

2、）線性性質 若，在上可積，和為任意常數，則在上可積，且 。 （2）積分區(qū)域可加性質 若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且 。 （3）不等式性質 設，在上可積，則 （i）若，，則 ， 特別有 。 （ii）若，是的面積，則有 。 （4）積分中值定理 設為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，則存在，使得 ， 其中是的面積。 （5）對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質 設在有界閉區(qū)域上可積， （i）若關于軸對稱，則 ， 其中。 （ii）若關于軸對稱，則 ， 其中。 （二）二重積分的計算 1．利用直角坐標系計算

3、二重積分 設在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)： （i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則 。 （ii）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則 。 如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域，使每個部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關于區(qū)域的可加性來計算。 2．利用極坐標系計算二重積分 極坐標與直角坐標的關系為，極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下，二重積分可變?yōu)? （i）極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中函數、在區(qū)間上連續(xù)，則 （ii）極點在區(qū)

4、域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中函數在區(qū)間上連續(xù)，則 （iii）極點在區(qū)域內。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有 （三）二重積分的應用 1．曲面面積：設曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域為，且函數在上有連續(xù)的偏導數。則曲面的面積為 2．物理應用：設平面薄片在平面上所占的區(qū)域為，其面密度為。 （1） 薄片質量：。 （2） 一階矩：薄片關于、軸的一階矩、分別為 ， （3） 薄片質心：，。 （4） 薄片關于、軸和原點的轉動慣量分別為： ， （四）三重積分的定義 設為空間閉區(qū)域上的有界函數，將任意分成個子域，以表示第個子域的

5、體積。在每一個子域上任取一點，作和式，如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數在區(qū)域上的三重積分，記作，即 (五) 三重積分的性質 （1）線性性質 ，其中在上可積，為常數。 （2）分域性質 ， 其中在上可積，且無公共內點。 （3）若在上可積且，則有 （4）估值公式 設在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，其最大值為，最小值，則 上式中表示閉區(qū)域的體積。 （5）中值定理 設在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數，則，使 （六）三重積分的計算 （1）在直角坐標系中的計算方法 （a）先單后重法 若先對積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域為，

6、可表示為，則 類似可以先對y積分或先對x積分。 （b）先重后單法 將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有 （2）在柱面坐標系中的算法 設 若，則 （3）在球坐標系中的方法 設，若 則一 （七）三重積分的應用 （1）體積 （2）物體的質量 若物體所占空間區(qū)域為，密度函數為，則質量 （3）質心坐標 （4）轉動慣量 復習指導： 第12章 重積分 學習指導 1． 掌握二重積分的概念。 2． 會用聯立不等式表示平面區(qū)域。 3． 熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重

7、積分轉化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進一步變換二次積分的次序。 4． 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程，會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數變化范圍，會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。 5． 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。 6． 會用二重積分計算質量、質心、一階矩和轉動慣量等。 7． 掌握第一型曲面積分的概念，會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域，會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。 8．對三重積分可以理解為密度函數為的所占的區(qū)域為的物體的質量。理解這一點對三重積分的許多性質的理解有極大的幫助

8、。 還應將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強理解，另一方面也使同學不易忘記和混淆。 三重積分 變密度三維空間立體的質量 定積分dx 變密度一維直剛絲的質量 第一型曲線積分 變密度彎曲剛絲的質量 二重積分 變密度二維平面薄片的質量 第一型曲面積分 變密度空間曲面薄片的質量 9．對稱性 當積分區(qū)域關于面對稱時，若被積函數關于為偶函數，即 ，則 其中為在面之上方的部分 若被積函數關于為奇函數, ，即，則 當關于其他坐標面對稱時有類似結論。 10．各類坐標系的選擇 （1）當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域，或在某坐標面上的投影是圓域，被積函數具有的形式，常采用柱坐標系。 （2）當積分區(qū)域是與球相關的區(qū)域，而被積函數具有的形式時，常采用球坐標。 （3）其他如平面或拋物面構成的區(qū)域，可選用直角坐標系。 9 / 9文檔可自由編輯打印