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1、第8章 數(shù)列與無窮級數(shù) （一） 數(shù)列 1． 數(shù)列極限的定義 若>0，正整數(shù)，使得當時成立<,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為。否則稱數(shù)列發(fā)散。 2． 數(shù)列極限的運算法則 若，，c是常數(shù)，則 ； ； ； 。 3． 數(shù)列極限的性質(zhì) (1)若>0則，當時成立>0；，則。 (2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。 4．數(shù)列極限的存在性準則 (1) 夾逼準則（夾逼定理）: （2）單調(diào)有界準則（數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理）: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 5． 數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系 對于數(shù)列，若存在定義域包含的函數(shù)，使，且，且。 6． 數(shù)列與數(shù)列的關系

2、 （1）若，是的一個子數(shù)列，則。 （2）若，則。 （二）無窮級數(shù)的基本概念 1．級數(shù)斂散性的定義 　稱為級數(shù)的前項部分和，而稱數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列。 　若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即，則稱級數(shù)收斂，稱s為該級數(shù)的和，記為，同時稱為級數(shù)的余和。 　若級數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散。 2．級數(shù)的基本性質(zhì) （１）若，是常數(shù)，則。 （2）若=s，，則。 （3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數(shù)；反之亦成立。 （4）收斂級數(shù)添加括弧后仍收斂于原來的和。 （5）級數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則。 （三）數(shù)項級數(shù) 1．正項級數(shù) （1）正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和

3、數(shù)列有界。 （2）正項級數(shù)的比較判別法及其極限形式 設，（１）若收斂，則收斂；（２）若發(fā)散，則發(fā)散。 設與均是正項級數(shù)，若，則與具有相同的斂散性。 （3）正項級數(shù)的積分判別法 對于正項級數(shù)，若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則級數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。 （4）正項級數(shù)比值判別法的極限形式 設為正項級數(shù)，且, 則 （a）<1時，級數(shù)收斂； （b）當>1（包含）時，級數(shù)收斂； （c）當時，本判別法失效。 （5）正項級數(shù)根值判別法的極限形式 設為正項級數(shù)，且,　則 （a）當<1時，級數(shù)收斂；

4、 (b) 當>1（包含）時，級數(shù)發(fā)散； ( c) 當時，本判別法失效。 2．交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法 若正數(shù)列｛｝單調(diào)減少，且, 則交錯級數(shù)（及）收斂，且余和。 3.　絕對收斂與條件收斂 若收斂，則稱絕對收斂； 若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。 絕對收斂級數(shù)必收斂。 絕對收斂級數(shù)的任一更序級數(shù)仍絕對收斂于原級數(shù)的和。 （四）冪級數(shù) 1．冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）阿貝爾定理 若冪級數(shù)在某點(0)處收斂，則在區(qū)間（）內(nèi)的任一點處均絕對收斂； 若冪級數(shù)在某點處發(fā)散，則在

5、滿足的任一點處均發(fā)散。 （2）收斂半徑的定義 若冪級數(shù)不是僅在點x=0處收斂，也不是在（）內(nèi)的任一點處均收斂，則存在正數(shù)r，使當時，收斂；而當時，發(fā)散，稱此正數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。當僅在點=0處收斂時，定義收斂半徑=0; 當在（）上都收斂時，定義收斂半徑=+。 (3) 　收斂半徑的計算 設冪級數(shù)滿足,（這里的是某個正整數(shù)）,且，則?。╝）當L>0時，=; 　　(b) 當L=0時，= +; 　 　(c) 當L= +時，=0。 （４）收斂區(qū)間與收斂域 　　當冪級數(shù)的收斂半徑r>0時，稱（）是它的收斂區(qū)間；當判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。

6、2．冪級數(shù)的運算 （1）代數(shù)運算 設　　　，收斂域為，收斂半徑>０， 　　　，收斂域，收斂半徑>０， 則 　a) 　　　　　　　　　　　　　?。剑諗坑驗?； b) 　 　　　　　　　　　　　　　　 ＝，收斂半徑 （這里兩個冪級數(shù)的乘積是柯西乘積）。 （2）、分析運算 設，收斂域，收斂半徑，則 a) 和函數(shù)在上連續(xù)； b) 和函數(shù)在內(nèi)可導且可逐項求導： 　　　　 ； ?。悖┖秃瘮?shù)在內(nèi)可積，且可逐項積分： 　　　　　==，； 3． 冪級數(shù)的展開 （1）函數(shù)的泰勒級數(shù) 設函數(shù)f

7、(x)在點x的某個鄰域內(nèi)有任意階導數(shù)，則稱冪級數(shù) 　　　=++… 為f(x)在點x的泰勒級數(shù)。而稱 　　　　　=++… 為f(x)的麥克勞林級數(shù)（=0時的泰勒級數(shù)）。 （2）函數(shù)的冪級數(shù)展開（間接展開法） 利用五個初等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的代數(shù)運算，分析運算， 變量代換等手段，求給定函數(shù)的冪級數(shù)展開式。 復習指導： 第8章 數(shù)列與無窮級數(shù) （一）、數(shù)列 計算數(shù)列的極限，通?？衫么鷶?shù)恒等變形、數(shù)列極限的運算法則和利用函數(shù)極限的方法。這里必須注意的是：由于數(shù)列是定義域為離散點集的函數(shù)，故不能直接使用洛必達法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù)

8、，再利用函數(shù)極限計算數(shù)列極限。 　　假定數(shù)列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。 　　如果數(shù)列的通項是由n個項的和構成，通?？煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來，再求極限。 （二）、無窮級數(shù)的基本概念 1、級數(shù)斂散性的定義 　　每個級數(shù)涉及到兩個數(shù)列：一是由其項構成的數(shù)列｛u｝，二是由其部分和構成的數(shù)列｛s｝。級數(shù)的斂散性是用｛s｝的斂散性定義的。 　　一般，即使級數(shù)收斂，要求其和也是很困難的。但只要級數(shù)收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先關心的是判斷級數(shù)的斂散性。 ２、級數(shù)的基本性質(zhì) （１）、在級數(shù)的每一項上同乘

9、以一不為零的常數(shù)，級數(shù)的斂散性不變。 （２）、收斂級數(shù)可以逐項相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。 （３）、在級數(shù)的前面添上或去掉有限項，不影響級數(shù)的斂散性。 （４）、收斂級數(shù)可以加括弧，即滿足加法的結合律。若加括弧后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。 （５）、＝０是級數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由?。翱赏频眉墧?shù)發(fā)散。 　　若需證明數(shù)列{ }收斂于零，也可考慮以下方法：證明級數(shù)收斂，再利用級數(shù)收斂的必要條件得{ }收斂于零。 （三）、數(shù)項級數(shù) １、正項級數(shù) （１）、首先得注意多種正項級數(shù)判斂法使用的前提，就是必須是正項級數(shù)。 （２）、一般，對于通項含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指

10、函數(shù)等因式的正項級數(shù)，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對于通項含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式，但不含階乘因式的正項級數(shù)，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數(shù)冪或分數(shù)冪）有理式為通項的正項級數(shù)，因為n時，通項關于無窮小的階數(shù)易觀察而得，應優(yōu)先考慮與p級數(shù)比較，（利用比較判別法或其極限形式）。 （３）、比較判別法的比較對象，一般可取等比級數(shù)和p級數(shù)，故下列結論應牢記。 等比級數(shù)當<1時，收斂于，當 1時發(fā)散。 P級數(shù)，當p>１時收斂，當p１時發(fā)散。 ２、交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法 　　這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。 對于萊布尼茲型級數(shù)，其“截斷誤差”有估

11、計式 ３、絕對收斂與條件收斂 （１）、判斷變號級數(shù)的斂散性，是指判斷其絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。 （２）、若發(fā)散，且此結論是由正項級數(shù)的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。 （四）、冪級數(shù) 1、冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）、冪級數(shù)的條件收斂點必是其收斂域的端點。 （2）、對于“缺項”的冪級數(shù)，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數(shù)，再利用正項級數(shù)的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。 2、冪級數(shù)的運算 利用冪級數(shù)逐項微分或逐項積分的運算，可能會改變其收斂區(qū)間端點上的斂散性。 3．冪級數(shù)的展開 通常利用間接法展開。這里首先需要注意

12、的是基點，如果是將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù)，是指將表達成 的形式。一般，對數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級數(shù)，指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級數(shù)等等，又，反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常 先求導再展開。 若在展開過程中，利用了冪級數(shù)的乘法，逐項微分和逐項積分的運算，則收斂區(qū)間端點上的斂散性需重新判斷。 求所得冪級數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級數(shù)展開的必要步驟之一，千萬不要遺漏。 4．求冪級數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項級數(shù)的和 若在冪級數(shù)的項中沒出現(xiàn)階乘記號，通常利用冪級數(shù)的運算，將其化為等比級數(shù)，利用等比級數(shù)收斂性的結論求冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。若在冪級數(shù)的項中出現(xiàn)階乘記號，則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運算，求其在收斂域上的和函數(shù)。 求收斂數(shù)項級數(shù)的和，可以利用級數(shù)斂散性的定義，即計算。也可構造冪級數(shù)，使收斂的數(shù)項級數(shù)成為冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)某點處的值，通過計算冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)達到目的。 9 / 9文檔可自由編輯打印