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1、江蘇白丁高級中學(xué)09屆高三期中測試數(shù)學(xué)試卷
時間:2008/10/27
試卷分值:160分 考試時間:120分鐘
一、填空題:(本大題共14小題,每小題5分,共70分.請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上.)
1、已知點(diǎn)在第三象限, 則角的終邊在第 ▲ 二 象限。
2、已知a=(2,1),b =(x,2),且a+b與a-2b平行,則x等于 ▲ 4 .
3、 已知集合,,若,則實數(shù) 的取值范圍是 ▲ .(2,3)
4、 設(shè)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=,則當(dāng)x<0時,f(x)= ▲ .
5、 函數(shù)
2、的增區(qū)間是 ▲ .
6、 已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A(其坐標(biāo)與a無關(guān)),則定
點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ▲ .(―2,―1)
7、在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為、b、c ,若,則
__ ▲_ _.
8、已知非負(fù)實數(shù)、同時滿足,, 則目標(biāo)函數(shù)的最小值是 5 ▲
9、 對于數(shù)列{},定義數(shù)列{}為數(shù)列{}的“差數(shù)列”,若,{}的“差數(shù)列”的通項為,則數(shù)列{}的前項和= .
10、已知命題P:“對∈R,m∈R,使”,若命題P是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是 m≤1 ▲ .
11、 已知函數(shù)y=的最大值為M,最
3、小值為m,則的值為 ▲ .
12.已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足,
則點(diǎn)是的 垂 心
13、若為的各位數(shù)字之和,如,,則,記,,…,,,則 ▲ 11 .
14.已知表中的對數(shù)值有且只有兩個是錯誤的:
x
1.5
3
5
6
7
8
9
14
lgx
3a-b+c
2a-b
a+c
1+a-b-c
2(a+c)
3(1-a-c)
2(2a-b)
1-a+2b
請你指出這兩個錯誤 ▲ .(答案寫成如lg20≠a+b-c的形式)
lg1.5≠3a-b+c ,lg7≠2(a+c)
4、二、解答題:(本大題6小題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟)
15(14分).集合A={1,3,a},B={1,a2},問是否存在這樣的實數(shù)a,使得BA,
且A∩B={1,a}?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,說明理由.
15、解:由A={1,3,a},B={1,a2},BA,得a2=3.或a2=a.
當(dāng)a2=3時,,此時A∩B≠{1,a}; ------------------- 7分
當(dāng)a2=a時,a=0或a=1, a=0時,A∩B={1,0};a=1時,A∩B≠{1,a}.
5、
綜上所述,存在這樣的實數(shù)a=0,使得BA,且A∩B={1,a}.-------------------14分
16(14分)、在中,、、分別是三內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)的三邊,已知。
(Ⅰ)求角A的大小:
(Ⅱ)若,判斷的形狀。
16、解:(Ⅰ)在中,,又
∴…………………………………………………6分
(Ⅱ)∵,∴……………………8分
∴,,
,∴,
∵,∴ , ∴為等邊三角形?!?4分
17.(本小題滿分15分)
設(shè)函數(shù).
(1
6、)當(dāng)k=2時,求函數(shù)f(x)的增區(qū)間;
(2)當(dāng)k<0時,求函數(shù)g(x)=在區(qū)間(0,2]上的最小值.
答案:解:(1)k=2,.則=.…………………3分
>0,(此處用“≥”同樣給分) ……………………………………………5分
注意到x>0,故x>1,于是函數(shù)的增區(qū)間為.(寫為同樣給分) …………7分
(2)當(dāng)k<0時,g(x)==.g(x)=≥, ……………9分
當(dāng)且僅當(dāng)x=時,上述“≥”中取“=”.
①若∈,即當(dāng)k∈時,函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值為;…11分
②若k<-4,則在上為負(fù)恒成立,
故g(x)在區(qū)間上為減函數(shù),
于是g(x)在區(qū)間上的最小
7、值為g(2)=6-k. …………………………………13分
綜上所述,當(dāng)k∈時,函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值為;
當(dāng)k<-4時,函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值為6-k. ………………………15分
18、(本題滿分16分)
某隧道長2150m,通過隧道的車速不能超過m/s。一列有55輛車身長都為10m的同一車型的車隊(這種型號的車能行駛的最高速為40m/s),勻速通過該隧道,設(shè)車隊的速度為xm/s,根據(jù)安全和車流的需要,當(dāng)時,相鄰兩車之間保持20m的距離;當(dāng)時,相鄰兩車之間保持m的距離。自第1輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車尾離開隧道所用的時間為。
(1)將表示為的函數(shù)
8、。
(2)求車隊通過隧道時間的最小值及此時車隊的速度。
18、解:當(dāng)時,
當(dāng)時,
所以,
(1) 當(dāng)時,在時,
當(dāng)時,
當(dāng)且僅當(dāng),即:時取等號。
因為 ,所以 當(dāng)時,
因為
所以,當(dāng)車隊的速度為時,車隊通過隧道時間有最小值
19、(16分)已知二次函數(shù)同時滿足:①不等式的解集有且只有一個元素;②在定義域內(nèi)存在,使得不等式成立。設(shè)數(shù)列的前n項和。
(1)求表達(dá)式;
(2)求數(shù)列的通項公式
9、;
(3)設(shè),,前n項和為,(恒成立,求m范圍
19、.解(1)的解集有且只有一個元素,
當(dāng)a=4時,函數(shù)上遞減,故存在,使得不等式成立,當(dāng)a=0時,函數(shù)上遞增
故不存在,使得不等式成立,綜上,得a=4,
(2)由(1)可知,當(dāng)n=1時,
當(dāng)時,
(3),
]
=對恒成立,
可轉(zhuǎn)化為:對恒成立,因為是關(guān)于n的增函數(shù),所以當(dāng)n=2時,其取得最小值18,所以m<18
20.設(shè)關(guān)于x的方程有兩個實根、,且.定義函數(shù)
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅲ)若為正實數(shù),證明不等式:
(Ⅰ)解: ∵是方程的兩個實根,∴.
∴,………………2分
同理,
∴. …………5分
(Ⅱ) ∵,
∴, …………7分
當(dāng)時,, …………8分
從而,∴在上為增函數(shù). …………10分
(Ⅲ) ∵且
∴,
,
∴, …………11分
由(Ⅱ)可知,
同理可得. …………12分
∴,
∴. …………14分
又由(Ⅰ)知,
∴,
所以 …………16分
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