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1、第第3課時平面的基本性質及課時平面的基本性質及兩直線位置關系兩直線位置關系第八章立體幾何第八章立體幾何教材回扣教材回扣 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1.平面的基本性質及推論平面的基本性質及推論(1)平面的基本性質平面的基本性質性質性質1：如果一條直線上的：如果一條直線上的_在一在一個平面內個平面內,那么這條直線上的所有點那么這條直線上的所有點都在這個平面內都在這個平面內.兩點兩點性質性質2：經過：經過_的三的三點點,有且只有一個平面有且只有一個平面.性質性質3：如果不重合的兩個平面有一個：如果不重合的兩個平面有一個公共點公共點,那么它們那么它們_過這個過這個點的公共直線點的公共直線.不在同

2、一條直線上不在同一條直線上有且只有一條有且只有一條(2)平面基本性質的推論平面基本性質的推論推論推論1：經過一條直線和：經過一條直線和_的一的一點點,有且只有一個平面有且只有一個平面.推論推論2：經過兩條：經過兩條_,有且只有且只有一個平面有一個平面.推論推論3：經過兩條：經過兩條_,有且只有有且只有一個平面一個平面.直線外直線外相交直線相交直線平行直線平行直線2.直線與直線的位置關系直線與直線的位置關系 位置關系的分類位置關系的分類 共面直線共面直線 _異面直線：既不異面直線：既不_又不又不_的直線的直線 平行直線平行直線相交直線相交直線相交相交平行平行思考探究思考探究1.如果兩條直線沒有任

3、何公共點如果兩條直線沒有任何公共點,則兩條則兩條直線為異面直線直線為異面直線,此說法正確嗎此說法正確嗎?提示：提示：不正確不正確.如果兩條直線沒有公共如果兩條直線沒有公共點點,則兩條直線平行或異面則兩條直線平行或異面.3.平行公理平行公理平行于同一條直線的兩條直線平行于同一條直線的兩條直線_.4.等角定理等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行行,并且方向相同并且方向相同,那么這兩個角那么這兩個角_.互相平行互相平行相等相等思考探究思考探究2.本定理中本定理中,這兩個角方向相反這兩個角方向相反,兩角有兩角有何關系何關系?提示：提示：當這兩個角的兩邊方向相反時這

4、當這兩個角的兩邊方向相反時這兩個角相等兩個角相等.課前熱身課前熱身1.分別在兩個平面內的兩條直線的位分別在兩個平面內的兩條直線的位置關系是置關系是()A.異面異面B.平行平行C.相交相交 D.以上都有可能以上都有可能答案：答案：D2.已知已知a,b是異面直線是異面直線,直線直線c直線直線a,則則c與與b()A.一定是異面直線一定是異面直線 B.一定是相交直線一定是相交直線C.不可能是平行直線不可能是平行直線 D.不可能是相交直線不可能是相交直線答案：答案：C3.(2011高考浙江卷高考浙江卷)若直線若直線l不平行于不平行于平面平面,且且l ,則則()A.內的所有直線與內的所有直線與l異面異面B

5、.內不存在與內不存在與l平行的直線平行的直線C.內存在唯一的直線與內存在唯一的直線與l平行平行D.內的直線與內的直線與l都相交都相交解析：選解析：選B.由題意知由題意知,直線直線l與平面與平面相相交交,則直線則直線l與平面與平面內的直線只有相交內的直線只有相交和異面兩種位置關系和異面兩種位置關系,因而只有選項因而只有選項B是是正確的正確的.4.在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,異面異面直線直線AC與與B1C1所成的角為所成的角為_.答案：答案：455 . 三 條 直 線 兩 兩 相 交三 條 直 線 兩 兩 相 交 , 可 以 確 定可 以 確 定_個平面?zhèn)€平面.答案：答案：1或或

6、3考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1點共線問題點共線問題證明共線問題：證明共線問題：(1)可由兩點連一條直可由兩點連一條直線線,再驗證其他各點均在這條直線上；再驗證其他各點均在這條直線上；(2)可直接驗證這些點都在同一條特定可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上的直線上兩相交平面的唯一交線兩相交平面的唯一交線,關鍵是通過繪出圖形關鍵是通過繪出圖形,作出兩個適當的作出兩個適當的平面或輔助平面平面或輔助平面,證明這些點是這兩個證明這些點是這兩個平面的公共點平面的公共點. 正方體正方體ABCDA1B1C1D1中中,對對角線角線A1C與平面與平面BC1D交于點交于點O,AC、BD交于點交于點

7、M,求證：點求證：點C1、O、M共線共線.例例1【證明證明】如圖所示如圖所示,A1AC1C,則則A1A與與C1C可確可確定平面定平面A1C.互動探究互動探究1.在本例中在本例中,若若E、F分別為分別為D1C1、B1C1的中點的中點,A1C1EFQ,ACBDP,A1C面面EFBDR,試探究試探究P、Q、R三點是否共三點是否共線線.考點考點2線共點問題線共點問題證明共點問題一般是證明三條直線交于證明共點問題一般是證明三條直線交于一點一點.首先證明其中的兩條直線相交于首先證明其中的兩條直線相交于一點一點,然后再說明第三條直線是經過這然后再說明第三條直線是經過這兩條直線的兩個平面的交線兩條直線的兩個平

8、面的交線,由公理由公理3可可知兩個平面的公共點必在兩個平面的交知兩個平面的公共點必在兩個平面的交線上線上,即三條直線交于一點即三條直線交于一點.例例2【思路分析思路分析】先證先證E、F、G、H四點四點共面共面,再證再證EF、GH交于一點交于一點,然后證明這然后證明這一點在一點在AC上上.【思維總結思維總結】證明線共點的方法一般證明線共點的方法一般是先證兩條直線相交于一點是先證兩條直線相交于一點,然后再證然后再證明這一點在第三條直線上明這一點在第三條直線上,而證明后者而證明后者,往往是利用這點在兩個平面的交線上往往是利用這點在兩個平面的交線上.互動探究互動探究所以四邊形所以四邊形EFGH為梯形為

9、梯形,設設EH與與FG交交于點于點P,則則P平面平面ABD,P平面平面BCD,所以所以P在兩平面的交線在兩平面的交線BD上上,所以所以EH、FG、BD三線共點三線共點.考點考點3點、線共面問題點、線共面問題證明若干條線證明若干條線(或若干個點或若干個點)共面共面,一般來一般來說有兩種途徑：一是首先由題目條件中說有兩種途徑：一是首先由題目條件中的部分線的部分線(或點或點)確定一個平面確定一個平面,然后再證然后再證明其余的線明其余的線(或點或點)均在這個平面內；二均在這個平面內；二是將所有元素分為幾個部分是將所有元素分為幾個部分,然后分別然后分別確定幾個平面確定幾個平面,再證這些平面重合再證這些平

10、面重合.本類題最容易忽視本類題最容易忽視“三線共點三線共點”這一種這一種情況情況.因此因此,在分析題意時在分析題意時,應仔細推敲問應仔細推敲問題中每一句話的含義題中每一句話的含義. 如 圖如 圖 , 在 正 方 體在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中中,點點E、F分別是棱分別是棱AA1、CC1的中點的中點,求證：求證：D1、E、F、B共面共面.【思路分析思路分析】連結連結D1E、D1FD1E與與DA相交相交,D1F與與DC相交相交證明兩交點與證明兩交點與B共線共線.例例3【名師點評名師點評】題中是先說明題中是先說明D1、E、F確定一平面確定一平面,再說明再說明B在所確定的平面內在

11、所確定的平面內,也可證明也可證明D1EBF,從而說明四點共面從而說明四點共面.考點考點4異面直線異面直線判定兩條直線是否異面判定兩條直線是否異面,可依據定義來可依據定義來進行進行,還可依據定理還可依據定理(過平面外一點與平過平面外一點與平面內一點的直線面內一點的直線,和平面內不經過該點和平面內不經過該點的直線是異面直線的直線是異面直線)進行進行.反證法是證明反證法是證明兩直線異面的有效方法兩直線異面的有效方法.求異面直線所成的角的一般步驟是：一求異面直線所成的角的一般步驟是：一作作,二證二證,三計算；作出異面直線所成的三計算；作出異面直線所成的角的方法是角的方法是“平移法平移法”,常常使用特殊

12、位常常使用特殊位置的點置的點,如利用線段的中點或線段的端如利用線段的中點或線段的端點等進行平移點等進行平移,利用圖中已有的平行線利用圖中已有的平行線進行平移進行平移,利用補形的方法進行平移等利用補形的方法進行平移等,通常將角放在某個三角形中通常將角放在某個三角形中. 如圖所示如圖所示,正方體正方體ABCDA1B1C1D1中中,M、N分別是分別是A1B1、B1C1的的中點中點.問：問：(1)AM和和CN是否是異面直線是否是異面直線?說明理由；說明理由；(2)D1B和和CC1是否是異面直線是否是異面直線?說明理由；說明理由；(3)求求A1C1與與B1C所成角的大小所成角的大小.例例4【思路分析思路

13、分析】(1)可證得可證得MNAC,故故AM、CN共面；共面；(2)利用反證法或定理法；利用反證法或定理法；(3)利用利用A1C1AC.【方法指導方法指導】若從正面入手證明兩條若從正面入手證明兩條直線異面比較困難時直線異面比較困難時,可考慮用反證法可考慮用反證法.方法技巧方法技巧1.主要題型的解題方法主要題型的解題方法(1)要證明要證明“線共面線共面”或或“點共面點共面”可可先由部分直線或點確定一個平面先由部分直線或點確定一個平面,再證再證其余直線或點也在這個平面內其余直線或點也在這個平面內(即即“納納入法入法”).(2)要證明要證明“點共線點共線”可將線看作兩個可將線看作兩個平面的交線平面的交

14、線,只要證明這些點都是這兩只要證明這些點都是這兩個平面的公共點個平面的公共點,根據公理根據公理3可知這些點可知這些點在交線上在交線上,因此共線因此共線.2.判定空間兩條直線是異面直線的方法判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點判定定理：平面外一點A與平面內一與平面內一點點B的連線和平面內不經過該點的連線和平面內不經過該點B的直的直線是異面直線線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面交或證明兩線不可能共面,從而可得兩從而可得兩線異面線異面.3.求兩條異面直線所成角的大小的方法求兩條異面直線所成角的大小的方法一般方法

15、是通過平行移動直線一般方法是通過平行移動直線,把異面把異面問題轉化為共面問題來解決問題轉化為共面問題來解決.根據空間根據空間等角定理及推論可知等角定理及推論可知,異面直線所成角異面直線所成角的大小與頂點位置無關的大小與頂點位置無關,往往將角的頂點取在其中的一條直線往往將角的頂點取在其中的一條直線上上,特別地特別地,可以取其中一條直線與另一可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端條直線所在平面的交點或異面線段的端點點.總之總之,頂點的選擇要與已知量有關頂點的選擇要與已知量有關,以以便于計算便于計算,具體步驟如下：具體步驟如下：(1)利用定義構造角利用定義構造角,可固定一條可固定

16、一條,平移另平移另一條一條,或兩條同時平移到某個特殊的位或兩條同時平移到某個特殊的位置置,頂點選在特殊的位置上；頂點選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角或其補角證明作出的角即為所求角或其補角;(3)利用三角形來求解利用三角形來求解.失誤防范失誤防范1.異面直線是不同在任何一個平面內異面直線是不同在任何一個平面內的兩條直線的兩條直線,而不是分別在兩個平面內而不是分別在兩個平面內.一定要理解定義一定要理解定義.2.求異面直線所成的角要特別注意異求異面直線所成的角要特別注意異面直線所成角的范圍是面直線所成角的范圍是(0,90.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測從近幾年的高考

17、試題來看從近幾年的高考試題來看,異面直線所異面直線所成的角、異面直線的判定是高考的熱成的角、異面直線的判定是高考的熱點點,題型既有選擇題、填空題題型既有選擇題、填空題,又有解答又有解答題題,難度為中、低檔難度為中、低檔.客觀題主要考查異面直線所成角的概念客觀題主要考查異面直線所成角的概念及求法及求法,考查平移直線法、向量法求異考查平移直線法、向量法求異面直線所成的角；主觀題主要考查立體面直線所成的角；主觀題主要考查立體幾何的有關知識、異面直線所成角的求幾何的有關知識、異面直線所成角的求法及異面直線的判定等法及異面直線的判定等,同時還考查了同時還考查了學生的空間想象能力和運算能力學生的空間想象能

18、力和運算能力.預測預測2013年高考仍將以求異面直線所年高考仍將以求異面直線所成的角為主要考查點成的角為主要考查點,重點考查學生的重點考查學生的空間想象能力和運算能力空間想象能力和運算能力.規(guī)范解答規(guī)范解答 (本題滿分本題滿分12分分)如圖如圖,已知兩個已知兩個正方形正方形ABCD和和DCEF不在同一平面不在同一平面內內,M,N分別為分別為AB,DF的中點的中點.例例(1)若若CD2,平面平面ABCD平面平面DCEF,求求MN的長；的長；(2)用反證法證明：直線用反證法證明：直線ME與與BN是兩條是兩條異面直線異面直線.【名師點評名師點評】(1)不會利用平面不會利用平面ABCD平面平面DCEF創(chuàng)建線線垂直創(chuàng)建線線垂直,將所將所求求MN放置于可解的直角三角形內放置于可解的直角三角形內.(2)否定結論后否定結論后,不會利用假設與線面平不會利用假設與線面平行的性質導出行的性質導出ABEN,從而找不到矛盾從而找不到矛盾所在所在.反證法證題的關鍵在于充分利用反證法證題的關鍵在于充分利用假設與條件推出矛盾假設與條件推出矛盾,從而肯定結論正從而肯定結論正確確.