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2022年 等差數(shù)列的前n項和說課稿

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1、 2022年 等差數(shù)列的前n項和說課稿 2022年 等差數(shù)列的前n項和說課稿1   尊敬的各位專家、評委:   上午好!   今天我說課的課題是人教A版必修5第二章第三節(jié)《等差數(shù)列的前n項和》。   我嘗試?yán)眯抡n標(biāo)的理念來指導(dǎo)教學(xué),對于本節(jié)課,我將以“教什么,怎么教,為什么這樣教”為思路,從教材分析、目標(biāo)分析、教法學(xué)法分析、教學(xué)過程分析和評價分析五個方面來談?wù)勎覍滩牡睦斫夂徒虒W(xué)的設(shè)計,敬請各位專家、評委批評指正。   一、教材分析   地位和作用   數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù),是一種重要的屬性模型。人們往往通過離散現(xiàn)象認(rèn)識連續(xù)現(xiàn)象,因此就有必要研究數(shù)列。   高中

2、數(shù)列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數(shù)列。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用。   在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的過程中,采用了:1。從特殊到一般的研究方法;2。倒敘相加求和。不僅得出來等差數(shù)列前n項和公式,而且對以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式有一定的啟發(fā),也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。   等差數(shù)列的前n項和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ),與數(shù)學(xué)課程的其他內(nèi)容(函數(shù)、三角、不等式等)有著密切的聯(lián)系。   二、目標(biāo)分析  ?。ㄒ唬?、教學(xué)目標(biāo)   1、知識與技能   掌握等差數(shù)列的前n項和公式,能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式求和。   2、過程與方法   經(jīng)歷公式

3、的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體驗從特殊到一般的研究方法,學(xué)會觀察、歸納、反思。   3、情感、態(tài)度與價值觀   獲得發(fā)現(xiàn)的成就感,逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,提高代數(shù)推理的能力。  ?。ǘ?、教學(xué)重點、難點   1、重點:等差數(shù)列的前n項和公式。   2、難點:獲得等差數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)的思路。   三、教法學(xué)法分析  ?。ㄒ唬?、教法   教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識階段。   探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點。如果直接介紹“倒敘相加”求和,無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”。所以在教學(xué)中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊,從特殊到一般啟發(fā)

4、學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。   應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式,可采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段,通過“選擇公式”,“變用公式”,“知三求二”三個層次來促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。   (二)、學(xué)法   建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識的過程,學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中,讓學(xué)生在問題情境中,經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展,通過觀察、操作、歸納、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí),認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識,學(xué)會學(xué)習(xí),發(fā)展能力。   四、教學(xué)過程分析  ?。ㄒ唬?、教學(xué)過程設(shè)計   1、問題呈現(xiàn)階段   泰姬陵坐落于印度古都阿格,是世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個三角

5、形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成共有100層。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎?   設(shè)計意圖:  ?。?)、源于歷史,富有人文氣息。  ?。?)、承上啟下,探討高斯算法。   2、探究發(fā)現(xiàn)階段  ?。?)、學(xué)生敘述高斯首尾配對的方法(學(xué)生對高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配對的方法來求和,但是他們對這種方法的認(rèn)識可能處于模仿、記憶的階段。)   (2)、為了促進(jìn)學(xué)生對這種算法的`進(jìn)一步理解,設(shè)計了下面的問題。   問題1:圖案中,第1層到第21層共有多少顆寶石?(這是奇數(shù)個項和的問題,不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的方法,需要把中間項11看成是首、尾兩項1和21的等差中項。   

6、通過前后比較得出認(rèn)識:高斯“首尾配對”的算法還得分奇數(shù)、偶數(shù)個項的情況求和。  ?。?)、進(jìn)而提出有無簡單的方法。   借助幾何圖形的直觀性,引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法:把“全等三角形”倒置,與原圖補成平行四邊形。   獲得算法:S21=21(1+21)/2   設(shè)計意圖:   幾何直觀能啟迪思路,幫助理解,因此,借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面,只有做到了直觀上的理解,才是真正的理解。因此在教學(xué)中,要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考,揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系,從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。   問題2:求1到n的正整數(shù)之和。即Sn=1+2+3+…+n   ∵Sn=

7、n+(n—1)+(n—2)+…+1   ∴2Sn=(n+1)+(n+1)+…。+(n+1)   Sn=n(n+1)/2 (從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和,旨在讓學(xué)生體驗“倒敘相加求和”這一算法的合理性,從心理上完成對“首尾配對求和”算法的改進(jìn))   由于前面的鋪墊,學(xué)生容易得出如下過程:   ∵Sn=an+an—1+an—2+…a1,   ∴Sn= n(a1+ an)/2。   圖形直觀   等差數(shù)列的性質(zhì)(如果m+n=p+q,那么am+an=ap+aq。)   設(shè)計意圖:   一言以蔽之,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力做到:以簡馭繁,平實近人,退樸歸真,循循善誘,

8、引人入勝。   3、公式應(yīng)用階段  ?。?)、選用公式   公式1 Sn= n(a1+ an)/2;   公式2 Sn =na1+n(n—1)d/2。  ?。?)、變用公式  ?。?)、知三求二   例1   某長跑運動員7天里每天的訓(xùn)練量如下7500m,8000m,8500m,9000m,9500m,10000m,10500m。這位長跑運動員7天共跑了多少米?(本例提供了許多數(shù)據(jù)信息,學(xué)生可以從首項、尾項、項數(shù)出發(fā),使用公式1,也可以從首項、公差、項數(shù)出發(fā),使用公式2求和。達(dá)到學(xué)生熟悉公式的要素與結(jié)構(gòu)的教學(xué)目的。   通過兩種方法的比較,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該根據(jù)信息選擇適當(dāng)?shù)墓剑?/p>

9、以便于計算。)   例2   等差數(shù)列—10,—6,—2,2,…的前多少項和為54?(本例已知首項,前n項和、并且可以求出公差,利用公式2求項數(shù)。   事實上,在兩個求和公式中包含四個元素,從方程的角度,知三必能求余一。)   變式練習(xí):在等差數(shù)列{an}中,a1=20,an=54,Sn =999,求n。   知三求二:   例3   在等差數(shù)列{an}中,已知d=20,n=37,Sn =629,求a1及an。(本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項公式求未知元。   事實上,在求和公式、通項公式中共有首項、公差、項數(shù)、尾項、前n項和五個元素,如果已知其中三個,連列方程組,就可以求

10、出其余兩個。)   4、當(dāng)堂訓(xùn)練,鞏固深化。   通過學(xué)生的主體性參與,使學(xué)生深刻體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法,從而實現(xiàn)對知識的再次深化。   采用課后習(xí)題1,2,3。   5、小結(jié)歸納,回顧反思。   小結(jié)歸納不僅是對知識的簡單回顧,還要發(fā)揮學(xué)生的主體地位,從知識、方法、經(jīng)驗等方面進(jìn)行總結(jié)。  ?。?)、課堂小結(jié)  ?、?、回顧從特殊到一般的研究方法;  ?、?、體會等差數(shù)列的基本元素的表示方法,倒敘相加的算法,以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。  ?、邸⒄莆盏炔顢?shù)列的兩個球和公式及簡單應(yīng)用  ?。?)、反思   我設(shè)計了三個問題  ?、?、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了哪些知識?

11、  ?、?、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你最大的體驗是什么?  ?、?、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你掌握了哪些技能?  ?。ǘ?、作業(yè)設(shè)計   作業(yè)分為必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課學(xué)生知識水平的反饋,選做題是對本節(jié)課內(nèi)容的延伸與連貫,強調(diào)學(xué)以致用。通過作業(yè)設(shè)置,使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅,看到自己的潛能,從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成。   我設(shè)計了以下作業(yè):   1、必做題:課本p118,練習(xí)1,2,3;   習(xí)題3。3第2題(3,4)。   2、選做題:   在等差數(shù)列中,   (1)、已知a2+a5+a12+a15=36,求是S16。

12、   (2)、已知a6=20,求s11。  ?。ㄈ鍟O(shè)計   板書要基本體現(xiàn)課堂的內(nèi)容和方法,體現(xiàn)課堂進(jìn)程,能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系:能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識;通過使用幻燈片輔助板書,節(jié)省課堂時間,使課堂進(jìn)程更加連貫。   五、評價分析   學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果評價固然重要,但是更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的過程評價。我采用了及時點評、延時點評與學(xué)生互評相結(jié)合,全面考查學(xué)生在知識、思想、能力等方面的發(fā)展情況,在質(zhì)疑探究的過程中,評價學(xué)生是否有積極的情感態(tài)度和頑強的理性精神,在概念反思過程中評價學(xué)生的歸納猜想能力是否得到發(fā)展,通過鞏固練習(xí)考查學(xué)生對本節(jié)是否有一個完整的集訓(xùn),

13、并進(jìn)行及時的調(diào)整和補充。   以上就是我對本節(jié)課的理解和設(shè)計,敬請各位專家、評委批評指正。   謝謝! 2022年 等差數(shù)列的前n項和說課稿2   以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿,僅供參考。   教學(xué)目標(biāo)   A、知識目標(biāo):   掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運用。   B、能力目標(biāo):   (1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn),在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。   (2)利用以退求進(jìn)的思維策略,遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,讓學(xué)生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式,培養(yǎng)學(xué)生類

14、比思維能力。   (3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。   C、情感目標(biāo):(數(shù)學(xué)文化價值)   (1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中,從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。   (2)通過公式的運用,樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。   (3)通過生動具體的現(xiàn)實問題,令人著迷的數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望,樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心,增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗,產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。   教學(xué)重點:等差數(shù)列前n項和的公式。   教學(xué)難點:等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。   教學(xué)方法:啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

15、   教具:現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。   教學(xué)過程   一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課。   師:上幾節(jié),我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì),今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和,我們自然會想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小學(xué)四年級時,一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題:"把從1到100的自然數(shù)加起來,和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050,這使教師非常吃驚,那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計算,那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映,然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

16、   例1,計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.   這道題除了累加計算以外,還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后,讓學(xué)生自行發(fā)言解答。   生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個11,得到55。   生2:可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律,又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。   上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110   10個   所以我們得到S=55,   即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55   師:高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)

17、的各的方法,和上述兩位同學(xué)的方法相類似。   理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下,上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢?   生3:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.   二、教授新課(嘗試推導(dǎo))   師:如果已知等差數(shù)列的首項a1,項數(shù)為n,第n項an,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),如何來導(dǎo)出它的前n項和Sn計算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo),并請一位學(xué)生板演。   生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也

18、可寫成   Sn=an+an-1+......a2+a1   兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)   n個   =n(a1+an)   所以Sn=   #FormatImgID_0#   (I)   師:好!如果已知等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得   Sn=na1+   #FormatImgID_1#   d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的,我們可以發(fā)現(xiàn),它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比,這里的上底是等差數(shù)列

19、的首項a1,下底是第n項an,高是項數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1,d,n,an,Sn),它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d,Sn=   #FormatImgID_2#   =na1+   #FormatImgID_3#   d];這些量中有幾個可自由變化?(三個)從而了解到:只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。   三、公式的應(yīng)用(通過實例演練,形成技能)。   1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式,即用基本量觀點認(rèn)識公式)例2、計算:   (1)1+2+3+......+n   (2)1+3

20、+5+......+(2n-1)   (3)2+4+6+......+2n   (4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n   請同學(xué)們先完成(1)-(3),并請一位同學(xué)回答。   生5:直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得   (1)1+2+3+......+n=   #FormatImgID_4#   (2)1+3+5+......+(2n-1)=   #FormatImgID_5#   (3)2+4+6+......+2n=   #FormatImgID_6#   =n(n+1)   師:第(4)小題數(shù)列共有幾項?是否為等差數(shù)列?能否直接運用Sn

21、公式求解?若不能,那應(yīng)如何解答?小組討論后,讓學(xué)生發(fā)言解答。   生6:(4)中的數(shù)列共有2n項,不是等差數(shù)列,但把正項和負(fù)項分開,可看成兩個等差數(shù)列,所以   原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)   =n2-n(n+1)=-n   生7:上題雖然不是等差數(shù)列,但有一個規(guī)律,兩項結(jié)合都為-1,故可得另一解法:   原式=-1-1-......-1=-n   n個   師:很好!在解題時我們應(yīng)仔細(xì)觀察,尋找規(guī)律,往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時,要看清等差數(shù)列的項數(shù),否則會引起錯解。   例3、(1)數(shù)列{an}是公差d

22、=-2的等差數(shù)列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。   生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4   又∵d=-2,∴a1=6   ∴S12=12 a1+66×(-2)=-60   生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4   a8+a9+a10=75,a1+8d=25   解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+   #FormatImgID_7#   =145   師:通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量,可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(

23、知三求二),請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題,作為本節(jié)的課外練習(xí)題,以便下節(jié)課交流。   師:(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生,將第(2)小題改編)  ?、贁?shù)列{an}等差數(shù)列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n  ?、谌舸祟}不求a1,d而只求S10時,是否一定非來求得a1,d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運用等差數(shù)列性質(zhì),用整體思想考慮求a1+a10的值。   2、用整體觀點認(rèn)識Sn公式。   例4,在等差數(shù)列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)   師:來看第(1)小題,寫出的計算公式S16

24、=   #FormatImgID_8#   =8(a1+a6)與已知相比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?   生10:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。   師:對!(簡單小結(jié))這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和,于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。   師:由于時間關(guān)系,我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析,引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時,Sn是n的二次函數(shù),那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點如何來認(rèn)識Sn公式后,這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。   最后請大家

25、課外思考Sn公式(1)的逆命題:   已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于所有自然數(shù)n,都有Sn=   #FormatImgID_9#   。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由。   四、小結(jié)與作業(yè)。   師:接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。   生11:1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。   2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題,熟悉對Sn公式的運用。   生12:1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。   2、具體用Sn公式時,要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II),掌握知三求二的解題通法。   3、當(dāng)已知條件不足以求此項a1和公差d時,要認(rèn)真觀察,靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),看能否用整體思想的方法求a1+an的值。   師:通過以上幾例,說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì),要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時希望大家在學(xué)習(xí)中做一個有心人,去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì),主動積極地去學(xué)習(xí)。   本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。   數(shù)學(xué)思想:類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

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