《【2015年】高考全國卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【2015年】高考全國卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷1 1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=，則|z|=（） （A）1 （B）（C）（D）2 2． =（） （A）（B）（C）（D） 3．設(shè)命題：，則為（） （A）（B） （C）（D） 4．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為（） （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 5．已知M（）是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是（） （A）（-，）（B）（-，） （C）（，）（D）（

2、，） 6．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（） （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 7．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（） （A）（B） （C）（D） 8．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（） （A）（B） （C）（D） 9．執(zhí)行右

3、面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 10．的展開式中，的系數(shù)為（） （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 11．圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12．設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（） （A）[-，

4、1）（B）[-，）（C）[，）（D）[，1） 13．若函數(shù)f（x）=為偶函數(shù)，則a= 14．一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 15．若滿足約束條件，則的最大值為. 16．在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是. 17．（本小題滿分12分）為數(shù)列{}的前項和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通項公式； （Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列{}的前項和. 18．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證

5、明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 19．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ

6、）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； （Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題： （?。┠晷麄髻Mx=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ （ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 20．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0）交與M,N兩點， （Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程； （Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由. 21．（本小題滿分12分）已知函

7、數(shù)f（x）=. （Ⅰ）當(dāng)a為何值時，x軸為曲線的切線； （Ⅱ）用表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論h（x）零點的個數(shù). 22．（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，AB是的直徑，AC是的切線，BC交于E. （Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是的切線； （Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，直線:=2，圓：,以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （Ⅰ）求，的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為, ,求的面積. 24．（本小題滿分10分）選修4—

8、5：不等式選講 已知函數(shù)=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）>1的解集； （Ⅱ）若f（x）的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍. 【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由得，==，故|z|=1，故選A. 考點：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模等. 2.【答案】D 【解析】原式= ==，故選D. 考點：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式. 3.【答案】C 【解析】:，故選C. 考點：本題主要考查特稱命題的否定 4.【答案】A 【解析】根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0.648，故選A

9、. 考點：本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率公式與互斥事件和概率公式 5.【答案】A 【解析】由題知，，所以= =，解得，故選A. 考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B. 考點：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 7.【答案】A 【解析】由題知=，故選A. 考點：平面向量的線性運算 8.【答案】D 【解析】由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D. 考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 9.【答案】C 【解析】執(zhí)行

10、第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第6次，S=S-m=0.015625

11、,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，輸出n=7，故選C. 考點：本題注意考查程序框圖 10.【答案】C 【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C. 考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù). 【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構(gòu)成，結(jié)合所給多項式，分析如

12、何得到該項，再利用排列組知識求解. 11.【答案】B 【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16 + 20，解得r=2，故選B. 考點：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式 12.【答案】D 【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因為，所以當(dāng)時，＜0，當(dāng)時，＞0，所以當(dāng)時，=， 當(dāng)時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 考點：本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題 13.【答案】1 【解析】由題知是奇

13、函數(shù)，所以 =，解得=1. 考點：函數(shù)的奇偶性 14.【答案】 【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 15.【答案】3 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3. 考點：線性規(guī)劃解法 16.【答案】（，） 【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時，AB最短，

14、此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）. 考點：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項與前項和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項公式，再用拆項消去法求其前項和. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，因為，所以=3， 當(dāng)時，==，即，因為，所以=2， 所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所

15、以數(shù)列{}前n項和為= =. 考點：數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法 18.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC，通過計算可證EG⊥FG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值. 試題解析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形AB

16、CD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=. 在Rt△FDG中，可得FG=. 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0

17、），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力 19.【答案】（Ⅰ）適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費用的回歸方程類型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（Ⅱ）令，先求出建立關(guān)于的線性回歸方程，即可關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）（?。├藐P(guān)于的回歸方程先求出年銷售量的預(yù)報值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤z的預(yù)報值；（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值，列出關(guān)于的方程，利用二

18、次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用. 試題解析： （Ⅰ）由散點圖可以判斷，適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費用的回歸方程類型. （Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于=， ∴=563-68×6.8=100.6. ∴關(guān)于的線性回歸方程為， ∴關(guān)于的回歸方程為. （Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?，當(dāng)=49時，年銷售量的預(yù)報值 =576.6， . （ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值 ， ∴當(dāng)=，即時，取得最大值. 故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.……12分 考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報預(yù)測；應(yīng)用意識 20.【答

19、案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標(biāo). 試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，. ∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為 ，即. 故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為 ，即. 故所求切線方程為或. （Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下： 設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點，，，直線PM，PN

20、的斜率分別為. 將代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 當(dāng)時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補， 故∠OPM=∠OPN，所以符合題意. 考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力 21..【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標(biāo)與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得. 因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線.

21、 （Ⅱ）當(dāng)時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點. 當(dāng)=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點. 當(dāng)時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù). （?。┤艋?，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時，在（0，1）有一個零點；當(dāng)0時，在（0，1）無零點. （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時，取的最小值，最小值為=. ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點. ②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點； ③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時，在（0,1）有兩個零點；當(dāng)時，在（0,1）有一個零點.…10分 綜上，當(dāng)或時，由一個零

22、點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點. 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想 22.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）60° 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中線性質(zhì)知DE=DC，OE=OB，利用等量代換可證∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圓O的切線；（Ⅱ）設(shè)CE=1,由得，AB=，設(shè)AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出關(guān)于的方程，解出，即可求出∠ACB的大小. 試題解析：（Ⅰ）連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，

23、由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 連結(jié)OE，∠OBE=∠OEB， ∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線. （Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，， ∴，解得=，∴∠ACB=60°. 考點：圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理 23.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得，的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將將代入即可求出|MN|，利用三角形面積公式即可求出的面積. 試題解析：（Ⅰ）因為， ∴的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程

24、為.……5分 （Ⅱ）將代入，得，解得=，=，|MN|=－=， 因為的半徑為1，則的面積=. 考點：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化；直線與圓的位置關(guān)系 24.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用零點分析法將不等式f（x）>1化為一元一次不等式組來解；（Ⅱ）將化為分段函數(shù)，求出與軸圍成三角形的頂點坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可解出的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，不等式f（x）>1化為|x+1|-2|x-1|＞1， 等價于或或，解得， 所以不等式f（x）>1的解集為. （Ⅱ）由題設(shè)可得，， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，所以△ABC的面積為. 由題設(shè)得＞6，解得. 所以的取值范圍為（2，+∞）. 考點：含絕對值不等式解法；分段函數(shù)；一元二次不等式解法 內(nèi)容總結(jié) （1）2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷1 1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=，則|z|=（） （A）1 （B）（C）（D）2 2． =（） （A）（B）（C）（D） 3．設(shè)命題：，則為（） （A）（B） （C）（D） 4．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試 （2）一元二次不等式解法