《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理 （廣東專(zhuān)用）》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理 （廣東專(zhuān)用）（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基歸納奠基)證明當(dāng)證明當(dāng)n取取_時(shí)命題成立；時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推歸納遞推)假設(shè)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題成立時(shí)命題成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整開(kāi)始的所有正整數(shù)數(shù)n都成立都成立第一個(gè)值第一個(gè)值n0(n0N*)nk12數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示1數(shù)學(xué)歸納法的第一步數(shù)學(xué)歸納法的第一步n取第一

2、個(gè)值取第一個(gè)值n0(nN*)是否一定為是否一定為1呢？呢？【提示】【提示】不一定不一定n0的取值應(yīng)取命題成立的第的取值應(yīng)取命題成立的第1個(gè)值，不一個(gè)值，不一定是定是1.2數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的作用分別是什么？數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的作用分別是什么？【提示】【提示】數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推兩者缺一不可另外，在第二步中證明推兩者缺一不可另外，在第二步中證明nk1時(shí)命題成時(shí)命題成立，必須利用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法立，必須利

3、用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 【解析】【解析】三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.【答案】【答案】C【解析】【解析】k為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則k2為偶數(shù)，選為偶數(shù)，選B.【答案】【答案】B【答案】【答案】C【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】(1)第一步驗(yàn)證第一步驗(yàn)證n1時(shí)等式成立時(shí)等式成立(2)第二步假設(shè)第二步假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，證明時(shí)等式成立，證明nk1時(shí)，等式時(shí)，等式成立成立用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，首先應(yīng)弄清等式的結(jié)構(gòu)特征，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，首先應(yīng)弄清等式的結(jié)構(gòu)特征，即弄清等式兩邊的

4、構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值即弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少是多少2用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵是由用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立，遞推時(shí)命題成立，遞推出出nk1時(shí)，命題也成立，為此可寫(xiě)出目標(biāo)式時(shí)，命題也成立，為此可寫(xiě)出目標(biāo)式nk1時(shí)，時(shí)，命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與nk時(shí)，命題的差別，明確變形的目時(shí)，命題的差別，明確變形的目標(biāo)，充分利用假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程標(biāo)，充分利用假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 當(dāng)當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，時(shí)，不等式成立，根據(jù)根據(jù)(1)，(2)知不

5、等式對(duì)知不等式對(duì)nN*都成立都成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種形式：一有關(guān)的不等式一般有兩種形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小對(duì)第二類(lèi)形式往往要先對(duì)要求比較它們的大小對(duì)第二類(lèi)形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，猜想出結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明的情況分別驗(yàn)證比較，猜想出結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立得時(shí)命題成立得nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合時(shí)命題也

6、成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)求出的前根據(jù)求出的前n項(xiàng)，抽象出一般性的規(guī)律，然項(xiàng)，抽象出一般性的規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明后利用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納歸納猜想猜想證明證明 1猜想猜想an的通項(xiàng)公式是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，通過(guò)計(jì)的通項(xiàng)公式是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，通過(guò)計(jì)算算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有時(shí)可能要多算幾項(xiàng)才行發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有時(shí)可能要多算幾項(xiàng)才行2“歸納歸納猜想猜想證明證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性法

7、綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式究和發(fā)展的重要方式從近兩年的高考試題來(lái)看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)從近兩年的高考試題來(lái)看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考的熱點(diǎn)，題型為解答有關(guān)的命題以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考的熱點(diǎn)，題型為解答題，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，分析問(wèn)題、題，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的

8、能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，難度為中、高檔在求解時(shí)，應(yīng)注意答題步解決問(wèn)題的能力，難度為中、高檔在求解時(shí)，應(yīng)注意答題步驟的規(guī)范化驟的規(guī)范化(12分分)(2012汕尾模擬汕尾模擬)已知已知ABC的三邊長(zhǎng)是有理數(shù)的三邊長(zhǎng)是有理數(shù)(1)求證：求證：cos A都是有理數(shù)；都是有理數(shù)；(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)是有理數(shù)規(guī)范解答之十一巧用數(shù)學(xué)歸納法證明三角問(wèn)題規(guī)范解答之十一巧用數(shù)學(xué)歸納法證明三角問(wèn)題(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和和sin Asin nA都是有理數(shù)都是有理數(shù)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，由時(shí)，由(1)知知cos A是有理數(shù)，是有理數(shù)，從而有從而有

9、sin Asin A1cos 2A也是有理數(shù)也是有理數(shù).6分分假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，時(shí)，cos kA和和sin Asin kA是有理數(shù)當(dāng)是有理數(shù)當(dāng)nk1時(shí)，則時(shí)，則cos (k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，10分分由由和歸納假設(shè)，知和歸納假設(shè)，知cos (k1)A與與sin Asin (k1)A都是有理都是有理數(shù)即當(dāng)數(shù)即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立時(shí)，結(jié)論成立綜合綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cos

10、nA是有理數(shù)是有理數(shù).12分分【解題程序】【解題程序】第一步：利用余弦定理證明第一步：利用余弦定理證明cos A是有理數(shù)；是有理數(shù)；第二步：證明第二步：證明n1時(shí)，時(shí)，cos nA，sin Asin nA是有理數(shù)；是有理數(shù)；第三步：假設(shè)第三步：假設(shè)nk時(shí)，時(shí)，cos kA，sin Asin kA是有理數(shù)；證明是有理數(shù)；證明nk1時(shí)，時(shí)，cos(k1)A是有理數(shù)是有理數(shù)易錯(cuò)提示：易錯(cuò)提示：(1)不能將不能將cos A與三角形邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)，無(wú)法證明與三角形邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)，無(wú)法證明第第(1)小題；小題；(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明第在用數(shù)學(xué)歸納法證明第(2)小題時(shí)，對(duì)小題時(shí)，對(duì)sin Asin kA束手無(wú)

11、策，思維受阻，無(wú)法求解束手無(wú)策，思維受阻，無(wú)法求解防范措施：防范措施：(1)角角A是是ABC的內(nèi)角，且的內(nèi)角，且ABC的三邊長(zhǎng)是有理的三邊長(zhǎng)是有理數(shù)，可聯(lián)想到用邊長(zhǎng)表示數(shù)，可聯(lián)想到用邊長(zhǎng)表示cos A，即余弦定理，即余弦定理(2)在證明在證明cos(k1)A是有理數(shù)時(shí)，需要用到結(jié)論是有理數(shù)時(shí)，需要用到結(jié)論“sin Asin kA是有理數(shù)是有理數(shù)”，但此結(jié)論需要證明，但此結(jié)論需要證明【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)nk時(shí)，左邊時(shí)，左邊123k2，當(dāng)當(dāng)nk1時(shí)，左邊時(shí)，左邊123k2(k21)(k22)(k1)2，選，選D.【答案】【答案】D2(2012珠海模擬珠海模擬)在數(shù)列在數(shù)列an，bn中，中，a12，b14，且，且an，bn，an1成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列成等比數(shù)列(nN*)，求，求a2，a3，a4及及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式，并的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論