《《第七節(jié)正弦定理和余弦定理》學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《第七節(jié)正弦定理和余弦定理》學(xué)案（33頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、正弦定理和余弦定理
適用學(xué)科
數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
高三
適用區(qū)域
新課標(biāo)
課時(shí)時(shí)長
60分鐘
知識(shí)點(diǎn)
使用正弦定理要注意的問題解的個(gè)數(shù)問題
已知兩邊和其中一邊的對(duì)角問題已知兩角一邊問題 三角形的面積公式
使用余弦定理要注意的問題已知兩邊與夾角問題 已知三邊問題正、余弦定理的綜合運(yùn)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
1、 正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用；
2、 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；
3、 三角形各種類型的判定方法
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
正、余弦定理的靈活應(yīng)用
2、學(xué)習(xí)過程
復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)
回憶在三角函數(shù)中學(xué)過的公式
A. 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式：
B. 三角函數(shù)的兩角和或差公式:
C. 三角函數(shù)的二倍角公式：
D. 三角函數(shù)的輔助角公式：
知識(shí)講解
考點(diǎn)1正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
1
2?22,?? 222 a = b + C —
2bccos A ;b =
內(nèi)容
a
b c . .
= =2R sin A sin B
a + c 一
sin C
9 9 9
2accos B ;c~ 二 ” + b=
—2abcos C
CD a = 2Rsin A, b =
2R
3、sin B, c = 2Rsin C
,9 9
b~ + c_-
—a-
a
b c
cos A= 2bc
② sin A = 2r, sin B
=2R, sin C 二 2R (其中 R 是
9 c
]2
a + c
—b
變形形式
cos B = 2ac
AABC外接圓半徑）
(3)a : b : c = sin A
:sin B : sin C
2 i 2
a + b
CCQ C
一 c2
—
二 2ab
④ asin B = bsin A,
bsi
4、n C = csin B, asin C = csin
①已知兩角和任一邊，
求另一角和其他兩條邊.
①已知三邊，求各角；
解決三角
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角.
②已知兩邊和它們的夾角，
求第三邊和其他
形的問題
兩個(gè)角
考點(diǎn)2在八ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
4
1/
s
C
/仝
A~ * w
關(guān)系式
a= bs in A
bsin Av av b
&為
a> b
a
5、一解
兩解
一解
一解
無解
例題精析
【例題1】
【題干】在SBC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,
⑴求黠的值；
1
(2)若cos B二4,八ABC的周長為5,求b的長.
b, c,己知
cos _ 2cos 2c a
二：石;s B 二來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
a b c
【解析】⑴由正弦定理，設(shè)snC」文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
G _ sin 2sinC_ sin
則晉二 k —B ——A,文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
b ksin B ksin B s^n B
cos A一2cos C 2sin C 一 sin A
所以 二 d7； = ，文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜
6、索
cos B
sin B
即(cos A一2cos C)s in B 二(2s in C 一 sin A)cos B,
化簡可得 sin(A+ B)二 2sin(B+ C).
又因?yàn)锳+B+ C二n所以sin C二2sin A.因此2.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
sin A
⑵由snA八2得c= 2a.由余弦定理及cos B二寸得文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
1 2 2丄 2 2accos n - 2 丄 la2 _ la2 v A _ a /
b = a + c - B a + X4-4/
A / 9H
所以b二2a.又a+b+ c二5,從而a= 1.因此b= 2.
【例題2】
【
7、題干】在八ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B,
⑴求角A的大小；
⑵若sin B + sin C二Q3,試判斷△ ABC的形狀.
C的對(duì)邊，且2asin A= (2b— c)sin B+ (2c— b)sin C?文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
7 / 9A
【解析】??? 2asi n A= （2b 一 c） s in B+ （2c一 b） si n C,
得 2a2 = （2b 一 ?b+ （
8、2c一 b） c,即卩 bc= b2+ c2一 a2,
? 2, 2 2 ,
b + c — a 1 o
cos A= 二一，A A二60 ?文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
2bc 2
（2）… A+B+ C二 180°
??? B+ C二 180° — 60° 二 120° ?
由sin B+sin C二｛3,得sin B+ sin（120 一 B） = d3,文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索 sin B + sin 120 Cos B 一 cos 120 Sin B 二 V3.
—| sin B +當(dāng)cos B二心，即卩sin（B+ 30° ）二1.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索 又…0° vBv 120° ,
9、 30° vB + 30° v 150° , ??? B+ 30° 二 90° ,即 B= 60° ?
A= B= C = , ???△ ABC 為正三角形.
【例題3】
【題干】 己知a, b, c分別為△ ABC三個(gè)內(nèi)角A, B,
⑴求A;
(2)若a二2/ ABC的面積為V3,求b, c.
C的對(duì)邊，acos C + 73asin C— b— c= 0?文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
/ 9A
10、【解析】（1 ）由acos C+ \f3asin C 一 b一 c二0及止弦定理得 sin Acos C+ Q3si n Asin C 一 sin B 一 sin C = 0.
因?yàn)閚— A— C,所以
曲 sin Asin C 一 cos Asin C 一 sin C 二 0.
由于sin CmO,所以si門卜一 2*文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
n
又 0〈 Av n 故 A= 3.
1
⑵厶ABC的面積S二2bcsin ,故be二4?文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
而 a~= b2+ C 一 2bccos A,故 b~ + c"= 8.
解得b二c二2.
in /
【例題4】
【題干】
11、（2012江?西高考）（本小題滿分12分）在JBC中,
n 1
一csin （4+ B ） za.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
n
(1)求證：B- C = 2；
⑵若曰予（2,求厶ABC的面積.
角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b c已知/Thbsi門（’+Cj
【解析】（1）證明：由 bsin （4+ CJ~csin￡+ Bj= a,應(yīng)用正弦定理，得 sin Bsin￡+ Cj一 sin Csinf一 b］二 sin A, sin
B （爲(wèi)C + ￥cos CJ-sin C^sin B + cos B = ￥, ? （3分）文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
整理得 sin Bcos C 一
12、 cos Bsin C= 1,即 sin （B 一 C） = 1, ? （5 分）
3 n
由 丁- 0
13、2A+ sinBv sin2C,則厶ABC的形狀是（
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A?鈍角三角形
B.直角三角形
C.銳角三角形
D ?不能確定
2.
BC邊上的高等于（
A豎
c. ——2
B. 2
D. ― 4— 文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
id /
在厶 ABC 中，AC 二曲,BC = 2, B = 60° 貝 U )
在厶ABC中，內(nèi)
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3.
角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c,已知8b二5c, C = 2B,則cos C二（
A. 25
B— 2
14、5
C ±25
24
n 2
【鞏固】
4. （2012福建高考）己知△ ABC的三邊長成公比為V2的等比數(shù)列,
貝U其最大角的余弦值為
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?文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
5. 在厶ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB= 2, AC= 1, / BAD= 30°貝U AD的長度為
【拔高】
6. 己知B、C為SBC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為b、
⑴求角A的值；
⑵若a二2 3, b+ c二4,求八ABC的面積.
C,且+ cos a> A= 0.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
7. （2012江蘇高考）在八ABC中，已知AB -AC二3BA BC ?
⑴求證：tan
B= 3tan A；
J5
(2)若 cos
,求A的值.
IQ
△ ABC 中,
課程小結(jié)
(1) 在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在
A>B? a>b? sin A>sin B.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索
(2) 在八ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：
A為銳角
A為鈍角 或直角
圖形
A B
關(guān)系式
a= bsin A
bsin
Ab
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
《第七節(jié)正弦定理和余弦定理》學(xué)案
