《《高等數(shù)學(xué)(一)》復(fù)習(xí)資料-姜作廉(共27頁)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等數(shù)學(xué)(一)》復(fù)習(xí)資料-姜作廉(共27頁)（26頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 課程名稱 高等數(shù)學(xué)（一） 教 材 信 息 名稱 高等數(shù)學(xué) （上冊） 出版社 天津大學(xué)出版社 作者 李君湘 邱忠文 主編 版次 2007年8月第1版 注：如學(xué)員使用其他版本教材，請參考相關(guān)知識點(diǎn) 一、客觀部分：（單項(xiàng)選擇、多項(xiàng)選擇、不定項(xiàng)選擇、判斷） （一）、單項(xiàng)選擇部分 1．函數(shù)為（ ）。 （A）奇函數(shù)； （B）周期函數(shù)； （C）冪函數(shù)； （D）偶函數(shù) ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7 附1.1.1（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)的基本特性： 有界性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果有

2、，使得對，都有，則稱f(x)在D上有界。 如果對，使得 ，則稱 f (x) 在上有上界。 單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對 ，當(dāng)時(shí)，恒有，就稱為單調(diào)遞增函數(shù)。同理，可以定義單調(diào)遞減函數(shù)。我們統(tǒng)稱單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)為單調(diào)函數(shù)。 奇偶性：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，對，如果 ( i) ，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) ，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)． 周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在T≠0， 使得對，總有 則稱 f(x)為D上的周期函數(shù)， T為 f(x)的一個(gè)周期．通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期．習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 計(jì)算過程如下：

3、 答案：（D ）偶函數(shù)。 2．函數(shù)為（ ）。 （A）無窮小量； （B）無窮大量； （C）零函數(shù)； （D）常數(shù)函數(shù) ★考核知識點(diǎn): 無窮小與無窮大，參見P25-27 附1.1.2（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)的絕對值大于任意預(yù)先給定的正數(shù) M ，則我們稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無窮大量，記為。 若，則稱函數(shù)在該極限過程中為無窮小量．簡稱無窮小。 答案：（A）無窮小量。 3．函數(shù)處（ ）。 （A）可導(dǎo)； （B）間斷； （C）可微； （D）連續(xù) ★考核知識點(diǎn): 連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.3（考核知識點(diǎn)解釋及答案】）： 函數(shù)在

4、某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：（B）間斷。 4．若 （ ）。 （A）-1； （B）0； （C）； （D）1 ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附1.1.4（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 下述“基本的求導(dǎo)公式”是各種導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里作為復(fù)習(xí)我們?nèi)拷o出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。 基本的求導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：

5、 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 本題計(jì)算用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，且 （1） ； （2） ； （3） 答案：（C）。 5．若 （ ）。 （A）-2； （B）-1； （C）1； （D）2 ★考核知識點(diǎn): 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.5（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)

6、，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算, 變量代換等方法, 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). 這一法則又稱為鏈?zhǔn)椒▌t. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里, 逐層推進(jìn)求導(dǎo)， 不要遺漏, 也不要重復(fù). 在求導(dǎo)

7、的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù). 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做. 熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 答案：（D）2。 6．函數(shù)為（ ）。 （A）奇函數(shù)； （B）偶函數(shù)； （C）冪函數(shù)； （D）周期函數(shù) ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7 附1.1.6（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 奇偶性：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，對，如果 ( i) ，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) ，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)．

8、周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在T≠0， 使得對，總有 則稱 f(x)為D上的周期函數(shù)， T為 f(x)的一個(gè)周期． 通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期．習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 答案：（B）偶函數(shù)。 7．函數(shù)為（ ）。 （A）零函數(shù)； （B）無窮大量； （C）無窮小量； （D）常數(shù) ★考核知識點(diǎn): 無窮小與無窮大，參見P25-27 附1.1.7（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)的絕對值大于任意預(yù)先給定的正數(shù) M ，則我們稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無窮大量，記為。 若，則稱函數(shù)在該極限過程中為無窮小量．簡稱無窮小。

9、 答案：（C）無窮小量。 8．函數(shù)處（ ）。 （A）間斷； （B）可導(dǎo)； （C）可微； （D）連續(xù) ★考核知識點(diǎn): 連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.8（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：（D）連續(xù)。 9．若 （ ）。 （A）-1； （B）0； （C）1； （D）2 ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附1.1.9（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 初等函數(shù)的求導(dǎo)法則： 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

10、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里, 逐層推進(jìn)求導(dǎo)， 不要遺漏, 也不要重復(fù). 在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù). 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做. 熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把

11、表示中間變量的部分寫出來. 答案：（C）0 。 10．若 （ ）。 （A）-2； （B）-1； （C）1； （D）2 ★考核知識點(diǎn): 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.10（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算, 變量代換等方法, 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 答案：（A）-2。 11．函數(shù)為（ ）。 （A）奇函數(shù)； （B）偶函數(shù)； （C）指數(shù)函數(shù)； （D）周期函數(shù) ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的性質(zhì)

12、，參見P4-7 附1.1.11（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)的奇偶性： 設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，對，如果 ( i) ，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) ，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)． 函數(shù)的周期性： 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在T≠0， 使得對，總有 則稱 f(x)為D上的周期函數(shù)， T為 f(x)的一個(gè)周期． 通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期．習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 答案：（A）奇函數(shù)。 12．函數(shù)為（ ）。 （A）零函數(shù)； （B）無窮大量； （C）無窮小量； （D）常數(shù) ★考核知識點(diǎn): 無窮小與無窮大，參見P

13、25-27 附1.1.12（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)的絕對值大于任意預(yù)先給定的正數(shù) M ，則我們稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無窮大量，記為。 若，則稱函數(shù)在該極限過程中為無窮小量．簡稱無窮小。 答案：（C）無窮小量。 13．函數(shù)在x=0處（ ）。 （A）間斷； （B）可導(dǎo)； （C）可微； （D）連續(xù) ★考核知識點(diǎn): 連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.13（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：（D）連續(xù)。 14．若 （

14、 ）。 （A）2； （B）-2； （C）4； （D）-4 ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附1.1.14（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①為常數(shù)）； ② 但不為零）； ③； ④ ； ⑤； ⑥ ； ⑦； ⑧ 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). 答案：（C）4。 15．若 （ ）。

15、 （A）-2； （B）-1； （C）1； （D）2 ★考核知識點(diǎn): 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.15（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算, 變量代換等方法, 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，且 （1） ； （2） ； （3） 答案：（A）-2。 二、主觀部分： （一）、填空部分 1. 函數(shù)的

16、定義域是_________________. ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.1（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念： 設(shè)是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對應(yīng)規(guī)則，使得對，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，就稱確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為，稱為自變量，為函數(shù)（因變量），為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域． 函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法 計(jì)算過程如下： 答案：。 2. __________. ★考核知識點(diǎn): 洛必達(dá)法則求極限，參見P90-95 附2.1.2（

17、考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 如果函數(shù)和滿足以下三個(gè)條件: (1), ; (2) 和在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且; (3) 存在(或無窮大). 則極限存在(或無窮大),且 這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則.法則中的改為后法則仍成立.。 答案：。 3. 設(shè)函數(shù)_________. ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附2.1.3（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變

18、量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，且 （1） ； （2） ； （3） 答案：。 4. 設(shè) ______________________. ★考核知識點(diǎn): 微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.4（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 微分的定義： 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義, 及在這區(qū)間內(nèi), 如果函數(shù)的增量可表示為 其中A是與無關(guān)的常數(shù), 則稱函數(shù)在點(diǎn)可微, 并且稱

19、為函數(shù)在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量改變量的微分, 記作, 即 函數(shù)可微的條件： 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是： 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 因此，導(dǎo)數(shù)又稱為“微商”. 微分公式 基本初等函數(shù)微分公式 上述“基本的微分公式”是各種微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們給出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，

20、可以反復(fù)查找使用。 答案：。 5. 函數(shù)的極值點(diǎn)為_______. ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)極值的計(jì)算，參見P96-101 附2.1.5（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù); (2)求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3) 利用第一充分條件,根據(jù)的符號在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn), 如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),也可根據(jù)第二充分條件判定; (4) 求出函數(shù)的極值. 計(jì)算過程如下： ,令f ￠(x)=0, 求得駐點(diǎn) 又, 所

21、以 因此在處取得極小值, 極小值為. 因?yàn)? 所以用定理3無法判別. 而在處的左右鄰域內(nèi), 所以在處沒有極值; 同理, 在處也沒有極值. 答案：。 6. 函數(shù)的定義域是____________. ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.6（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念： 設(shè)是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對應(yīng)規(guī)則，使得對，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，就稱確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為，稱為自變量，為函數(shù)（因變量），為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域． 答案：。

22、 7. __________. ★考核知識點(diǎn): 求極限，參見上冊P33-37 附2.1.7（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 兩個(gè)重要極限如下: 。 運(yùn)用第二個(gè)重要極限計(jì)算該題。 答案：。 8. 設(shè)函數(shù)_____________. ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附2.1.8（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變

23、量的導(dǎo)數(shù). 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①為常數(shù)）； ② 但不為零）； ③； ④ ； ⑤； ⑥ ； ⑦； ⑧ 答案：。 9. 設(shè) _____________. ★考核知識點(diǎn): 微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.9（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)， 且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是： 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 答案：。 10. 曲線 的斜漸近線為______

24、___________. ★考核知識點(diǎn): 求漸近線，參見P109-111 附2.1.10（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 的斜漸近線的計(jì)算： 如果 ， ， 則斜漸近線就是直線。 答案：。 11. 函數(shù)的定義域是_______________。 ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.11（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 設(shè)是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對應(yīng)規(guī)則，使得對，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，就稱確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為，稱為自變量，為函數(shù)（因變量），為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域． 函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用

25、數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法 計(jì)算過程如下： 且， 答案：。 12. __________. ★考核知識點(diǎn): 洛必達(dá)法則求極限，參見P90-95 附2.1.12（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 如果函數(shù)和滿足以下三個(gè)條件: (1), ; (2) 和在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且; (3) 存在(或無窮大). 則極限存在(或無窮大),且 這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則.法則中的改為后法則仍成立. 答案：。 13. 設(shè)_____________. ★考核知識點(diǎn): 微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.13（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 函數(shù)在

26、點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是： 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 答案：。 14. 設(shè)_____________. ★考核知識點(diǎn): 極值的確定，參見下冊P98-101 附2.1.14（考核知識點(diǎn)解釋及答案）： 確定極值點(diǎn): (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù); (2)求出的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3) 令。如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),可根據(jù)第二充分條件判定。 答案：。 15. 曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)為___________

27、___. ★考核知識點(diǎn): 求拐點(diǎn)，參見P108-109 附2.1.15（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 如果的二階導(dǎo)數(shù)在的左右兩側(cè)變號，則 就是拐點(diǎn)。 計(jì)算過程如下： 答案：。 （二）、計(jì)算題 1. 求 的導(dǎo)數(shù). ★考核知識點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P56-63 附2.2.1（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自

28、變量的導(dǎo)數(shù). 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里, 逐層推進(jìn)求導(dǎo)， 不要遺漏, 也不要重復(fù). 在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù). 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做. 熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。 基本的求導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式

29、 上述“基本的求導(dǎo)公式”是各種導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們再次給出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。 參考答案： 2. 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識點(diǎn): 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.2（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則把它代回方程中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，且

30、 （1） ； （2） ； （3） 參考答案： 對原方程,兩邊關(guān)于x求導(dǎo),其中y=y(x),有 。 3. 求 的導(dǎo)數(shù). ★考核知識點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P56-63 附2.2.3（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 對數(shù)求導(dǎo)法： 形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù). 我們把這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①為常數(shù)）； ② 但不為零）； ③； ④ ； ⑤； ⑥ ； ⑦；

31、 ⑧ 參考答案： 4. 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識點(diǎn): 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.4（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則把它代回方程中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. 對數(shù)求導(dǎo)法： 形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù). 我們把這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法. 參考答案： 原方程化為,兩邊對

32、x求導(dǎo),其中y=y(x),有 5. 求的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，參見P56-63 附2.2.5（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 而在點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). 參考答案： 6. 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識點(diǎn): 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.6（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】

33、）： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則把它代回方程中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. 參考答案： 7. 求的極值。 ★考核知識點(diǎn): 求極值，參見P96-101 附2.2.7（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù); (2)求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3) 利用第一充分條件,根據(jù)的符號在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn), 如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),也可根據(jù)第二

34、充分條件判定; (4) 求出函數(shù)的極值. 參考答案： 由 得到 為駐點(diǎn)； 又 ，所以 所以在處取得極大值，且極大值為。又在處不可導(dǎo)，在的充分小鄰域內(nèi),當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由極值的第一充分條件知在處取得極小值，且極小值為f（2）=0，所以f（x）在x=1處取得極大值3，在x=2處取得極小值0。 不存在 － ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 8. 設(shè)函數(shù)，其中a>0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。 ★考核知識點(diǎn): 函數(shù)單調(diào)性判定，參見P96-98 附2.2.8（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：

35、函數(shù)單調(diào)性判定定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 （1） 如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加. （2） 如果在內(nèi)，則在上單調(diào)減少. 若將定理的條件換成開區(qū)間或無窮區(qū)間,判定定理的結(jié)論仍然成立. 若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且使的點(diǎn)x僅有有限個(gè)，則 在區(qū)間I上為嚴(yán)格遞增（減）函數(shù)的充要條件為： 對一切有 利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些. 參考答案： ① 當(dāng)a≥1時(shí)，有，此時(shí)f/(x)<0， ∴函數(shù)f(

36、x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 ② 當(dāng)00得， ∴f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。 . 9. 求函數(shù)的最大值和最小值。 ★考核知識點(diǎn): 求函數(shù)的最大最小值，參見P102-105 附2.2.9（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 求函數(shù)的最大最小值的步驟： （1）求函數(shù)的所有駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)； （2）比較和駐點(diǎn)的函數(shù)值以及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值， 取其中的最大值和最小值即可. 參考答案： 10. 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)的類型； 并給出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間. ★考核知識點(diǎn):

37、 函數(shù)的連續(xù)性，參見P40-43 附2.2.10（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 如果, 則y=f(x)在xo處是連續(xù)函數(shù)。 由定義可得出函數(shù)連續(xù)的三個(gè)必要條件（連續(xù)的三要素）： (1) y=f(x)在xo有意義 (2)當(dāng)x→xo時(shí)，極限存在 (3)極限等于f(xo) 函數(shù)的間斷點(diǎn)：三要素中至少一個(gè)不成立的點(diǎn)，稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的類型：左右極限都存在的點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的稱為第二類間斷點(diǎn)。 參考答案： 為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。 11. 試問函數(shù)是否為的等價(jià)無窮小？為什么？ ★考核知識點(diǎn): 無窮小的比較，參見P37-39， 附2.2.

38、11（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 如果 ， 則稱與是等價(jià)的無窮小量。 參考答案： 由于 因而 是的等價(jià)無窮小。 12 求極限 （是正整數(shù)）。 ★考核知識點(diǎn): 洛必達(dá)法則求極限，參見P90-95 附2.2.12（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 如果函數(shù)和滿足以下三個(gè)條件: (1), ; (2) 和在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且; (3) 存在(或無窮大). 則極限存在(或無窮大),且 這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則.法則中的改為后法則仍成立. 如果函數(shù)和滿足以下三個(gè)條件: (1), ; (2) 和在點(diǎn)

39、的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且; (3) 存在(或無窮大). 則極限存在(或無窮大),且 這種求型未定式的極限的方法同上面求型未定式極限一樣都稱為洛必達(dá)法則. 參考答案： 上式為型未定式, 使用洛必達(dá)法則得 . 13 求方程在點(diǎn)處的切線方程. ★考核知識點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，參見P69-71 附2.2.13（考核知識點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）： 以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則把它代回方程中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. 參考答案： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為 橢圓方程的兩邊分別對求導(dǎo)，有 從而 當(dāng)時(shí)，，代入上式 于是所求的切線方程為 即 專心---專注---專業(yè)