《中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點題型攻略 題型五 二次函數(shù)中存在、探究問題課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點題型攻略 題型五 二次函數(shù)中存在、探究問題課件（80頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二部分第二部分 熱點題型攻略熱點題型攻略題型五題型五 二次函數(shù)中存在、探究問題二次函數(shù)中存在、探究問題類型一類型一 特殊三角形的存在、探究問題特殊三角形的存在、探究問題典例精講典例精講例例(13銅仁銅仁)如圖，已知直線如圖，已知直線y=3x-3分別交分別交x軸、軸、y軸于軸于A、B兩點，拋物線兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過經(jīng)過A、B兩點，兩點，點點C是拋物線與是拋物線與x軸的另一個交點軸的另一個交點(與與A點不重合點不重合).(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)求求ABC的面積；的面積；(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使，使ABM為等腰三

2、角形？若不存在，請說明理由；為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點若存在，求出點M的坐標的坐標.例題圖例題圖（1）【）【思路分析思路分析】根據(jù)直線解析式求出點】根據(jù)直線解析式求出點A及及點點B的坐標，然后將點的坐標，然后將點A及點及點B的坐標代入拋物的坐標代入拋物線解析式，可得出線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析的值，求出拋物線解析式式.解解：直線直線y=3x-3分別交分別交x軸、軸、y軸于軸于A、B兩點，兩點，可得可得A（1，0），），B（0，-3），），把把A、B兩點的坐標分別代入兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得：得： 1+b+c=0 b=2 c=-3， c=-3

3、，拋物線解析式為拋物線解析式為y=x2+2x-3；解得：解得：（2）【思路分析思路分析】由（由（1）求得的拋物線解析式，）求得的拋物線解析式，可求得點可求得點C的坐標，繼而求出的坐標，繼而求出AC的長度，代入三的長度，代入三角形面積公式即可計算角形面積公式即可計算.解解：令令y=0得：得：0=x2+2x-3，解得：解得：x1=1，x2=-3，則則C點坐標為：（點坐標為：（-3，0），）， AC=4，故可得故可得SABC = ACOB= 43=6；1212（3）【）【思路分析思路分析】根據(jù)點】根據(jù)點M在拋物線對稱軸上，在拋物線對稱軸上，可設點可設點M的坐標為的坐標為(-1,m)，分三種情況討論：

4、，分三種情況討論：MA=BA,MB=BA，MB=MA，求出，求出m的的值后即可得出答案值后即可得出答案.解解：存在，理由如下：拋物線的對稱軸為：存在，理由如下：拋物線的對稱軸為：x=- -1，假設存在假設存在M（-1，m）滿足題意，分三種情況討論：）滿足題意，分三種情況討論：當當MA=AB時，時， ,解得：解得：m=6，M1（-1，6），），M2（-1，-6）；）；當當MB=BA時，時， ,解得：解得：m=0或或m=-6，M3（-1，0），），M4（-1，-6）(不合題意舍不合題意舍去去);22210m 221310m當當MA=MB時，時， ，解得：解得：m=-1，M5（-1，-1）.答：共存

5、在四個點答：共存在四個點M1（-1，6）、）、M2（-1，-6）、）、M3（-1，0）、）、M5（-1，-1）使）使ABM為等腰三為等腰三角形角形. 2222213mm1.探究等腰三角形的存在、探究問題時，具體方法探究等腰三角形的存在、探究問題時，具體方法如下：如下：（1）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一步；若為探究問題，則直接進行下一步；步；若為探究問題，則直接進行下一步；（2）當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形）當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底，哪條邊是等腰三角形的腰時，要對其進行的底，哪條邊是等腰三角形的腰時，要對其進行分類討論

6、，假設某兩條邊相等，得到三種情況；分類討論，假設某兩條邊相等，得到三種情況；（3）設未知量，求邊長在每種情況下，直接或）設未知量，求邊長在每種情況下，直接或間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐標可以設為（時，該點的坐標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所求；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為（ ，y)），并用所設點坐標表示出假設相等），并用所設點坐標表示出假設相等的兩條邊的長或第三邊的長；的兩條邊的長或第三邊的長；（4）計算求解根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利用勾）計算求解根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利

7、用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關系式，根據(jù)股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關系式，根據(jù)等量關系求解即可等量關系求解即可.2ba 探究等邊三角形的存在、探究問題時，可以先求探究等邊三角形的存在、探究問題時，可以先求出該三角形為等腰三角形時的情況，然后求腰和出該三角形為等腰三角形時的情況，然后求腰和底相等時的情況即可底相等時的情況即可.二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題等腰三角形問題等腰三角形問題二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題直角三角形問題直角三角形問題2.探究直角三角形的存在、探究問題時探究直角三角形的存在、探究問題時,具體方法具體方法如下：如下：（1）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一）若為存在

8、問題，則先假設存在，再進行下一步；若為探究問題，則直接進行下一步；步；若為探究問題，則直接進行下一步；（2）當所給的條件不能確定直角頂點時，分情況）當所給的條件不能確定直角頂點時，分情況討論，分別令三角形的某個角為討論，分別令三角形的某個角為90；（3）設未知量，求邊長，在每種情況下，直接或）設未知量，求邊長，在每種情況下，直接或間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐標可以設為（時，該點的坐標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所求；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為（ ，y)），利用所設點的

9、坐標分別表示出三邊），利用所設點的坐標分別表示出三邊的長，用勾股定理進行驗證并求解的長，用勾股定理進行驗證并求解.2ba 類型二類型二 特殊四邊形的存在、探究問題特殊四邊形的存在、探究問題典例精講典例精講例例1(14濟寧濟寧)如圖，拋物線如圖，拋物線y= x2+bx+c與與x軸交軸交于于A（5,0）、）、B（-1,0）兩點，過點）兩點，過點A作直線作直線ACx軸，交直線軸，交直線y=2x于點于點C；（1）求該拋物線的解析式；）求該拋物線的解析式；（2）求點）求點A關于直線關于直線y=2x的對稱點的對稱點A的坐標，判的坐標，判定點定點A是否在拋物線上，并說明理由；是否在拋物線上，并說明理由；14

10、（3）點）點P是拋物線上一動點，過點是拋物線上一動點，過點P作作y軸的平行軸的平行線，交線段線，交線段CA于點于點M，是否存在這樣的點，是否存在這樣的點P，使，使四邊形四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點是平行四邊形？若存在，求出點P的的坐標；若不存在，請說明理由坐標；若不存在，請說明理由.例例1題圖題圖（1）【思路分析思路分析】將將A、B兩點坐標代入拋物線兩點坐標代入拋物線解析式中得到方程組，然后求解方程組即可解析式中得到方程組，然后求解方程組即可.解解：y= x2+bx+c與與x軸交于軸交于A（5,0）、）、B（-1,0）兩點，）兩點， 0= 52+5b+c b=-1 0= -b+c

11、, c=- ，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y x2-x- ； 145414141454解得解得(2) 【思路分析思路分析】求點求點A的坐標，需過點的坐標，需過點A作作AEx軸于點軸于點E，再求，再求AE和和OE的長，可以通過的長，可以通過AEA和和OAC相似，求出相似，求出AE和和AE，得出點，得出點A的坐標的坐標.例例1題解圖題解圖PMDE解解：過點：過點A作作AEx軸于點軸于點E，AA與與OC交于點交于點D，點點C在直線在直線y=2x上，上，點點C（5，10），），點點A和和A關于直線關于直線y=2x對稱，對稱，OCAA，ADAD.OA=5,AC=10,OC= .SOAC= OCAD

12、OAAC，AD=2 , AA4 ，22225105 5OAAC551212在在RtAEA和和RtOAC中，中，AAE+AAC=90，ACO+AAC90,AAE=ACO.又又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC, ,即即 ,AE=4,AE=8,OE=AEOA=8-5=3,點點A的坐標為（的坐標為（-3,4）,當當x=-3時，時，y (-3)2+3- =4,點點A在該拋物線上在該拋物線上;A EAEA AOAACOC4 55105 5A EAE1454(3) 【思路分析思路分析】點點M在線段在線段CA上，設出直線上，設出直線CA的解析式，代入點的解析式，代入點A、點、點C坐標可得解析式，點坐

13、標可得解析式，點P在拋物線上可設點在拋物線上可設點P（x， x2-x- ），則），則M（x， x+ ），點），點M在點在點P上方，可求上方，可求MP，再由，再由MPAC求出合適的求出合適的x的值，則可得的值，則可得P點坐標點坐標.145434254解解：存在：存在.理由：設直線理由：設直線CA的解析式為的解析式為y=kx+b,代代入點入點A(-3,4)和和C(5，10)， 則則 -3k+b=4 k= 5k+b=10, b= ，直線直線CA的解析式為的解析式為y= x+ .設點設點P的坐標為的坐標為(x, x2-x- )，則點則點M為為(x, x+ ).PMAC，要使四邊形要使四邊形PACM是平

14、行四邊形是平行四邊形,只需只需PM=AC.解得解得3425434254145434254又又點點M在點在點P的上方，的上方，（ x+ ）-( x2-x- )10.解得解得x1=2，x25（不合題意（不合題意,舍去），舍去），把把x=2代入拋物線解析式得，代入拋物線解析式得，y- - ，當點當點P運動到（運動到（2，- ）時，四邊形）時，四邊形PACM是平是平行四邊形行四邊形.1454342549494平行四邊形的存在、探究問題，平行四邊形的存在、探究問題，具體方法如下：具體方法如下：（1）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一步；若為探究問題，則直接進行

15、下一步；步；若為探究問題，則直接進行下一步；（2）設出點坐標，求邊長直接或間接設出所求）設出點坐標，求邊長直接或間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐標可以設為（標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所求的點在對稱；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為（軸上時，該點的坐標可以設為（- - ，y)，若所，若所求的點在已知直線求的點在已知直線y=kx+b上時，該點的坐標可以上時，該點的坐標可以設為（設為（x，kx+b)，并用所設點坐標表示出平行四，并用所設點坐標表示出平行四邊形某兩條邊的長（常利用相似三角形性質(zhì)或勾邊形某兩條邊的長（常

16、利用相似三角形性質(zhì)或勾股定理求解）；股定理求解）；2ba（3）建立關系式，并計算；若四邊形的四點位置）建立關系式，并計算；若四邊形的四點位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的邊的性質(zhì)進行計已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的邊的性質(zhì)進行計算；若四邊形四點位置不確定，需分情況討論：算；若四邊形四點位置不確定，需分情況討論： 當已知邊為平行四邊形的某條邊時，畫出所有當已知邊為平行四邊形的某條邊時，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對邊相等的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對邊相等進行計算；當已知邊為平行邊形的對角線時，進行計算；當已知邊為平行邊形的對角線時，畫出所有符合條件的圖形后，利用平行四邊形對畫出

17、所有符合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)進行計算角線互相平分的性質(zhì)進行計算.二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題平平行四邊形問題行四邊形問題例例2（13郴州郴州）如圖，在四邊形）如圖，在四邊形AOCB中，中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以以O為原點，為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標所在直線為軸建立坐標系拋物線頂點為系拋物線頂點為A，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點C點點P在線段在線段AO上由上由A向點向點O運動，點運動，點Q在線段在線段OC上由上由C向點向點O運運動，動，QDOC交交BC于點于點D，OD所在直線與拋物線所在直線與拋物線在第一象限交于點在第一象限交于點E

18、.（1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2）點）點E是是E關于關于y軸的對稱點，點軸的對稱點，點Q運動到何處運動到何處時，四邊形時，四邊形OEAE是菱形？是菱形？（3）點）點P、Q分別以每秒分別以每秒2個單位和個單位和3個單位的速個單位的速度同時出發(fā)，運動的時間為度同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當秒，當t為何值時，為何值時，PBOD？例例2題圖題圖（1）【思路分析思路分析】根據(jù)頂點式將根據(jù)頂點式將A、C代入解析代入解析式求出式求出a的值，進而得出二次函數(shù)解析式；的值，進而得出二次函數(shù)解析式；解解：A(0,2)為拋物線的頂點，為拋物線的頂點，設設y=ax2+2,點點C（3,0）在拋物線上，

19、）在拋物線上，9a+2=0,解得：解得：a=- - ,拋物線的解析式為拋物線的解析式為:y=- - x2+2;2929（2）【思路分析思路分析】利用菱形的性質(zhì)得出利用菱形的性質(zhì)得出AO與與EE互相垂直平分，利用互相垂直平分，利用E點縱坐標得出點縱坐標得出x的值，的值，進而得出進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案；點坐標，即可得出答案；解解：如果四邊形：如果四邊形OEAE是菱形，則是菱形，則AO與與EE互相互相垂直平分，垂直平分，EE經(jīng)過經(jīng)過AO的中點，的中點，點點E縱坐標為縱坐標為1,代入拋物線解析式得：代入拋

20、物線解析式得： 1=- x2+2,解得：解得：x= ,點點E在第一象限，在第一象限，點點E為（為（ ，1），），32229322設直線設直線BC的解析式為的解析式為y=kx+b，把，把B（1，2），），C（3，0），代入得：），代入得： k+b=2 k=-1 3k+b=0, b=3,BC的解析式為的解析式為:y=-x+3,設設OE解析式為解析式為y=nx,將將E點代入點代入y=nx,可得出可得出EO的的解析式為解析式為y= x,由由 y= x x= y=-x+3, y= ,解得：解得：2323279 27 9 267 得：得：Q點坐標為：（點坐標為：（ ，0），），當當Q點坐標為（點坐標為（

21、,0），四邊形），四邊形OEAE是菱是菱形；形；279 27 279 27 例例2題解圖題解圖H（3）【思路分析思路分析】首先得出首先得出APBQDO，進，進而得出而得出APDQ=ABQO，求出，求出m的值，進而得出答的值，進而得出答案案解解：設：設t為為m秒時，秒時，PBDO，又，又QDy軸，軸，則有則有APB=AOEODQ，又又點點D在直線在直線y=-x+3上，上，OQ=3-3m,DQ3m,因此：因此： ， 解得：解得：m= ,經(jīng)檢驗：經(jīng)檢驗：m= 是原分式方程的解，是原分式方程的解，當當t= 秒時，秒時，PBOD.12333mmm 121212【解法提示解法提示】作作BHOC于于H，則則

22、BH=AO=2，OH=AB1，HC=OC-OH=2,BH=HC,BCH=CBH45，易知易知DQ=CQ，設設t為為m秒時秒時PBOE，則，則ABPQOD,APDQ=ABQO，易證，易證AP=2m,DQCQ3m,QO=3-3m, ,解得解得m= ,經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗m= 是方程的解，是方程的解，當當t為為 秒時，秒時，PBOD.21333mmm 121212對于特殊四邊形的存在、探究問題，也會以探究對于特殊四邊形的存在、探究問題，也會以探究菱形、矩形、正方形來設題，菱形、矩形、正方形來設題，解題方法如下：解題方法如下：（1）若為存在問題，則先假設存在，再進行下）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一步

23、；若為探究問題，則直接進行下一步；一步；若為探究問題，則直接進行下一步；（2）設出點坐標，求邊長（同上面例）設出點坐標，求邊長（同上面例1的方法）的方法）（3）若四邊形的四點位置已經(jīng)確定，則直接利）若四邊形的四點位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的邊的性質(zhì)進行計算；若四邊形的點位用四邊形的邊的性質(zhì)進行計算；若四邊形的點位置不確定，需分情況討論：置不確定，需分情況討論：探究菱形的存在、探究問題時分兩類：探究菱形的存在、探究問題時分兩類：已知三已知三個定點去求未知點坐標；已知兩個定點去求未個定點去求未知點坐標；已知兩個定點去求未知點坐標知點坐標.一般會用到菱形的對角線互相垂直平分、一般會用到菱形的對角

24、線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關系式；四邊相等等性質(zhì)列關系式；探究矩形：探究矩形：利用矩形對邊相等、對角線相等列等利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理量關系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關系式求解列關系式求解.探究正方形：探究正方形：利用正方形對角線互相平分且相等利用正方形對角線互相平分且相等的性質(zhì)進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的性質(zhì)進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解的長度，令其相等，得到方程再求解二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題菱形問題菱形問題二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題矩形問題矩形問題二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)

25、壓軸題正方形問題正方形問題類型三類型三 三角形相似的存在、探究問題三角形相似的存在、探究問題典例精講典例精講例例（12常德常德）如圖，已知二次函數(shù)）如圖，已知二次函數(shù)y (x+2)(ax+b)的圖象過點的圖象過點A（-4，3），），B（4，4）（1）求二次函數(shù)的解析式）求二次函數(shù)的解析式;（2）求證：）求證：ACB是直角三角形；是直角三角形；148（3）若點）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點過點P作作PH垂直垂直x軸于點軸于點H，是否存在以，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出相似？若存在，求出點點P的坐標；

26、若不存在，請說明理由的坐標；若不存在，請說明理由.例題圖例題圖（1）【思路分析思路分析】將點將點A及點及點B的坐標代入函數(shù)的坐標代入函數(shù)解析式，得出解析式，得出a、b的值，繼而可得出函數(shù)解析式的值，繼而可得出函數(shù)解析式.解解：由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點：由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點A（-4,3）,B(4,4), 3= (-4+2)(-4a+b) 4= (4+2)(4a+b), a=13 b=- -20,故二次函數(shù)關系式為故二次函數(shù)關系式為:y= (x+2)(13x-20);148148148故可得：故可得：解得：解得：（2）【思路分析思路分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點點C的

27、坐標，然后分別求出的坐標，然后分別求出AC、AB、BC的長度，的長度，利用勾股定理的逆定理證明即可；利用勾股定理的逆定理證明即可；證明證明：由（：由（1）所求函數(shù)關系式可得點）所求函數(shù)關系式可得點C坐標為坐標為（-2，0），點），點D坐標為坐標為( ,0),又又點點A（-4,3）,B(4,4),AB= ,AC= ,BC= , AB2=AC2+BC2,ACB是直角三角形；是直角三角形；2013 22444365 2224313 22424052（3）【思路分析思路分析】分兩種情況進行討論：分兩種情況進行討論：DHPBCA，PHDBCA，然后分，然后分別利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)求出點別利用

28、相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)求出點P的的坐標坐標.解：存在點解：存在點P的坐標，點的坐標，點P的坐標為的坐標為（- ， ）或（）或（- ， ）.設點設點P坐標為坐標為(x, (x+2)(13x-20),則則PH （x+2）(13x-20), HD=-x+ ,5013351312213284132013148148若若DHPBCA,則則 ，即即 ，解得：解得：x=- 或或x= (因為點因為點P在第二象限，故舍在第二象限，故舍去去)，代入可得，代入可得PH ，即即P1(- ， )； 1202132048131352xxx PHDHACBC 50132013351350133513若若PHDBCA,

29、則則 ，即即 ，解得解得x=- 或或x= (舍去舍去)，代入可得代入可得PH= ，即，即P2坐標為：（坐標為：（- ， ）.綜上所述，滿足條件的點綜上所述，滿足條件的點P有兩個，有兩個，即即P1（- ， ）、）、P2(- ， ）.PHDHBCAC 1202132048135213xxx 2013122132841312213284135013351312213284131221328413三角形相似的存在、探究問題三角形相似的存在、探究問題，具體方法如下：具體方法如下：（1）探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩）探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證個三

30、角形的對應角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個三角形相似的題目），或者涉及到動點問明兩個三角形相似的題目），或者涉及到動點問題，因動點問題中點位置的不確定，此時應考慮題，因動點問題中點位置的不確定，此時應考慮不同的對應關系，分情況討論；不同的對應關系，分情況討論；（2）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的標準，看兩個相似三角形是否有對應相等的角，標準，看兩個相似三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角進行若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有

31、，則分別按三種角對應分類討論；則分別按三種角對應分類討論；（3）建立關系式，并計算由相似三角形列出相）建立關系式，并計算由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來（其長度多借助勾股定理運算），整理表示出來（其長度多借助勾股定理運算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標.類型四類型四 面積關系的存在、探究問題面積關系的存在、探究問題典例精講典例精講例例（14永州永州）如圖，拋物線）如圖，拋物線y=

32、ax2+bx+c（a0）與與x軸交于軸交于A（-1，0），），B（4，0）兩點，與）兩點，與y軸軸交于點交于點C（0，2），點），點M（m，n）是拋物線上一）是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上，動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上，過點過點M作作x軸的平行線交軸的平行線交y軸于點軸于點Q，交拋物線于，交拋物線于另一點另一點E，直線，直線BM交交y軸于點軸于點F（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；（2）當）當SMFQ SMEB=1 3時，求點時，求點M的坐標的坐標.例題圖例題圖（1）【思路分析思路分析】把點把點A、B、C的坐標代入

33、拋的坐標代入拋物線解析式得到關于物線解析式得到關于a、b、c的三元一次方程組，的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點式形然后求解即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；式，然后寫出頂點坐標；解：解：拋物線拋物線y=ax2+bx+c(a0)過點過點A（-1，0），），B（4，0），），C（0，2），）， a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2， a=- b= ， y=- x2+ x+2， c=2，y=- x2+ x+2=- (x- )2+ ，頂點坐標為（頂點坐標為（ ， ）.解得解得123212321232123225832258例題解圖例題解圖（2） 【

34、思路分析思路分析】根據(jù)點根據(jù)點M的坐標表示出點的坐標表示出點Q、E的坐標，再設直線的坐標，再設直線BM的解析式為的解析式為y=kx+b（k0），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再求出點式，再求出點F的坐標，然后求出的坐標，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出再表示出MFQ和和MEB的面積，然后列出方程的面積，然后列出方程并根據(jù)并根據(jù)m的取值范圍整理并求解得到的取值范圍整理并求解得到m的值，再根的值，再根據(jù)點據(jù)點M在拋物線上求出在拋物線上求出n的值，然后寫出點的值，然后寫出點M的坐的坐標即可標即可.解解：M（m，n），且），且M、E關于拋物線的對稱關于拋

35、物線的對稱軸軸x= 對稱，對稱，Q（0，n），），E（3-m，n），設直線），設直線BM的解析的解析式為式為y=kx+b（k0），），把把B（4，0），），M（m，n）代入得）代入得 4k+b=0 k= mk+b=n， b= ，y= x+ ，令，令x=0，則，則y= ，點點F的坐標為（的坐標為（0， ），），41322 解得解得4nm 44nm 4nm 44nm 44nm 44nm MQ=|m|，F(xiàn)Q=| |=| |，ME=|3-m-m|=|3-2m|，SMFQ= MQFQ= |m| |= | |，SMEB= ME|n|= |3-2m|n|，SMFQ SMEB=1 3， | |3 |3-2m|

36、n|，即即| |=|3-2m|，44nnm 4mnm 24m nm 4mnm 1212121212121224m nm 234mm 點點M（m，n）在對稱軸左側，）在對稱軸左側，m ， =3-2m，整理得整理得m2+11m12=0，解得，解得m1=1，m2=-12,當當m1=1時，時，n1=- 12 + 1+2=3，當當m2=-12時，時，n2 =- (-12)2+ (-12)+2=-88，點點M的坐標為（的坐標為（1，3）或（）或（-12，-88）.234mm 1212323232圖形面積數(shù)量關系的存在、探究問題圖形面積數(shù)量關系的存在、探究問題,解題方法如解題方法如下：下：（1）若為存在問題

37、，則先假設存在，再進行下）若為存在問題，則先假設存在，再進行下一步；若為探究問題，則直接進行下一步；一步；若為探究問題，則直接進行下一步；（2）設出點坐標，求邊長根據(jù)題意，直接或）設出點坐標，求邊長根據(jù)題意，直接或間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐標可以設為（時，該點的坐標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為（- ，y)，若所求的點在已知直線，若所求的點在已知直線y=kx+b上時，上時，該點的坐標可以設為（該點的坐標可以設為（x，kx+b)，并用所設

38、點坐，并用所設點坐標表示出平行四邊形某兩條邊的長（常利用相似標表示出平行四邊形某兩條邊的長（常利用相似三角形性質(zhì)或勾股定理求解）；三角形性質(zhì)或勾股定理求解）；2ba（3）列等量關系求解）列等量關系求解.觀察所求的兩個圖形的面觀察所求的兩個圖形的面積能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾積能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾何圖形面積公式分別求出面積；若所求的兩個圖何圖形面積公式分別求出面積；若所求的兩個圖形的面積不能直接利用面積公式求出時，可將所形的面積不能直接利用面積公式求出時，可將所求圖形分割成幾個可直接利用面積公式計算的圖求圖形分割成幾個可直接利用面積公式計算的圖形，分別計算出每個

39、圖形的面積，再進行和差計形，分別計算出每個圖形的面積，再進行和差計算求解；根據(jù)題干中所給關系式，建立方程，求算求解；根據(jù)題干中所給關系式，建立方程，求出點坐標即可出點坐標即可.（4）根據(jù)所求點的不確定性和函數(shù)圖象的性質(zhì)，）根據(jù)所求點的不確定性和函數(shù)圖象的性質(zhì)，對（對（3）中求出的結果分情況討論，當點在）中求出的結果分情況討論，當點在x軸左軸左邊和邊和y軸下方時，軸下方時，x，y分別取負值求解；當點在分別取負值求解；當點在x軸右邊和軸右邊和y軸上方時，軸上方時，x、y分別取正值求解分別取正值求解.二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題三三角形面積問題角形面積問題類型五類型五 最值的存在、探究問題最值的存在

40、、探究問題典例精講典例精講例例（14郴州郴州）已知拋物線）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過經(jīng)過A（-1，0）、）、B（2，0）、）、C（0，2）三點）三點.（1）求這條拋物線的解析式；）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，點）如圖，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當點動點，當點P運動到什么位置時，四邊形運動到什么位置時，四邊形ABPC的面的面積最大？求出此時點積最大？求出此時點P的坐標；的坐標；（3）如圖，設線段）如圖，設線段AC的垂直平分線交的垂直平分線交x軸于點軸于點E，垂足為，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在

41、一點上是否存在一點G，使，使CMG的周長最??？若的周長最小？若存在，請求出點存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理的坐標；若不存在，請說明理由由例題圖例題圖（1）【思路分析思路分析】利用待定系數(shù)法即可求得；利用待定系數(shù)法即可求得；解解： 0=a-b+c 0=4a+2b+c, 2=c解得解得a=-1,b=1,c=2,拋物線解析式為：拋物線解析式為：y=-x2+x+2；由題意得由題意得（2）【思路分析思路分析】如解圖，四邊形如解圖，四邊形ABPC由由ACO和和PCO及及PBO組成，組成，ACO面積固定，面積固定，則只需要使得則只需要使得PCO與與PBO的面積和最大即的面積和最大即可求出可求出P

42、CO與與PBO面積的表達式，然后利面積的表達式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值；用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值；解解：設：設P(x,-x2+x+2),四邊形四邊形ABPC的面積是的面積是S，如，如解圖，過解圖，過P作作PMx軸于點軸于點M，過，過P作作PDx軸于軸于點點D，連接，連接PO，由題意得，由題意得S=SACO+SPCO+SPBO,又又SACO= AOCO=1,SPCO COPD=x,SPBO= PMOB=-x2+x+2,S=1+x-x2+x+2=-x2+2x+3.121212S開口向下，開口向下，x=1時，時，y=-x2+2x+3=-1+2+3=4,S最大值為最大值為4，故故P運動到點運動到點

43、(1，2)時，四邊形時，四邊形ABPC的面積最大的面積最大;例題解圖例題解圖MD（3）【思路分析思路分析】如解圖，如解圖，DE為線段為線段AC的垂的垂直平分線，則點直平分線，則點A、C關于直線關于直線DE對稱連接對稱連接AM，與與DE交于點交于點G，此時，此時CMG的周長的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點最小，故點G為所求分為所求分別求出直線別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點的解析式，聯(lián)立后求出點G的坐標的坐標.例題解圖例題解圖解：存在解：存在.y=-x2+x+2,M( , ),設線段設線段AM的表達式為的表達式為y=kx+b，由題意得，由題意得 k+b 0=-k+b,解得

44、解得k= ，b= ,即即y= x+ ,C與與A關于直線關于直線 DE對稱，對稱，設設AM與與DE交于交于G，CM+CG+MG的長最小的長最小.3294129412323232過過G作作GFAB于點于點F，過，過M作作MPx軸于軸于P，設，設G的橫坐標為的橫坐標為a,代入代入y= x+ 得得G的縱坐標為的縱坐標為 a+ ,由由A(-1,0)，C(0,2)可得可得AC的斜率為的斜率為2.DEAC，則，則DE的斜率為的斜率為- ,故可設故可設DE方程為方程為y=- x+m,D為為AC中點，中點，D坐標為（坐標為（- ,1）,32323232121212將其代入將其代入y=- x+m得：得：m= .故

45、故DE方程為方程為y=- x+ .將將G（a, a+ ）代入上式得：）代入上式得： a+ =- a+ ,解得解得a=- ,故故G（- , ）.12321212323232343438151638341.面積最值的存在、探究問題面積最值的存在、探究問題，具體方法如下：，具體方法如下：（1）設出點坐標，求邊長根據(jù)題意，直接或間）設出點坐標，求邊長根據(jù)題意，直接或間接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，接設出所求點的坐標（若所求的點在拋物線上時，該點的坐標可以設為（該點的坐標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所求的；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為

46、（- ，y);若所求的點在已知直線若所求的點在已知直線y=kx+b上時，上時，該點的坐標可以設為（該點的坐標可以設為（x，kx+b)，并用所設點坐，并用所設點坐標表示出平行四邊形某兩條邊的長（常利用相似標表示出平行四邊形某兩條邊的長（常利用相似三角形性質(zhì)或勾股定理求解）；三角形性質(zhì)或勾股定理求解）；2ba（2）建立關系式，并計算）建立關系式，并計算.觀察所求圖形的面積觀察所求圖形的面積能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾何能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾何圖形面積公式得到點坐標或線段長關于面積的二圖形面積公式得到點坐標或線段長關于面積的二次函數(shù)關系式；若所求圖形的面積不能直接利用次

47、函數(shù)關系式；若所求圖形的面積不能直接利用面積公式求出時，則需要根據(jù)題意構造相似或全面積公式求出時，則需要根據(jù)題意構造相似或全等三角形，得到對應線段比或進行線段等量代換等三角形，得到對應線段比或進行線段等量代換得到所求面積關系式；另外，若所求圖形可分割得到所求面積關系式；另外，若所求圖形可分割成幾個可直接利用面積公式計算的圖形，可以分成幾個可直接利用面積公式計算的圖形，可以分別計算出每個圖形的面積，再進行和差計算求解；別計算出每個圖形的面積，再進行和差計算求解；（3）結合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積?。┙Y合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積取最大值時的點坐標或?qū)瘮?shù)自變量的取值范圍最大值時的點坐

48、標或?qū)瘮?shù)自變量的取值范圍. 2.周長、線段和最值得存在、探究問題周長、線段和最值得存在、探究問題： 此類問題可歸結為利用軸對稱的性質(zhì)求最小此類問題可歸結為利用軸對稱的性質(zhì)求最小值一般是要尋找一個動點值一般是要尋找一個動點P，使其到兩個定點，使其到兩個定點A、B的距離即的距離即PA+PB（或周長）的最小值具體方（或周長）的最小值具體方法如下：法如下：（1）找點）找點A(B)關于動點所在直線的對稱點關于動點所在直線的對稱點A(B)，連接點連接點A(B)與與B(A)，AB(BA)與直線的交點即為與直線的交點即為所要求的動點所要求的動點P，此時的線段，此時的線段AB(BA)就是就是PA+PB（或周長）的最小值；（或周長）的最小值；（2）設出動點）設出動點P的點坐標（一般是根據(jù)動點所在的點坐標（一般是根據(jù)動點所在的直線表達式去設）；的直線表達式去設）；（3）通過題目中的函數(shù)和圖形關系，求出）通過題目中的函數(shù)和圖形關系，求出AB(BA)或動點或動點P的坐標的坐標.二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題線段線段和的最小值問題（二）和的最小值問題（二）