《高考數(shù)學一輪復習總教案31 導數(shù)的應用一》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習總教案31 導數(shù)的應用一（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1導數(shù)的應用(一) 典例精析 題型一　求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間 【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【解析】函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定義域是(1，＋∞). f′(x)＝2x－a－＝， ①若a≤0，則≤1，f′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0時，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞). ②若a＞0，則＞1， 故當x∈(1，]時，f′(x)＝≤0； 當x∈[，＋∞)時，f′(x)＝≥0， 所以a＞0時，f(x)的減區(qū)間為(1，]，f(x)的增區(qū)間為[，＋∞). 【點撥】在定義域x＞1下，為

2、了判定f′(x)符號，必須討論實數(shù)與0及1的大小，分類討論是解本題的關鍵. 【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍. 【解析】因為f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)， 所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立， 即a≤2x＋恒成立. 又2x＋≥2(當且僅當x＝時，取等號). 所以a≤2， 故a的取值范圍為(－∞，2]. 【點撥】當f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)時?f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同樣，當函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)時?f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成

3、立的條件來求參數(shù)的取值范圍了. 題型二　求函數(shù)的極值 【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1. (1)試求常數(shù)a，b，c的值； (2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點還是極大值點，并說明理由. 【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 因為x＝±1是函數(shù)f(x)的極值點， 所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根. 由根與系數(shù)的關系，得 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)得f(x)＝x3－x， 所以當f′(x)＝x2－＞0時，有

4、x＜－1或x＞1； 當f′(x)＝x2－＜0時，有－1＜x＜1. 所以函數(shù)f(x)＝x3－x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,1)上是減函數(shù). 所以當x＝－1時，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1；當x＝1時，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1. 【點撥】求函數(shù)的極值應先求導數(shù).對于多項式函數(shù)f(x)來講， f(x)在點x＝x0處取極值的必要條件是f′(x)＝0.但是， 當x0滿足f′(x0)＝0時， f(x)在點x＝x0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側f(x)的導數(shù)異號時，x0才是f(x)的極值點.并且如果f′(x)在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(

5、x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值. 【變式訓練2】定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，則有(　　) A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)＞f(x2) C.f(x1)＝f(x2)D.不確定 【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋)]＝f(x＋)，即f(－x)＝f(x＋)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于x＝對稱.又因為(x－)f′(x)＜0，所以當x＞時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x＜時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當＝時，f(x1)＝f

6、(x2)，因為x1＋x2＞3，所以＞，相當于x1，x2的中點向右偏離對稱軸，所以f(x1)＞f(x2).故選B. 題型三　求函數(shù)的最值 【例3】 求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值. 【解析】f′(x)＝－x，令－x＝0，化簡為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去. 又由f′(x)＝－x＞0，且x∈[0,2]，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－為函數(shù)f(x)的極大值.又因為f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，

7、f(0)＝0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值. 【點撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a，b]上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值. 【變式訓練3】(2019江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝　　　. 【解析】若x＝0，則無論a為何值，f(x)≥0恒成立. 當x∈(0,1]時，f(x)≥0可以化為a≥－， 設g(x)＝－，則g′(x)＝，

8、 x∈(0，)時，g′(x)＞0，x∈(，1]時，g′(x)＜0. 因此g(x)max＝g()＝4，所以a≥4. 當x∈[－1,0)時，f(x)≥0可以化為 a≤－，此時g′(x)＝＞0， g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4. 綜上可知，a＝4. 總結提高 1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域D； (2)求導數(shù)f′(x)； (3)根據(jù)f′(x)＞0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f′(x)＜0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 2.求函數(shù)極值的步驟是： (1)求導數(shù)f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號，確定f(x)在這個根處取極大值還是取極小值. 3.求函數(shù)最值的步驟是： 先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值. 內(nèi)容總結