《《高等數(shù)學(xué)一》復(fù)習(xí)姜作廉》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等數(shù)學(xué)一》復(fù)習(xí)姜作廉（23頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、課程名稱 高等數(shù)學(xué)(一) 教材信息 名稱 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)) 出版社 天津大學(xué)出版社 作者 李君湘邱忠文主編 版次 2007年8月第1版 注：如學(xué)員使用其他版本教材，請(qǐng)參考相關(guān)知識(shí)點(diǎn) 一、客觀部分：(單項(xiàng)選擇、多項(xiàng)選擇、不定項(xiàng)選擇、判斷) (一)、單項(xiàng)選擇部分 11 1 .函數(shù)f(x)(二L)x('L)x為()。 2 .32、3 (A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)幕函數(shù)；(D)偶函數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7 附1.1.1(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)的基本特性： 有界性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果有M0,使得對(duì)xD,都有 f(

2、x)M,則稱f(x)在D上有界。 如果對(duì)xD,使得f(x)M,則稱f(x)在D上有上界。 單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)x1,x2D,當(dāng)》x2時(shí)，包有 f(x“f(x2),就稱f(x)在D上為單調(diào)遞增函數(shù)。同理，可以定義單調(diào)遞減函數(shù)。 我們統(tǒng)稱單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)為單調(diào)函數(shù)。 奇偶性：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈,又txD,如果 (i) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù). 周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在Tw0,使得對(duì)xD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個(gè)周期.通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周

3、期.習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 f(-x)(—1T-x(—1T-x= 2.32.3 計(jì)算過程如下：=(23)-x(23戶= (2..3)(2.3)(23)(23) 二(—1—)x(―1—)x=f(x) 2.32、3 答案：(D)偶函數(shù)。 2.函數(shù)f(x)ln(1sinx)(x0)為()。 (A)無窮小量；(B)無窮大量；(C)零函數(shù)；(D)常數(shù)函數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：無窮小與無窮大，參見P25-27 附1.1.2(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 當(dāng)xx0時(shí)，如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)M則我們稱 函數(shù)f(x)為當(dāng)xx0時(shí)的無窮大量，記為limf

4、(x)。 xxo 若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡(jiǎn)稱無窮小。xx0 答案：(A)無窮小量。 3.函數(shù)y處在點(diǎn)x0處()。 x (A)可導(dǎo)；(B)間斷；(C)可微；(D)連續(xù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.3(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案】)： 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函 數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：(B)間斷。 4,若f(x)ln(2sinx),則f(0)()。 1 (A)-1;(B)0;(C)」；(D)1 2 ★考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61

5、-63 附1.1.4(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 下述“基本的求導(dǎo)公式”是各種導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。 在這里作為復(fù)習(xí)我們?nèi)拷o出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用?；镜那髮?dǎo)公式 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或變曳曳 dxdudx 本題計(jì)算用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、 商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且 '''

6、 (1) u(x)v(x)u(x)v(x); (2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);('' (3) 妝u(x)v(x)2u(x)v(x)(v(x)0) v(x)v(x) 「一1 答案：(C)-o 2 5.若f(x)xex,則f(0)()。 (A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2 ★考核知識(shí)點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.5(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)(間接法)

7、. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或曳曳四dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).這一法則又稱為鏈?zhǔn)椒▌t. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里，逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏，也不要重復(fù).在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù).在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變

8、量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 答案：(D)2。 6.函數(shù)f(x)lg1x為()。 1cosx (A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)幕函數(shù)；(D)周期函數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7 附1.1.6(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 奇偶性：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈,又txD,如果 (i) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù). 周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在TW0,使得對(duì)XD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個(gè)周期. 通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期.習(xí)慣

9、上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 答案：(B)偶函數(shù)。 7.函數(shù)f(x)2X1(x0)為()。 (A)零函數(shù)；(B)無窮大量；(C)無窮小量；(D)常數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：無窮小與無窮大，參見P25-27 附1.1.7(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 當(dāng)xx0時(shí)，如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)M則我們稱 函數(shù)f(x)為當(dāng)xxo時(shí)的無窮大量，記為limf(x)。 xxo 若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡(jiǎn)稱無窮小。xxo 答案：(C)無窮小量。 8 .函數(shù)yx在點(diǎn)x0處()。 (A)間斷；(B)可導(dǎo)；(C)可微；(D)連續(xù) ★考

10、核知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.8(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函 數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：(D)連續(xù)。 9 .若f(x)esinx,則f(0)()。 (A)-1;(B)0;(C)1;(D)2 ★考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附1.1.9(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 初等函數(shù)的求導(dǎo)法則： 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)

11、x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或曳dydu dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里，逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏，也不要重復(fù).在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù).在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來. 答案：(C)00 2 10 .若f(x)ex,則f(0)()。 (A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2

12、 ★考核知識(shí)點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.10(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)(間接法). 答案：(A)-2。 I x. II .函數(shù)f(x)lg——為()。 1x (A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)指數(shù)函數(shù)；(D)周期函數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7 附1.1.11(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)的奇偶性： 設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈,又txD,如果 (i) f(x)f(x

13、),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)； (ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù). 函數(shù)的周期性： 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在T*0,使得對(duì)xD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個(gè)周期. 通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期.習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期 答案：(A)奇函數(shù)。 1 12 .函數(shù)f(x)xcos—(x0)為()。 x (A)零函數(shù)；(B)無窮大量；(C)無窮小量；(D)常數(shù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：無窮小與無窮大，參見P25-27 附1.1.12(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 當(dāng)xXo時(shí)，如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)M則我們稱

14、 函數(shù)f(x)為當(dāng)XXo時(shí)的無窮大量，記為limf(x)。 xXo 若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡(jiǎn)稱無窮小。xXo 答案：(C)無窮小量。 13 .函數(shù)f(x)tanx|在x=0處()。 (A)間斷；(B)可導(dǎo)；(C)可微；(D)連續(xù) ★考核知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)與可導(dǎo)性，參見P40-46 附1.1.13(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件.若函 數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案：(D)連續(xù)。 14.若 f(x) () (A)2;(B)-2;(C)4;(D)-4 ★考

15、核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附1.1.14(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①C0(C為常數(shù))；②(xn)nxn1(nR但不為零)； 1 ③(e)e;④(lnx)一；x ⑤(sinx)cosx；⑥(cosx)sinx； 1 ⑦(a)alna；⑧(logax). xlna 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或曳dydu dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 答案：(C)4。 15

16、.若f(x)ln(1x2)，則f(0)()。 (A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2 ★考核知識(shí)點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P65-68 附1.1.15(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 求高階導(dǎo)數(shù)的方法： 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)(間接法). 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、 商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且 (1) u(x) v(x) u (x) v (x); ' ' u(x

17、)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x); (3) u(x) u (x)v(x) u(x)v(x) v(x) 答案：(A) -2 v2(x) (v(x) 0) 、主觀部分: (一)、填空部分 1.函數(shù) y arcsin ^x- 7 1 、 ，一 -的定義域是 ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.1(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念: 設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得對(duì)xD, 都有唯一的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為yf(x), 稱x

18、為自變量，y為函數(shù)(因變量)，D為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域. 函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法 計(jì)算過程如下：1也」1 7 答案：[3,4]o 2. lim x 0 xtanx 3x ★考核知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則求極限，參見P90-95附2.1.2(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個(gè)條件： (1) limf(x)0,limg(x)0;xxoxx0 (2) f(x)和g(x)在點(diǎn)％的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0; ⑶limf皿存在(或無窮大). xx0g(x) 則極限lim

19、Ux_存在(或無窮大)，且xx0g(x) 這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則.法則中的xX0改為x后法則仍成 立.。 答案：10 3 3 3 .設(shè)函數(shù)f(x)arctanxex,則f(x)=. ★考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附2.1.3(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或曳dydu dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)uu(x)及vv(

20、x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、 商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且 /八，、，、'，、'，、 (1) u(x)v(x)u(x)v(x); ''' (2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x); '' (3) 皿u(x)v(x)u(x)v(x)0) v(x)v2(x) 答案：2x43x2exo1x4 4 .設(shè)y(x21)sinx,則dy. ★考核知識(shí)點(diǎn)：微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.4(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 微分的定義： 設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量 yf(Xox)f(x0)可

21、表示為 其中A是與x無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)X0可微，并且稱Ax為函數(shù) yf(x)在點(diǎn)xo處相應(yīng)于自變量改變量x的微分,記作dy,即 函數(shù)可微的條件： 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)，且當(dāng)yf(x) 在點(diǎn)x?？晌r(shí)，其微分一定是： 上述“基本的微分公式”是各種微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們給出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。 答案：(2xsinx(x21)conx)dx。 5.函數(shù)f(x)(x21)31的極值點(diǎn)為. ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極值的計(jì)算，參見P96-101 附2.1.5(考核知識(shí)

22、點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 確定極值點(diǎn)和極值的步驟 (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) (3)利用第一充分條件，根據(jù)f(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情 況以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，也可根據(jù)第 二充分條件判定； (4)求出函數(shù)的極值 計(jì)算過程如下： f(x)6x(x21)2，令f(x)0求得駐點(diǎn)x11,x20,x31 又f(x)6(x21)(5x21),所以f(0)60 因此f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0 因?yàn)閒(1)f(1)0所以用定理3無法判別而f(x)在x1處的左右

23、鄰 域內(nèi)f(x)0,所以f(x)在x1處沒有極值 同理“*)在乂1處也沒有極值 答案：x00 6.函數(shù)y1g11gx的定義域是. ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.6(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念： 設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得對(duì)xD 都有唯一的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為yf（x）,稱x為自變量，y為函數(shù)（因變量），D為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域. 答案:（0,10）。 1 7.lim（12x）x. ★考核知識(shí)點(diǎn)：求極限，參見上冊(cè)P33-37 附2.1.

24、7（考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）： 兩個(gè)重要極限如下： sinx / lim 1, x 0 x x 1lim1—e。xx 運(yùn)用第二個(gè)重要極限計(jì)算該題。 8 .設(shè)函數(shù)f（ex）e2xex1,則f（x尸. ★考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)微分法，參見P61-63 附2.1.8（考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 若函數(shù)ug（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf（u）在點(diǎn)ug（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g（x）]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或dydy業(yè) dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

25、 ①C0（C為常數(shù)）；②（xn）nxn1（nR但不為零）； 1 ③（e）e;④（lnx）一； x ⑤（sinx）cosx；⑥（cosx）sinx； 1 ⑦（a）alna；⑧（logax）. xlna 答案：2xe 9 .設(shè)yln(1x2)，貝ijdy ★考核知識(shí)點(diǎn)：微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.9(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)％可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)％可導(dǎo)， 且當(dāng)yf(x)在點(diǎn)飛可微時(shí)，其微分一定是： 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 答案：一2x2-dx。 1 x2 2 10 .曲線yxex1的斜漸近

26、線為. ★考核知識(shí)點(diǎn)：求漸近線，參見P109-111 附2.1.10(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： yf(x)的斜漸近線的計(jì)算： 如果 ..f(x). lim—k,xx Jim[f(x)kx]b, 則斜漸近線就是直線ykxbo 答案：yx3。 11 .函數(shù)yLg3的定義域是 x1x ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的概念，參見P1-6 附2.1.11(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合，如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得對(duì)xD, 都有唯一的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為yf(x), 稱x為自變量，y為函數(shù)(因變量)，D為定義域，函數(shù)值的集

27、合稱為值域. 函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來 的方法稱為公式法 計(jì)算過程如下： x0且」0,x1 1x 答案：(1,0)(0,1)。 tanxsinx 12 .lim3. x0sinx ★考核知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則求極限,參見P90-95 附2.1.12(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個(gè)條件： (1) limf(x)0,limg(x)0；xx0xx0 (2) f(x)和g(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0; (3) lim29存在(或無窮大).xx0g(x) 則極限lim3存在(或無窮大

28、)，且 xx0g(x) 這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則.法則中的xx。改為x后法則仍成立. 答案：1。2 13 .設(shè)y(x23)3,貝1Jdy. ★考核知識(shí)點(diǎn)：微分計(jì)算，參見P74-79 附2.1.13(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)看可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)看可導(dǎo)，且當(dāng) yf(x)在點(diǎn)看可微時(shí)，其微分一定是： 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 答案：6x(x23)2dx。 14 .設(shè)y2x2ax疑點(diǎn)x=1取得極小值，則a. ★考核知識(shí)點(diǎn)：極值的確定，參見下冊(cè)P98-101 附2.1.14(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案)： 確定極值

29、點(diǎn) (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求出f(x)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) ⑶令f(x)00如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，可根據(jù)第二充分條件判定 答案：4。 15 .曲線yx33x24x的拐點(diǎn)坐標(biāo)為. ★考核知識(shí)點(diǎn):求拐點(diǎn),參見P108-109 附2.1.15(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 如果f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f(x)在x0的左右兩側(cè)變號(hào)，則(xo,f(xo)) 就是拐點(diǎn)。 計(jì)算過程如下: 答案：(1,2) 入cos-….- 1.求yex的導(dǎo)數(shù). ★考核知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P56-63 附2.2.1(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：

30、 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或dydydu dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里，逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏，也不要重復(fù).在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù).在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變

31、量的部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。 基本的求導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 這里為了方便我們?cè)俅谓o出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用 2.求由方程xyexey0確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.2(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0 中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù) dy,這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. dx

32、 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、 商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù)，且''' (1) u(x)v(x)u(x)v(x); I'' (2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);'' (3) 幽u(x)v(x)2u(x)v(x)(v(x)0) v(x)v(x) 亍答案： 對(duì)原方程，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，其中y=y(x),有 x ey y--。 ex (4) y(lnx)x的導(dǎo)數(shù). ★考核知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見P56-63 附2.2.3(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：

33、形如yu(x)v(x)的函數(shù)稱為幕指函數(shù).直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求 出幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù).我們把這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ①C0(C為常數(shù))；②(xn)nxn1(nR但不為零)； 1 ③(e)e;④(lnx)—； x ⑤(sinx)cosx;⑥(cosx)sinx; 1 ⑦(a)alna;⑧(logax). xlna (5) 由方程xyyx確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.4(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解

34、答過程】)： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0 中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)dy,這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. dx 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法： 形如yu(x)v(x)的函數(shù)稱為幕指函數(shù).直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求 出幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù).我們把這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 參考答案： 原方程化為ey1nxex1ny,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，其中y=y(x),有 5 .求yarctan(sinx2ecos

35、x)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，參見P56-63 附2.2.5(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而yf(u)在點(diǎn)ug(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或曳曳業(yè) dxdudx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 6 .求由方程xyexy確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)，參見P69-71 附2.2.6(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程F(x,y)0所確定

36、的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0 中，得到恒等式 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù) 曳，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. dx 參考答案： 2 7 .求f(x)(2x1)(x2)3的極值。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：求極值，參見P96-101 附2.2.7(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 確定極值點(diǎn)和極值的步驟 (1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) (3)利用第一充分條件，根據(jù)f(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情 況以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，也可根據(jù)第

37、二充分條件判定； (4)求出函數(shù)的極值參考答案： 由f(x)10(X1)0得到x1為駐點(diǎn); 33x2 又 f (x) 10 g 2x 5 3 (x 2)4 10 _3 8 T 10 所以f(x)在x1處取得極大值，且極大值為"1)3。又f(x)在x2處不可導(dǎo),在x2的充分小鄰域內(nèi)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0;當(dāng)x2時(shí)，f(x)0,由極值的第一充分條件知“*)在乂2處取得極小值，且極小值為f(2)=0,所以f(x)在x=1處取得極大值3,在x=2處取得極小值0。 不存在 一 / 極大值 極小值 / 8.設(shè)函數(shù)f(

38、x)，x21ax,其中a>0,求f(x)的單調(diào)區(qū)問 ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性判定，參見P96-98 附2.2.8(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 函數(shù)單調(diào)性判定定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則 (1) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)0,則f(x)在［a,b］上單調(diào)增加. (2) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)0,則f(x)在［a,b］上單調(diào)減少. 若將定理的條件換成開區(qū)間或無窮區(qū)問，判定定理的結(jié)論仍然成立. 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且使f(x)0的點(diǎn)x僅有有限個(gè)，則f(x)在區(qū)間I上為嚴(yán)格遞增(減)函數(shù)的充要條件為： 對(duì)一切xI有

39、f(x)()0. 利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些. ①當(dāng)a>1時(shí)，有1a,此時(shí)f/(x)<0, ..x21 ???函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是單調(diào)遞減函數(shù) ②當(dāng)00得x11a, -1a2 f(x)在區(qū)間［^^,)上是單調(diào)遞增函數(shù)。 .1a2 9 .求函數(shù)f(x)=3(

40、x2-2x)2,(0x3)的最大值和最小值。 ★考核知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的最大最小值，參見P102-105附2.2.9(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 求函數(shù)f(x)(axb)的最大最小值的步驟:(1)求函數(shù)的所有駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)； (2)比較f(a),f(b)和駐點(diǎn)的函數(shù)值以及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值, 取其中的最大值和最小值即可.參考答案： 10 .求函數(shù)f(x)次、的間斷點(diǎn),指出間斷點(diǎn)的類型;ln(x1) 并給出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間. ★考核知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性，參見P40-43 附2.2.10(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 如果limf(x)f(xo)，則y=f(x)在xo處

41、是連續(xù)函數(shù)。 xxo 由定義可得出函數(shù)連續(xù)的三個(gè)必要條件(連續(xù)的三要素)： (1)y=f(x)在xo有意義 (2)當(dāng)x一xo時(shí)，極限存在 (3)極限等于f(xo) 函數(shù)的間斷點(diǎn)：三要素中至少一個(gè)不成立的點(diǎn)，稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的類型：左右極限都存在的點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的稱為第二類間斷點(diǎn)。 參考答案： x1,2為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。 11.試問函數(shù)f(x)ln(1x2)sin3x是否為x2的等價(jià)無窮??？為什么? ★考核知識(shí)點(diǎn)：無窮小的比較，參見P37-39,附2.2.11(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 如果 lim x a (x)

42、 (x) 則稱(x)與(x)(x a)是等價(jià)的無窮小量。 因而 f(x)ln(1x2)sin3x是x2的等價(jià)無窮小。 x 12求極限limJ(n是正整數(shù))。xx ★考核知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則求極限，參見P90-95 附2.2.12(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個(gè)條件： (1) limf(x)0,limg(x)0;xxoxxo (2) f(x)和g(x)在點(diǎn)xo的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0; (3) lim上但存在(或無窮大). xx0g(x) 則極限lim心存在(或無窮大)，且xxog(x) 這種求極限的方法

43、稱為洛必達(dá)法則.法則中的xxo改為x后法則仍成立. 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個(gè)條件： (1) limf(x),limg(x); xxoxxo (2) f(x)和g(x)在點(diǎn)％的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0; (3) lim存在(或無窮大).xx0g(x) 則極限lim x x。 回存在(或無窮大)，且 g(x) 這種求一型未定式的極限的方法同上面求0型未定式極限一樣都稱為洛必達(dá)法0 則. 上式為一型未定式，使用洛必達(dá)法則得 xlimenxx lim x xxx e..e..e -n-jlim——limn-^ nxx6xxn

44、(n1)x x ..elim—xn! 2 13求方程- 16 1在點(diǎn)MW%處的切線方程. ★考核知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，參見P69-71 附2.2.13(考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】)： 以曲線yf(x)上一點(diǎn)(xo,f(x。))為切點(diǎn)的切線方程是 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0 中，得到恒等式 x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù) 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量dy,這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法. dx 參考答案： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為 橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，有 9x 從而y』 16y 當(dāng)x2時(shí)，y3向，代入上式 2 于是用求的切線〃程為 即3x4y8.30