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1、.1.向量的坐標(biāo)運算；2.運用數(shù)量積解決距離、 夾角（含垂直）等問題若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對實數(shù)一對實數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.知識要點知識要點不共線向量不共線向量e1，e2叫做表示這一平叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組面內(nèi)所有向量的一組基底基底. . 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 把一個向量分解為兩個互相垂直的把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量向量，叫做把向量正交分解正交分解B BaiO OjA AP P知識要點知識要點

2、在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個單位向量軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)本定理知，有且只有一對實數(shù)x x、y y，使，使得得ax xiy yj. .aix xy yO Ojx xy y知識要點知識要點 把有序數(shù)對（把有序數(shù)對（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，記作記作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x軸上的坐軸上的坐標(biāo)，標(biāo)，y y叫做叫做a在在y y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向軸上的坐標(biāo)

3、，上式叫做向量的量的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示. .知識要點知識要點平面向量的坐標(biāo)運算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab= .(2)如果 ,則AB = .(3)若a=(x,y)則a= .平行與垂直的充要條件(1)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),則ab的充要條件是 .(2)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),則ab的充要條件是 .x1x2+y1y2=0(x1x2,y1y2)A(x1,y1),B(x2,y2)(x2-x1, y2-y1)(x,y)x1y2-x2y1=0向量的夾角兩個非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則 叫做向量a與b的夾角，記作 .如果夾角

4、是 ，我們說a與b垂直， 記作 .向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作 .AOB=(0180) ab=|a|b|cos|a|b|cosab90a,b=規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 .向量的數(shù)量積滿足的運算律：(1) ;(2) ;(3) .數(shù)量積的性質(zhì)：(1)ea= = (e是與a同方向的單位向量); (2)a2= ;0ab=|a|b|cos(a+b)c=ac+bc|a|cosae(a)b=(ab)=a(b)|a|2(3)ab=0則 ;(4)cos= ;(5)|ab| |a|b|. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算若a=(x1,y1),b=(x

5、2,y2)，則ab= .向量a在b上的投影為 .ab|a|b|abx1x2+y1y2|a bb拓展延伸拓展延伸 1. 1. ，零向量的方向是任意的；，零向量的方向是任意的； 若若a為非零向量，則為非零向量，則 為單位向量為單位向量. .00r| |aa拓展延伸拓展延伸 2.2.由數(shù)量積可得如下一些結(jié)論由數(shù)量積可得如下一些結(jié)論: :（1 1）ab ab0 0（a00，b00）；）； （2 2）夾角公式：）夾角公式： ； cos| | | |a babq=（3 3）投影公式：）投影公式： ；| |cos| |a babq=（4 4）| |ab|a|b| |；（5 5）( (ab) )2 2a2 2

6、2 2abb2 2， ( (ab)()(ab) )a2 2b2 2. . 3.3.數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即 ( (ab) )ca( (bc).). 4.4.若非零向量若非零向量a與與b的夾角為鈍角，則的夾角為鈍角，則 ab0 0，反之成立嗎？，反之成立嗎？ 設(shè)非零向量設(shè)非零向量a與與b的夾角為的夾角為， 則則 當(dāng)當(dāng)0 09090時，時，ab0 0； 當(dāng)當(dāng)9090180180時，時，ab0 0； 當(dāng)當(dāng)9090時，時，ab0.0.若若C C為線段為線段ABAB的中點，的中點，O O為平面內(nèi)任為平面內(nèi)任意一點，則意一點，則 . .1()2OCOAOB 11221212123123Ax ,y ),Bx ,y ),xxyy22xxxyyy)33若 （中點公式：（，）三角形重心的坐標(biāo)：（，11221212Ax ,y ),Bx ,y ),PABPAPBxxx1Pyyy1AB 若 （點是直線上一點，且，則有：=+點 的坐標(biāo)是：+叫分的定比