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1、基本不等式的應用基本不等式的應用課標定位課標定位基礎知識梳理基礎知識梳理1基本不等式與最值基本不等式與最值已知已知x、y都是正數(shù)，都是正數(shù)，(1)若若xys(和為定值和為定值)，則當，則當xy時，積時，積xy取得取得_.(2)若若xyp(積為定值積為定值)，則當，則當xy時，和時，和xy取得取得_.上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大大2利用基本不等式求最值時，應注意的問題利用基本不等式求最值時，應注意的問題(1)各項均為正數(shù)，特別是出現(xiàn)對數(shù)式、三角函數(shù)各項均為正數(shù)，特別是出現(xiàn)對數(shù)式、三角函數(shù)式等形式時，要認真判斷式等形式時，要認真判斷(2)求

2、和的最小值需積為定值，求積的最大值需和求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值為定值(3)確保等號成立確保等號成立以上三個條件缺一不可可概括為以上三個條件缺一不可可概括為“一正、二定、一正、二定、三相等三相等”(4)連續(xù)應用基本不等式時，要注意各不等式取等連續(xù)應用基本不等式時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，若不能同時取等號，則不能求號時條件是否一致，若不能同時取等號，則不能求出最值出最值課堂互動講練課堂互動講練利用基本不等式求函數(shù)的最值利用基本不等式求函數(shù)的最值1運用該不等式求最值時，要注意三個條件：運用該不等式求最值時，要注意三個條件：(1)一一“正正”(使用基本不等式時，各項必

3、須為正數(shù)使用基本不等式時，各項必須為正數(shù))；【分析分析】由題目可獲取以下主要信息：由題目可獲取以下主要信息：函數(shù)解析式為分式且分子的次數(shù)高于分母；函數(shù)解析式為分式且分子的次數(shù)高于分母；由由x1得得x10.解答本題可先對分子添項湊出因式解答本題可先對分子添項湊出因式x1，將分子中，將分子中變量分離出來，再添項湊出乘積為定值的形式，用變量分離出來，再添項湊出乘積為定值的形式，用基本不等式求最值基本不等式求最值【點評點評】(1)利用基本不等式求最值的關鍵是獲得利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)漠數(shù)摹安痦?、添項?/p>

4、配湊、變形拆項、添項、配湊、變形”等方法創(chuàng)設應用基等方法創(chuàng)設應用基本不等式的條件本不等式的條件(2)等號取不到時，注意利用求函數(shù)最值的其他方法，等號取不到時，注意利用求函數(shù)最值的其他方法，如利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合、換元法、判如利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合、換元法、判在利用基本不等式求最值時，除注意在利用基本不等式求最值時，除注意“一正、二定、一正、二定、三相等三相等”的條件外，最重要的是構(gòu)建的條件外，最重要的是構(gòu)建“定值定值”，恰，恰當變形、合理拆分項或配湊項是常用的解題技巧當變形、合理拆分項或配湊項是常用的解題技巧含條件的最值的求法含條件的最值的求法已知已知x0，y0，且，且xy4xy12，求，求xy

5、的最小值的最小值【分析】【分析】解答本題可先通過不等式的放縮把方程解答本題可先通過不等式的放縮把方程轉(zhuǎn)化為不等式，然后通過解不等式求范圍轉(zhuǎn)化為不等式，然后通過解不等式求范圍【點評點評】 對于通過方程求條件的最值，一般有兩對于通過方程求條件的最值，一般有兩種思路：一是通過不等式的放縮將其變?yōu)椴坏仁?；種思路：一是通過不等式的放縮將其變?yōu)椴坏仁?；二是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題比較來看，法一運算量小，二是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題比較來看，法一運算量小，但對但對x、y的范圍有限制，且要求取到的范圍有限制，且要求取到“”；法二的；法二的適用范圍更廣，更好地體現(xiàn)了函數(shù)的思想適用范圍更廣，更好地體現(xiàn)了函數(shù)的思想求實際問題的步驟：求

6、實際問題的步驟：(1)設變量，建立目標函數(shù)，注意實際意義對變量設變量，建立目標函數(shù)，注意實際意義對變量范圍的影響范圍的影響(2)利用基本不等式，求函數(shù)的最值利用基本不等式，求函數(shù)的最值(3)得出實際問題的解得出實際問題的解利用基本不等式解應用題利用基本不等式解應用題如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成網(wǎng)圍成(1)現(xiàn)有現(xiàn)有36 m長的材料，每間虎籠的長、寬各長的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若

7、使每間虎籠面積為若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？筋網(wǎng)總長最小？【分析分析】由題目可知，問題由題目可知，問題(1)中材料一定，問題中材料一定，問題(2)中虎籠面積為定值中虎籠面積為定值解答本題可設每間虎籠長解答本題可設每間虎籠長x m，寬，寬y m，則問題，則問題(1)是在是在4x6y36的前提下求的前提下求xy的最大值；而問題的最大值；而問題(2)則是在則是在xy24的前提下求的前提下求4x6y的最小值，所以可用基本不的最小值，所以可用基本不等式求解等式求解【解解】(1)設

8、每間虎籠長設每間虎籠長x m，寬為，寬為y m，則由條件得則由條件得4x6y36，即，即2x3y18，設每間虎籠面積為設每間虎籠面積為S，則，則Sxy.【點評點評】在應用基本不等式解決實際問題時，應在應用基本不等式解決實際問題時，應注意如下思路和方法：注意如下思路和方法：(1)先理解題意，設出變量，一般把要求最值的量定先理解題意，設出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；為函數(shù)；(2)建立相應的函數(shù)關系，把實際問題抽象成函數(shù)的建立相應的函數(shù)關系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確

9、寫出答案正確寫出答案規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)1要注意應用過程中基本不等式成立的條件，尤其是要注意應用過程中基本不等式成立的條件，尤其是取等號的條件是否具備，否則可能會出現(xiàn)錯解取等號的條件是否具備，否則可能會出現(xiàn)錯解2用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中函數(shù)的解析式中,含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等時取得最值，即用均解析式中，含變數(shù)的各項均相等時取得最值，即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一值不等式求某些函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三相等正二定三相等