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1、快樂數(shù)學崔氏班（QQ群）：121260514，歡迎加入，共同進步。 崔氏班六年級第五講 容斥原理 1、實驗小學五年級二班，參加語文興趣小組的有人，參加數(shù)學興趣小組的有人，有人兩個小組都參加．這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組？ 【解析】 如圖所示，圓表示參加語文興趣小組的人，圓表示參加數(shù)學興趣 小組的人，與重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的 人．圖中圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興 趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加 數(shù)學興趣小組未參加語文

2、興趣小組的人，有(人)． 方法一：由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有：(人)． 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得： 參加語文或數(shù)學興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學興趣小組的人兩個小組都參加的人，即：(人)． 2、有100位旅客，其中有10人既不懂英語，又不懂俄語，有75人懂英語，又83人懂俄語.那么這100位旅客中既懂英語又懂俄語的有多少人. 【解析】如圖，用圓表示懂英語的75人，圓表示懂俄語的83人.那么 (人)，人. 3、二元容斥 在1至2011的自然數(shù)中， （1)能被3或7整除的數(shù)有個； （2)既能被3整除，又能被7整除的有個； （3)

3、能被3整除，但不能被7整除的有個； （4)能被7整除，但不能被3整除的有個. 【解析】如圖，我們用方框表示1～2011中的所有自然數(shù)；圓表示能被3整除的自然數(shù)；圓表示能被7整除的自然數(shù)；那么中間重疊部分表示既能被3整除，有能被7整除的自然數(shù)，即. 那么我們能求出：；；. （1) （2) （3) （4) 4、在1至2011的自然數(shù)中， （1)能被3或5或7整除的數(shù)有個； （2)能同時被3,5,7整除的有個； （3)能被3整除，但不能被5和7整除的有個； （4)能被5和7整除，但不能被3整除的有個. 【解析】如圖，我們用方框表示1～2011中的所有自

4、然數(shù)；圓表示能被3整除的自然數(shù)；圓表示能被5整除的自然數(shù)；圓表示能被7整除的自然數(shù). 那么我們能求出：；；；；；；. （1) （2) （3) （4) 5、(2008年西城實驗考題)在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有 個． 【解析】1到2008這2008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個，3 和7的倍數(shù)有個，5和7的倍數(shù)有個，3、5 和7的倍數(shù)有個．所以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍 數(shù)的共有個． 6、在2至400 的偶數(shù)中，既不能被3整除，又不能被5

5、整除，同時不能被7整除的整數(shù)有多少個？ 【解析】首先2至400共200個偶數(shù)，即： ， ， ， ， 從而符合條件的個. 7、真分數(shù)是最簡真分數(shù)，問有多少種取值？ 【解析】作為真分數(shù)，與互質，同時，這就要求在1到1001內，不是7的倍數(shù)，不是11的倍數(shù)，也不是13的倍數(shù)，本題中： ， ， ， ， 從而取值條件的有個. 8、某班人數(shù)60人，在一次抽考英語、數(shù)學、化學的考試中，英語及格的有41人，數(shù)學及格的有39人，化學及格的有42人；英語、數(shù)學兩科不及格的有14人，數(shù)學、化學兩科不及格的有13人，英語、化學兩科不及格的有11人，有兩科或兩科以上不及格

6、的人數(shù)為20人，則： (1)三科都不及格的有幾人？ (2)至少有一科不及格的有幾人？ (3)三科都及格的人數(shù)有幾人？ 【解析】使用韋恩圖輔助分析，將不及格作為條件，則 英語不及格的有(人)， 數(shù)學不及格的有(人)， 化學不及格的有(人)， 英數(shù)14人、英化11人、數(shù)化13人也如圖所標，并設三科不及格的 人. 題目中所謂兩科或兩科以上不及格20人，即，解得. 即，從而，還知道，.從而： ⑴三科都不及格的有：人. ⑵至少有一科不及格的有：(人). ⑶三科都及格的有：(人). 9、衛(wèi)生部對120種食物是否含有維生素A、C、E進行調查，結果是：含維生素A的有62種，

7、含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時含維生素A和C的有48種，同時含維生素A和E的有36種，同時含有維生素C和E的有50種，同時含這三種維生素的有25種.請問： (1)這三種維生素都不含的食物有多少種？ (2)僅含維生素A的食物有多少種？ 【解析】⑴設三種都不含的有種，則在中，，，，，即，解得. ⑵輔助韋恩圖進行分析，僅含維生素A的如圖陰影所示，在A中減掉AE和AC，再加上ACE，也就是. 10、森林里住著一群小白兔，每只小白兔都愛吃蘿卜、白菜和青草中的一種或

8、者幾種.愛吃蘿卜的小白兔中有12只不愛吃白菜；愛吃白菜的小白兔中有23只不愛吃青草；愛吃青草的小白兔中有34只不愛吃蘿卜.如果三種食物都愛吃的小白兔有5只，那么這群小白兔一共有多少只？ 【解析】根據(jù)題意，將各部分分別用字母表示，則有： 根據(jù)題目描述，則有： ，所以有：，則這群小白兔一共有74只. 11、體育課上，60名學生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報數(shù)：1，2，3，…，60，然后，老師讓所報的數(shù)是4的倍數(shù)的同學向后轉，接著又讓 所報的數(shù)是5的倍數(shù)的同學向后轉，最后讓所報的數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后轉，現(xiàn)在面向老師的學生有________人． 【解析】使用韋恩圖輔助

9、分析，如圖，所有條件都不符合的依然面向老師，符合一個條件的背向，符合兩個條件的面向，符合三個條件的背向，圖中1表示面向，0表示背向.在本題中， ，(表示總數(shù)，下面的分別表示算過1次，2次，3次的.以后同.) ， ，(注：4，6的最小公倍數(shù)為12) 但本題中面向老師的分兩部分，外圍的， 內部的， 因此面向老師的共有人. 12、有編號為1～2010的2010個氣球.有一個神槍手，他第一次把所有編號是3的倍數(shù)的氣球打破；第二次把編號是5的倍數(shù)的氣球打破；最后把編號是7的倍數(shù)的氣球

10、打破.那么，最后還剩幾個沒有被打破的氣球？ 【解析】仔細分析，我們發(fā)現(xiàn)這道題實際上是要求1～2010中有多少個數(shù)不能被3,5,7整除. 被3整除的數(shù)有個； 被5整除的數(shù)有個； 被7整除的數(shù)有個； 其中，同時被3、5整除的數(shù)有個； 同時被3、7整除的有個； 同時被5、7整除的數(shù)有個； 同時被3、5、7整除的數(shù)有個. 那么，能被3、5、7整除的數(shù)共有： 個. 那么，不能被3、5、7整除的數(shù)共有個. 13、(2008年101中學考題)一根101厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒

11、截斷，那么可以截出 段． 【解析】要求出截出的段數(shù)，應當先求出木棒上的刻度數(shù)，而木棒上的刻度數(shù)，相當于1、2、3、…、100、101這101個自然數(shù)中2或3或5的倍數(shù)的個數(shù)，為： ，故木棒上共有74個刻度，可以截出75段． 14、(第四屆走美試題)2006盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1，2，…，2006．將編號為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編號為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下．拉完后亮著的燈數(shù)為________盞． 【解析】因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的．這道題實際上

12、是求1到2006中不能被2、3、5整除的數(shù)和只能同時被2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)的總個數(shù)． 我們可以求得被2整除的數(shù)有個， 被3整除的數(shù)有，共668個， 被5整除的數(shù)有，共401個． 其中，同時被2、3整除的數(shù)有，共334個； 同時被3、5整除的有，共133個； 同時被2、5整除的數(shù)有，共200個； 同時被2、3、5整除的數(shù)有，共66個，所以，只能同時被2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)為個， 不能被2、3、5整除的數(shù)的個數(shù)為個．所以，最后亮著的燈一共為個． 15、某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球．那么，這個班至少有多少學生這三項運動

13、都會？ 【解析】為了讓三項都會的人盡量少，那么考慮讓盡量多的人參加兩項運動.如果每個學生都參加2項運動，那么參加3種運動的共有（人次）.而實際上參加3種比賽的共有（人次）.那么還余下人次的運動.因此至少有4人這三項運動都會.下面我們來驗證能否構造一種情況，使得恰好有4個學生會這3項運動： 該情況可以用韋恩圖來構造和示意： 　　　　 16、加語文競賽的有人，參加數(shù)學競賽的有人，參加英語競賽的有人，每人最多參加兩科，那么至少有 人參加這次競賽． 【解析】由于每人最多參加兩科，也就是說

14、有參加2科的，有參加1科的，要求參加的人最少，那么盡可能讓每人都參加兩科，所以理論上至少有人參加競賽，但參加英語競賽的有人，因此至少應該有人參加競賽 17、某班有名學生，參加語文競賽的有人，參加數(shù)學競賽的有人，參加英語競賽的有人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有 人． 【解析】根據(jù)題意可知，該班參加競賽的共有人次．由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是71人次.要求參加兩科的人數(shù)最多，則讓這人次盡可能多地重復，而，所以至多有人參加兩科，此時還有1人參加1科. 那么是否存在35人參加兩科的情況呢？由于此時還有1人是只參加一科

15、的，假設這個人只參加數(shù)學一科，那么可知此時參加語文、數(shù)學兩科的共有人，參加語文、英語兩科的共有人，參加數(shù)學、英語兩科的共有人.也就是說，此時全班有15人參加語文、數(shù)學兩科，13人參加語文、英語兩科，7人參加數(shù)學、英語兩科，1人只參加數(shù)學1科，還有14人不參加.檢驗可知符合題設條件.所以35人是可以達到的，則參加兩科的最多有35人.(當然本題中也可以假設只參加一科的參加的是語文或英語) 18、六年級班有人參加數(shù)學競賽，有人參加英語競賽，有人參加語文競賽，其中參加數(shù)學和英語兩科的有人，參加了英語和語文兩科的有人，參加了數(shù)學和語文的有人，那么六年級班全班至少有多少人？ 【解析】要使全班人

16、最少，需參加三科競賽的人最少（可通過三元容斥公式來證明），至少有人下面只需驗證人是否成立，如下圖 所以全班至少有(人) 19、學而思的一場奧數(shù)選拔考試，試卷一共有道題，規(guī)定答對道及道以上的人能通過考試.發(fā)卷子時，唐老師說：“這次考試一共有個班的位同學參加，答對第題到第題的依次有、、、、人.在公布每位同學的成績之前，我想問大家一個問題：這次考試最少有多少位同學能通過呢？” 【解析】因為要算至少有多少人能通過考試.所以應該讓答對題的盡量多，且答對題的盡量多，然后是答對題的也盡量多.因為(道)題，去掉每人題，還有(道)題，答對題的最多能有人，而，也就是說可以讓所有不是剛好答對題的同

17、學都答對題.那么還有人全對.因此至少有人能通過考試. 20、(第14屆日本算術奧林匹克預賽試題(高小組))有100人參加算術測驗，從第1題到第5題共有5道題.答對每道題的人數(shù)分別是：第1題92人，第2題86人，第3題61人，第4題87人，第5題57人.這次測驗規(guī)定，5道題只要做對3道題就及格.那么最少有多少人及格？ 【解析】答對題數(shù)的合計是：人. 為使及格人數(shù)最少，設全員答對的題不少于2道，余下的答對題的數(shù)量不多于人.把這盡可能少分給一些人. 從5道題都答對的最多的人數(shù)來考慮，如果答對第5題的最少人數(shù)57人都是滿分的話，余下的答對題數(shù)的合計是人. 再從答對4道題盡可能多的人數(shù)來考慮，答對人數(shù)第二少的第3題的61人中，有57人得滿分的話，答對了4道題的最多的情況下是人. 這時，余下的答對題數(shù)的合計是：. 答對3道題的人數(shù)是. 根據(jù)以上分析，可知及格者的最少人數(shù)是：人. 所以至少有65人及格. 崔帥帥職業(yè)格言：生有盡，業(yè)無窮；勤無價，耕耘為天下。