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1、【數學與應用數學專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】幾類常微分方程典型的解法 （　20　屆） 本科畢業(yè)論文 幾類常微分方程典型的解法 摘要:自然界中很多事物的運動規(guī)律可用微分方程來刻畫,微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、現象運動的最為基本的數學理論和方法.在我們的現實生活中存在著各式各樣的微分方程,常微分方程是其比較重要的存在形式.常微分方程作為現代數學的一個重要分支,是人們解決各種實際問題的有效工具,因此對常微分方程進行求解有一定的必要性.本文主要總結了幾種常微分方程的典型解法及相關應用. 關鍵詞:常微分方程;變

2、量分離;積分因子;伯努利方程 The Solution to Several Kinds of Differential Equations Abstract: Many things in nature's law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods d

3、ifferential equations can be studied by the differential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool

4、 that people solve practical problems. Therefore it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications. Key words: Ordinary Differential Equations; Separation of Variables; Integ

5、rating Factor; Bernoulli Equation 目 錄 1 緒論 1 1.1 論文選題的背景、意義 1 1.2 常微分方程的發(fā)展動態(tài) 2 2 幾類常微分方程的一般解法 5 2.1 微分方程及其解的定義 5 2.2 變量分離法 7 2.3 變量代換法 9 2.4 常數變易法 15 3 幾類常微分方程的特殊解法 19 3.1 湊全微分法 19 3.2 積分因子法 21 4 幾類解法在伯努利方程中的應用 25 4.1 伯努利方程的由來 25 4.2 伯努利方程的求解 26 4.2.1 變量分離法 26 4.2.2 變量代換法 27 4.2.

6、3 常數變易法 28 4.2.4 部分湊微分法 29 5 結束語 30 6 致謝 31 7 參考文獻 32 緒論 論文選題的背景、意義 自然界中很多事物的運動規(guī)律可用常微分方程來刻畫,常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、現象運動的演變規(guī)律的最為基本的數學理論和方法.常微分方程理論研究已經有300百年的歷史,當牛頓 Newton,1642-1727 、萊布尼茲 Leibniz,1646-1716 創(chuàng)立了微積分以后,數學家便開始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來愈多的物理問題,但他們很快發(fā)現不得不去對付一類新的更復雜的問題,這類問題不能通過簡單的積分解決,要解決這類問題需要

7、專門的技術,這樣,微分方程這門學科就應運而生了. 微分方程,是一個有長期歷史,而又正在不斷發(fā)展的學科;是一個既有理論研究意義,又有實際應用價值的學科;是一個既得力于其他數學分支的支持,又為其他數學分支服務的學科,是一個表現客觀自然規(guī)律的工具學科,又是一個數學可以為實際服務的學科.“300年來分析是數學里首要的分支,而微分方程又是分析的心臟.這是初等微積分的天然后繼課,又是為了了解物理科學的一門最重要的數學,而且在它所產生的較深的問題中,它又是高等分析里最大部分思想和理論的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此評價微分方程在數學中的地位[1]. 常微分方程的發(fā)展極大地推動了自然科學、技術科學

8、和社會科學的發(fā)展.到今天它已廣泛地滲透到了物理學、化學、生物學、工程技術學乃至社會科學等各個領域,反過來這些領域中提出的實際問題也推動了微分方程的進一步深化,使之成為當今經濟發(fā)展和社會進步所不可或缺的一門技術.數學的其他分支的新發(fā)展如復變函數、組合拓撲學等都給常微分方程的發(fā)展以深刻的影響.當前計算機的發(fā)展為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.現在,常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用,自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質的問題. 但是,數學家發(fā)現,不是所

9、有的微分方程的通解都能求出,從以前的“求通解”到“求解定解問題”的轉變,所以能求出微分方程的解是十分重要的.應該說,應用常微分方程理論已經取得了很大的成就,但是,它的現有的理論也還遠遠不能滿足需要,還有待于進一步的發(fā)展,使這門學科的理論更加完善[2].本文主要總結了幾種常微分方程的典型解法及其相關應用. 常微分方程的發(fā)展動態(tài) 常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數學學科之一.常微分的發(fā)展主要可以分為四個階段:常微分的經典階段--以通解為主要研究內容、常微分方程的適定性理論階段--以定解問題的適定性理論為研究內容、常微分方程的解析理論階段--以解析理論為研究內容、

10、常微分方程的定性理論階段--以定性與穩(wěn)定性理論為研究內容[3]. 盡管在耐皮爾 John Napier,1550-1617 所創(chuàng)立的對數理論及達芬奇提出的餓狼撲兔問題中都已涉及到微分方程發(fā)展的思想萌芽,但微分方程作為一門學科是伴隨著微積分的形成而產生的. 1676年,萊布尼茲在給牛頓的通信中,第一次提出“微分方程”這個數學名詞.17世紀到18世紀是常微分方程發(fā)展的經典階段,以求通解為主要內容. 牛頓和萊布尼茲在建立微分方程與積分運算時就指出了它們的互逆性,實際上是解決了最簡單的微分方程的求解問題.此外,牛頓、萊布尼茲也都應用了無窮級數和待定系數法解出了某些初等微分方程[3].萊布尼茲最早使用

11、變量分離法解微分方程.他用這種方法解決了形如的方程,同一年,他又用變量分離法解出了一階齊次方程.在17世紀,作為微積分的一部分,微分方程跟微積分彼此不分.到了18世紀,由于天文學、力學、物理學的需要,同時也因為要解決許多較為復雜的問題,需要專門的技術,這樣,微分方程開始成為一門獨立的學科而存在.在1734-1735年的論文中,歐拉提出了全微分方程,即方程中的是某個函數的恰當微分,并給出所給方程的全微分條件.他確立了可采用積分因子的方程類型,證明了凡是分離變量的方程,均可以用積分因子方法求解,還證明了如果知道了任何一個常微分方程的兩個積分因子,那么令他們的比等于常數,就是微分方程的一個通解. 1

12、743-1751年,歐拉又將積分因子法推廣到高階方程,并通過特征方程法和降階法解決了常系數線性齊次方程和非齊次的階線性常微分方程,并利用變換提出歐拉方程[4]. 19世紀是微分方程嚴格理論的奠定時期,此階段為常微分方程發(fā)展的適定性理論階段,人們從求通解的熱潮轉向研究常微分方程的適定性理論.18世紀以后不斷出現的特殊的微分方程的求解問題,如里卡蒂方程求解問題,使數學家招架不住了,于是轉向對解的存在性問題的思考.第一個考慮微分方程解的存在性的是柯西 A.Cauchy,1789-1857 ,19世紀20年代,他建立了柯西問題解的存在唯一性定理.1873年,德國數學家李普希茲 Rudolph Lip

13、schitz.1832-1903 提出著名的“李普希茲條件”,對柯西的存在唯一性定理做了改進.在適定性理論的研究中,與柯西、李普希茲同一時期的還有皮亞拿與皮卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求在點領域連續(xù)的條件下證明了柯西問題解的存在性.后來這方面的理論有了很大的發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解對初值和參數的連續(xù)依賴性和可微性、奇解等,這些問題是微分方程的一般基礎理論問題[3]. 19世紀為常微分方程發(fā)展的解析理論階段,這一階段的主要理論結果是微分方程的解析理論,運用冪級數和廣義冪級數解法,求出一些重要的二階線性

14、方程的級數解,并得到及其重要的一些函數.1826年,貝塞爾研究行星運動時,開始系統(tǒng)地研究貝塞爾方程,貝塞爾得出了此方程的兩個級數解,分別稱為第一類貝塞爾函數和第二類貝塞爾函數.另一個重要內容是勒讓德方程的級數解和勒讓德多項式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒讓德方程,并且給出了冪級數解的形式.高斯研究了高斯幾何方程,并且得到了級數解,同時,他還建立了公式,并指出對不同值,此級數包括了幾乎所有的初等函數和類似貝塞爾函數的特征函數. 在19世紀后半葉,天體力學及其他技術科學提出的一些問題中,需要研究比較復雜的微分方程的解的局部和全局性質.但由于絕大多數的這種方程不能

15、用初等函數的積分表達通解,因此學者們考慮直接根據微分方程的結構來研究微分方程解的屬性.為此,法國數學家龐加萊 Henri Poincare,1854-1912 就開始了微分方程的定性研究,從1881年起,龐加萊獨創(chuàng)出微分方程的定性理論.此后,為了尋求只通過考察微分方程本身就可以問答關于穩(wěn)定性等問題的方法,他從非線性方程出發(fā),發(fā)現微分方程的奇點起關鍵作用,并把奇點分為四類 焦點、鞍點、節(jié)點、中心 ,討論了解在各個奇點附近的性狀.龐加萊關于常微分方程定性理論的一系列課題,成為動力系統(tǒng)地開端.常微分方程定性理論中另一個重要領域是1892年由俄國數學家李雅普諾夫 1857-1918 創(chuàng)立的運動穩(wěn)定性理

16、論.李雅普諾夫在他的博士論文《運動穩(wěn)定性的一般問題》中創(chuàng)造了兩種新方法;首創(chuàng)了運動穩(wěn)定性的一半理論.到1937年數學家龐特里亞金提出結構穩(wěn)定性概念,且嚴格證明了其充要條件,使動力系統(tǒng)的研究向大范圍轉化.穩(wěn)定性理論在美國迅速地變成訓練自動控制方面的工程師的一個標準部分.目前,穩(wěn)定性理論的方法結果已經推廣到泛函微分方程、隨機微分方程、偏微分方程以及動力系統(tǒng)中去.同時,在自動控制系統(tǒng)、電子技術、衛(wèi)星姿態(tài)動力學、大型動力系統(tǒng)以及生態(tài)學等新技術、新領域中均有重要的應用. 二十世紀自然科學和技術科學的發(fā)展,一個顯著的特點是多學科的互相滲透,數學向各個學科的滲透更為普遍和突出.常微分方程作為數學模型廣泛地

17、應用于現代生物學、生態(tài)學、生理學、醫(yī)學、經濟學、化學等領域,如:傳染病模型[5]、兩生物種群生態(tài)模型[6]、人口模型[6]等.與此同時,國內一些定性理論工作者在80年代迅速轉向生物學,開展生物微分方程的研究,做出了有意義的成果[6],一些穩(wěn)定性理論工作者在70年代末期開展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》總結了他們近期的工作.同時還有不少人從事研究離散動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、隨機微分方程的穩(wěn)定性、大型控制系統(tǒng)等. 微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學科,自1693年微分方程概念的提出到動力系統(tǒng)地長足發(fā)展,常微分方程經歷漫長而又迅速地發(fā)展,極大豐富了數學家園的內容.物理、化學、航空

18、航天、經濟、天文、自動控制和經濟領域中的許多原理和規(guī)律都可以用微分方程來描述,如萬有引力定律、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反過程穩(wěn)定性的研究、人口發(fā)展規(guī)律、疾病傳染、股票的漲跌趨勢、市場均衡價格的變化等,對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數學模型的研究.因此,常微分方程的理論研究和方法不僅廣泛應用于自然科學,而且越來越多地應用于社會科學的各個領域.隨著社會技術的發(fā)展和需求,常微分方程會有更大的發(fā)展,比如偏微分方程的迅速發(fā)展.可以預測:隨著依賴數學為基礎的其他學科的發(fā)展,常微分方程還會繼續(xù)擴展. 幾類常微分方程的一般解法 微

19、分方程及其解的定義 在初等數學里已經學過方程，形如 , , 等都是方程，其中是未知量，它們的解是某個特定的值．也見過另一類方程，例如 ， ， 等，這里若為自變量，則和就是未知函數，它們的解是的函數，這種方程稱為函數方程． 本文研究的是另一類方程，是聯系著自變量、未知函數以及未知函數的導數的方程，這種方程稱為微分方程．其中必須含有未知函數的導數．例如 ， 2-1 ，

20、 2-2 ， 2-3 ， 2-4 ， 2-5 ， 2-6 ，

21、 2-7 等等都是微分方程[7]． 定義2.1[8]在微分方程中，自變量個數只有一個的方程為常微分方程． ordinary differential equation,ODE ． 定義2.2[8]在微分方程中，自變量個數為兩個或兩個以上的微分方程為偏微分方程． partial differential equation,PDE ． 所以，在以上的微分方程中， 2-1 ～ 2-5 式是常微分方程，自變量只有一個， 2-1 式、 2-1 式、 2-5 式的自變量為,是未知函數； 2-3

22、式的自變量為，是未知函數； 2-4 式的自變量為，為未知函數 2-6 式、 2-7 式是偏微分方程,自變量有兩個及兩個以上，在 2-6 中自變量是，在 2-7 中自變量是,未知函數均為． 定義2.3[8]微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數稱為微分方程的階數．例如方程 2-1 、 2-2 、 2-3 都是一階方程, 2-4 、 2-6 、 2-7 都是二階方程， 2-5 是階方程． 定義2.4設函數連續(xù)，且有一直到階的各階導數，使得 2-8 則稱函數為方程

23、 2-9 的解[8]． 定義把含有個獨立的任意常數的解 稱為階方程 2-9 的通解． 為了確定微分方程的一個特定的解，我們通常給出這個解鎖必須的條件,這就是所謂的定解條件．常見的定解條件是初值條件和邊值條件．所謂階微分方程 2-9 的初值條件是指如下個條件： 當時，,,, 2-10 這里是給定的個常數．初值條件 2-10 有時可以寫為 . 2-11 滿足初值條件的解稱為微分方程的特解[8]． 變量分離法 形如 ………………………………………

24、 2-12 的方程，稱為變量可分離方程，其特點是右端為僅含有的函數和僅含有的函數的乘積[9]．例如方程，，都是變量分離方程． 設，分別是，的連續(xù)函數，我們分兩種情況進行討論． 若，先分離變量，方程兩邊同除以，乘以，把方程 2-12 化為 ． 2-13 然后，兩邊分別對和積分，得 ． 2-14 令 ，， 則式 2-14 可寫成 ， 2-15 這里是任意常數．等式 2-15 是方程 2-12 的通解 通積分 ．

25、 2 若有實數，使得，則把函數 常值函數 代入方程 2-12 直接驗證，可知也是方程 2-12 的解． 上述討論說明，為了求解方程 2-12 ，關鍵在于使變量和分離出來，使得的系數僅是的函數，的系數僅是的函數，從而就可以通過各自積分求得其通積分，這種方法就是變量分離法[9]． 這里需要指出的是：當時，方程 2-12 與隱函數方程 2-15 是等價的，即方程 2-12 和 2-15 的解集相同． 由此,我們可以看出，變量分離方程的求解思路主要分為三步： 1 分離變量， 2 對方程兩邊同時積分并整理得通解， 3 由初始條件求方程的特解[10]． 求解方程

26、 . 2-16 解 由題可知原方程時變量可分離方程． 1 當時，變量分離可得 等式兩邊積分，有 ． 整理得 ， 2-17 其中是任意非零常數． 2 另外，經檢查，也是方程 2-16 的解．而只要我們允許上式中的可取零值，則就可被包含在上式 2-17 中 它對應 的解，因此，方程 2-16 的通解為 ，為任意常數． 求解方程 ． 解 由題可知原方程

27、是變量可分離方程． 將方程變形為 ． 變量分離可得 ． 等式兩邊積分，有 ． 整理得 ． 即 ， 這里是任意常數． 變量代換法 一些方程，常?？梢酝ㄟ^引入適當變量代換，化為變量已分離型方程或是其他已知解法的方程． 我們通過兩種方程來介紹變量代換法： 我們稱形如 2-18 的方程為齊次方程，其中為的連續(xù)函數．顯然作為的函數是零次齊次的，例如方程 ，， 都是齊次方程． 求解齊次方程的關鍵是對未知函數進行變量替換，亦即用一個新的未知函

28、數代替原來的未知函數，將方程 2-18 化成變量分離方程．利用變量替換來換來解微分方程是一種常用的技巧．對于方程 2-18 ，我們做如下的變量替換 ， 2-19 亦即，這里是用新未知函數來代替原來的未知函數，故也是的函數，于是 ． 2-20 將 2-19 ， 2-20 代入方程 2-18 即得 ； 由此推出

29、 ． 2-21 這是一個變量分離方程，其通解為 ． 2-22 再利用變換 2-19 可得原方程 2-18 的通解．這時若存在使得，則也是 2-18 的解[11]． 求解方程 ． 解 此方程是齊次方程．令，代入原方程，得 ． 即 ．

30、 2-23 當時，分離變量得 ． 等式兩邊積分，得到 ． 整理得 ． 2-24 另外，由，即，知方程 2-23 還有解，．若在式 2-24 中允許，則這些解包含在式 2-24 之中． 再用換回原變量，就得到原方程的通積分為 ，是任意常數． 求解方程 ． 解 方程可以改寫為 ， 故它是齊次方程．令，則，代入原方程，得 ． 整理得 ．

31、 2-25 若，分離變量，得 ． 等式兩邊積分，得到 ． 2-26 由，知方程 2-25 還有解，．但是，若在式 2-26 中允許，則解包含在式 2-26 之中． 再用代入式 2-26 ，得到原方程的通積分為 ，為任意常數． 另外，由可得解． 形如 2-27 的方程也可經過變量替換化為變量分離方程，這里均

32、為常數．對于這種方程，我們分三種情形來討論：① ① 常數 情形． 這時方程化為 ， 有通解為 ， c為任意常數 ． ② 情形． 即 ， 令 ， 這時有 ， 這是一個變量分離方程，我們可以用變量分離法求得它的解． ③ 情形． 即 ， 若不全為0，這時可做變換 ， 從而所求方程變?yōu)? ， 這也是一個變量分離方程，可通過變量分離法求解． 若，則可取變換，再用變量分離法求得[8]． 求解方程 2-28 解 容易看出，方程

33、 2-28 是屬于上面的情形③，因此先求出方程組 ， 的解為．令 ， 代入方程 2-28 ，則有 ， 2-29 再令，即，則 2-29 化為 ， 等式兩邊積分，得 ， 因此 ， 記，并代回原變量，得 ， ． 此外，容易驗證 ， 即 也是方程 2-29 的解，因此方程 2-28 的通解為 ， 其中為任意常數． 求解方程 ．

34、 2-30 解 解方程組 ， 得．令 ， 代入方程 2-30 ，則有 ． 2-31 再令，即，則方程 2-31 化為 ． 解此方程，得 ． 將換成，得 故原方程的通積分為 ，為任意常數． 常數變易法 一階線性微分方程 ， 2-32 其中，在考慮的區(qū)間內是的連續(xù)函數．若 0，則 2-32 式變?yōu)?

35、 ， 2-33 為一階齊次線性微分方程．若，則 2-32 為一階非齊次線性微分方程． 1 首先對齊次線性微分方程 2-33 式進行求解，其中是連續(xù)函數． 將 2-33 式變量分離，得到 ， 兩邊積分，得 ． 為任意常數 由對數定義，即有 ， 即 ， 令，得到

36、 ． 2-34 2 再討論非齊次線性微分方程 2-32 式通解的求法． 不難看出， 2-33 是 2-32 的特殊情形，可以設想：在 2-34 中,將常數變易為的待定函數 ．令 ， 2-35 對其求導，得 ． 2-36 以 2-35 ， 2-36 代入 2-32 ，得到 ， 即

37、 ， 積分后得到 ， 為任意常數 將上式代入 2-35 ，得到方程 2-32 的通解 ． 2-37 這種將常數變易為待定函數的方法,我們通常稱為常數變易法[8]． 求解方程 ， 這里是常數． 解 將方程改寫為 ． 2-38 先求解齊次線性微分方程 的通解，從 得到齊次線性微分方程的通解 ． 2 應用常數變易法求非齊次線性

38、微分方程的通解．為此，在上式中把看成為的待定函數，即 ， 2-39 微分之，得到 ． 2-40 以 2-39 及 2-40 代入 2-38 ，得到 ， 積分之,求得 ． 因此，以所求的代入 2-39 ，即得原方程的通解 ， 這里是任意常數． 求解方程 ． 解 將方程改寫為 ．

39、 2-41 先求齊次線性微分方程 的通解．分離變量并積分之，得 ． 令 是方程 2-41 的解，將它代入方程 2-41 ，得到 ． 即 ， 積分之，得 ． 因此，原方程的通解為 ,是任意常數． 幾類常微分方程的特殊解法 湊全微分法 我們可以將一階方程 寫成微分的形式 ， 或把平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程 ， 3-1 這里假設在某矩形域內是的連續(xù)函數，且具有連續(xù)的一階偏導數．這樣

40、的形式有時便于探求方程的通解． 如果方程 3-1 的左端恰好是某個二元函數的全微分，即 ， 3-2 則稱 3-1 為恰當微分方程 全微分方程 ． 容易驗證， 3-1 的通解就是 ， 這里是任意常數． 方程 3-1 是恰當方程的充要條件是 ， 3-3 且方程 3-1 的通解就是 [6].． 對一些恰當微分方程，為了求出相應的全

41、微分方程的原函數，可以采用分組湊微分法來求解．即把方程左端的各項重新進行適當的組合，使得每組的原函數容易由觀察求得，從而求得，這種方法更為簡便． “湊全微分”這一步驟，要求我們非常熟悉一些常用的全微分公式，例如： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 試用湊微分法求解方程 ． 解 因為 ,， 所以此方程是恰當微分方程． 將方程重新“分項組合”，得到 ， 即 ， 于是 ， 即 ． 所以，方程的通解為 ． 這里是任意常數． 試用湊微分法求解方程 ． 解 因為 ， 所以此方程是恰當微分方程． 將方程重新“分項組合”，得到 ，

42、 即 ， 即 ， 所以，方程的通解為 ． 這里是任意常數． 積分因子法 我們已經知道了全微分方程的解法，某些例如的方程雖然不是全微分方程，但是可以設法將它們化為全微分方程．例如，方程不是全微分方程，但用函數乘該方程后，它變?yōu)榱巳⒎址匠? ， 其左端的原函數為． 一般來說，若方程 3-1 不是全微分方程，但是存在連續(xù)可微函數，用它乘以方程 3-1 后，能使方程 ， 3-4 成為全微分方程，則稱為方程 3-1 的一個積分因子． 這時，是 3-4 的通解，因而也是 3-1 的通解．需要注意的是，一個

43、方程的積分因子不是唯一的． 根據3.1，函數為 3-1 的積分因子的充要條件是 ， 即 ， 3-5 這是一個以為未知函數的一階線性偏微分方程．要想通過解方程 3-5 來求積分因子，從而得到方程 3-1 的解，在一般情況下，將比求解方程 3-1 本身更難．但是，在特殊情形中，求方程 3-5 的一個特解還是很容易的． 例如，對于方程 3-1 ，如果存在只與有關的積分因子，則，這時方程 3-5 變成 ， 即 ．

44、 3-6 由此可知，方程 3-1 有只與有關的積分因子的充要條件是 ， 3-7 這里僅為的函數．假如條件 3-7 成立，則根據方程 3-6 ，可以求得方程 3-1 的一個積分因子 ． 3-8 同樣， 3-1 有只與有關的積分因子的充要條件是 ， 這里僅為的函數．從而求得方程 3

45、-1 的積分因子 [8]． 試用積分因子法求解方程 ． 解 因為 ,， 兩者不等，它不是恰當方程． 注意到 ， 它只與有關，所以方程只有積分因子 ． 以乘原方程，整理得 ， 這顯然是一個恰當方程，通積分是 ． 試用積分因子法求解方程 ． 解 因為 ，， 兩者不等，它不是恰當方程． 注意到 它只與有關，所以方程只有積分因子 ． 以乘以原方程，整理得 ， 這顯然是一個恰當方程，通積分是 ． 幾類解法在伯努利方程中的應用 伯努利方程的由來 17世紀由牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，為數學的研究提供了強有力的工具．此后的大部分數學家的注意力，都

46、被這有著無限發(fā)展前途的學科所吸引．盡管微積分興起的初期還存在著一些邏輯上的缺陷，但大部分數學家則暫時擱下邏輯基礎不顧，勇往直前地去開辟新的園地，如伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏爾斯特拉斯等人． 自從微積分被創(chuàng)立,很多數學家就用微積分這一工具去解決問題．但是，他們發(fā)現有些問題不能通過簡單的積分解決，而是需要其他的技術，所以，微分方程也就誕生了． 對于微分方程的產生于發(fā)展，伯努利家族做出了巨大的貢獻．在引言中提到的“等時問題”，雅各布??伯努利將其歸結為求一個微分方程的解，他認為這個微分等式兩端的積分必須相等，并給出解答，這是一條擺線．在給出這個問題解答的同一篇論文中，雅各布??伯努

47、利提出了一個新的問題：一根柔軟而不能伸長的弦自由懸掛于兩固定點，求這個弦所形成的曲線．萊布尼茲稱此曲線為懸鏈線．問題提出一年后，萊布尼茲、惠根斯和約翰??伯努利分別給出了解答．對此，約翰感到莫大的驕傲，他認為這是勝過哥哥的一個重要標志，因為他的哥哥盡管提出這個問題，但不能解決． 在這兩兄弟的互相競賽中，在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性軟繩以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細繩所形成的問題．在解決這些問題的過程中，他們總結出了解微分方程的變量分離法[12]． 著名的伯努利微分方程 ，

48、 4-1 是由雅各布??伯努利于1695年提出的．其中為的連續(xù)函數，是常數．而另一個伯努利方程 ， 4-2 其中為壓強，為流體的密度，為高度，為流速，為常數．本文主要研究的是雅各布??伯努利提出的伯努利微分方程[13]． 伯努利方程的求解 伯努利 Bernoulli 方程是一種特殊的一階非線性常微分方程，在機械工程等方面有非常廣泛的應用．對求伯努利方程通解的研究具有重要的理論意義很廣泛的應用價值．求伯努利方程解

49、法也比較多．本文主要從伯努利方程的變量分離法、變量代換法、常數變易法、湊微分法對伯努利方程進行求解． 定義 形如 ， 4-3 的方程，稱為伯努利 Bernoulli 方程[14]．其中為的連續(xù)函數，是常數． 變量分離法 伯努利方程是一種一階非線性常微分方程，變量分離法是通過適當的變量代換后將它化為一階線性非齊次微分方程．即對于， 1 將方程 4-3 兩邊同乘以，得到 ， 4-4 變量

50、代換 ， 4-5 從而 ， 4-6 將 4-5 ， 4-6 帶入 4-4 ，得到 ， 4-7 這是線性微分方程． 2 所以可以求對應齊次方程 ，

51、 4-8 的解． 可得 ， 4-9 3 通過常數變易法求得一階線性非齊次方程 4-7 的通解，把上式中的看成為關于的待定函數，令 ， 4-10 對方程 4-10 兩邊關于求導，得 ， 4-11 將方程 4-10 ， 4-11 代入到 4-7 并化解，得

52、 ， 對上式兩邊積分，得 ， 為任意常數 4-12 把方程 4-12 代入 4-10 ，得 ， 4-13 4 最后經變量代換得原方程的通解[15]，把 4-5 代入 4-13 得到原方程的解 為任意常數 ． 此外,當時，方程還有解． 變量代換法[16] 設是伯努利方程的解，則對其求導得 ， 代入伯努利方程得 ， 4-14 令 ， 得

53、 ， 4-15 將 4-15 代入 4-14 ，得 ， 即 ， 故伯努利方程的通解為 ． 常數變易法[16] 伯努利方程對應的一階齊次線性微分方程即為 2-33 式，所以其通解為． 所以根據上面可設 ， 4-16 為伯努利方程的解,有 ， 4-17 將 2-34 ， 2-37 代入伯努利方程得 ， 即 ， 兩端取積分 ， 故伯努

54、利方程的通解為 ． 部分湊微分法[15] 現在給出利用部分湊微分法的直接解法，此法的關鍵在于對方程中的系數的討論． 當時，方程即為，為變量可分離方程,易于求解． 當時，若存在函數使得方程兩端同乘以后左端成為某一函數的導 數，則兩端積分可得伯努利方程的通解： ． 將方程兩端同乘以乘以，得到 ， 若存在 ， 從而有 ． 其中，，所以有 ， 所以 ， ， 故原方程的通解為 ． 結束語 數學作為一種創(chuàng)造性活動不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美．常微分方程是指包含一個自變量和它的未知函數以及未知函數的微分的等式．常微分方程在很多學科領域內都有著非常重要的作

55、用，比如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等．這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題．本文主要是對部分常微分方程的求解方法做一個綜述． 本文首先介紹了常微分方程的背景、發(fā)展歷史、基本概念,再對常微分方程的幾種典型解法進行歸納，即變量分離法、變量代換打、常數變易法、湊全微分法、積分因子法，然后再將這些求解方法應用于伯努利方程的求解當中． 由于時間倉促，水平有限，文中所討論的內容也僅停留在已有的成果基礎上，希望在以后的實踐中能夠逐漸加深對常微分方程求解的有關問題的研究，懇請老師能夠教導、指正． 參考文獻

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59、學可以為實際服務的學科. 常微分方程的形成于發(fā)展是與力學、天文學、物理學及其他自然科學技術的發(fā)展相互促進和相互推動的.數學的其他分支的新發(fā)展如復變函數、組合拓撲學等都給常微分方程的發(fā)展已深刻地影響.當前計算機的發(fā)展為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.現在,常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用,自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質的問題.但是,數學家發(fā)現,不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的”求通解”到”求解定解問題”的轉變,所以能求出問分方程的解是

60、十分重要的.本文主要總結了幾種常微分方程的典型解法及其相關應用. 二、主題部分 闡明有關主題的歷史背景、現狀和發(fā)展方向,以及對這些問題的評述 當牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以后,數學家便開始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來愈多的物理問題,但他們很快發(fā)現不得不去對付一類新的更復雜的問題,這類問題不能通過簡單的積分解決,要解決這類問題需要專門的技術,這樣,微分方程這門學科就應運而生了. 常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數學學科之一.常微分的發(fā)展主要可以分為四個階段: 常微分的經典階段--以通解為主要研究內容、常微分方程的適定性理論階段--以定解問題的適定性

61、理論為研究內容、常微分方程的解析理論階段--以解析理論為研究內容、常微分方程的定性理論階段--以定性與穩(wěn)定性理論為研究內容[1]. 盡管在耐皮爾 John Napier,1550-1617 所創(chuàng)立的對數理論及達芬奇提出的餓狼撲兔問題中都已涉及到微分方程發(fā)展的思想萌芽,但微分方程作為一門學科是伴隨著微積分的形成而產生的.就像微積分在17世紀后期與18世紀前期的著作一樣,常微分方程最早的著作出現在數學家門的彼此通信中,1676年,萊布尼茲在給牛頓的通信中,第一次提出”微分方程”這個數學名詞.17世紀到18世紀是常微分方程發(fā)展的經典階段,以求通解為主要內容.牛頓和萊布尼茲在建立微分方程與積分運算時

62、就指出了它們的互逆性,實際上是解決了最簡單的微分方程的求解問題.此外,牛頓、萊布尼茲也都應用了無窮級數和待定系數法解出了某些初等微分方程[1].伯努利一家 這個非凡的瑞士家族在三代時間里出了八個數學家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的兒子Daniel Bernoulli,1700-1782的工作較突出 對變量分離法和換元法;歐拉 Euler,1707-1783 對降階法、積分因子法和求常系數齊次線性方程的通解;達郎帕爾 D’Allmbert,1717-1783 關于非齊次線性方程通解的疊加原理;拉格朗日 Lag

63、range,1716-1813 有齊次線性方程通解經常數變易法得出非齊次方程的特解;克萊洛 Clarant,1713-1765 關于全微分方程的充要條件和奇解的概念[2],以及十九世紀末引進算子方法和拉普拉斯 Laplace,1749-1827 變換等,都是求通解時期的成就[3]. 萊布尼茲最早使用變量分離法解微分方程.他用這種方法解決了形如的方程,因為只要把它寫成就能在兩邊進行積分.但萊布尼茲沒有建立一般的方法.可以用變量分離法求解的方程的特點是右端為僅含有的函數和僅含有的函數的乘積,焦寶聰等將此類方程分成了當以及存在實數,使得兩種情況進行討論[4].同時,在文獻[5]、[6]、[7]、[

64、8]、[9]中同樣也詳細介紹了變量分離法,且舉了些例子幫助讀者進行理解.文獻[5]除了介紹類型的方程用變量分離法求解之外,還介紹了這一類型的方程用變量分離法求解.由此,我們可以看出,變量分離方程的求解思路主要分為三步: 1 分離變量, 2 對方程兩邊同時積分并整理得通解, 3 由初始條件求方程的特解[10]. 在萊布尼茲使用變量分離法求解出形如微分方程的同一年,他又解出了一階齊次方程.他令代入方程,即可使用變量分離法求解方程.而過了50余年之后,歐拉用自變量代換把歐拉方程線性化而求得的通解,其中是常數.一些方程,常?？梢酝ㄟ^引入適當變量代換,化為變量已分離型方程或是其他已知解法的方程.文獻[

65、9]介紹了齊次方程用變量代換法求解.求解齊次方程的關鍵是對未知函數進行變量替換,用一個新的未知函數代替原來的未知函數,得出一個變量分離方程,故可以通過變量分離法求得它的解.文獻[7]介紹了形如的方程用變量代換法來求解,作者針對的不同取值,分了三種情況進行討論.文獻[4]、[5]、[6]、[9]、[10]、[11]、[12]也詳細介紹了上述兩種類型的方程用變量代換法求解.除此之外,還有一些文獻介紹了其他類型的方程用變量代換法求解,例如:文獻[5]還介紹了類型的方程,文獻[12]介紹了諸如 為的齊次函數,次數可以不同 用變量代換法求解.文獻[13]通過對一階常微分方程中的齊次方程的推廣形式--齊次

66、型方程進行研究,并將齊次方程使用”變量代換”求解推廣應用到齊次型方程,從而證明了齊次型方程是可積方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一階微分方程的幾種新的可積類型.可以看出,變量分離和變量代換的結合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一開始就可以用變量分離法求解的,而是要通過變量代換之后才可以使用. 1693年惠更斯在《教師學報》中明確提到了微分方程,而萊布尼茲同年則在另一家雜志的另一篇文章中稱微分方程為特征三角形的邊的函數,并給出了線性方程的通解表達式,其中是任意常數.對于上述類型的方程,我們通常采用常數變易法來求解.常數變易法是前人專門針對一階線性方程和高階線性方程、線性方程組,創(chuàng)造、總結出來的一種特定的方法,它能規(guī)范化地求出線性方程的通解,還能寫出線性方程的通解公式[5].已知一階齊次線性方程的通解 為任意常數 ,將常數變易為的待定函數,即,對其進行積分、代入,并可求得一階非齊次線性微分方程的通解[7].文獻[8]介紹了兩種類型方程的常數變易法解法.針對二階常系數非齊次線性微分方程求解的現有方法的局限性,文獻[14]中給出了常數變易法求二階常系數非齊次線性微分