《數學第七篇 立體幾何與空間向量 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學第七篇 立體幾何與空間向量 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質 理 新人教版（46頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第第5 5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質節(jié)直線、平面垂直的判定與性質考綱展示考綱展示2.2.能運用公理、定理和已獲得的結論能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的垂直關系的證明一些有關空間圖形的垂直關系的簡單命題簡單命題. . 1.1.以立體幾何的定義、公理和定理以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點為出發(fā)點, ,認識和理解空間中線面認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理垂直的有關性質與判定定理. . 知識梳理自測知識梳理自測考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 知識梳理自測知識梳理自測 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀教材導讀】 1.1.直線直線l l

2、與平面與平面內無數條直線垂直內無數條直線垂直, ,則直線則直線ll嗎嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,當這無數條直線相互平行時當這無數條直線相互平行時,l,l與與不一定垂直不一定垂直. .2.2.若平面若平面內有一條直線垂直于平面內有一條直線垂直于平面,則則嗎嗎? ?提示提示: :垂直垂直. .3.3.若若, ,則則內任意直線都與內任意直線都與垂直嗎垂直嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,平面平面內只有垂直于交線的直線才與內只有垂直于交線的直線才與垂直垂直. .知識梳理知識梳理 1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)(1)直線和平面垂直的定義直線和平面垂直的定義直線直線l l與平

3、面與平面內的內的 直線都垂直直線都垂直, ,就說直線就說直線l l與平面與平面互相垂直互相垂直. .任意一條任意一條兩條相交直線兩條相交直線(2)(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理直線與平面垂直的判定定理及性質定理平行平行2.2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)(1)定義定義平面的一條斜線和它在平面上的平面的一條斜線和它在平面上的 所成的所成的 , ,叫做這條直線和這叫做這條直線和這個平面所成的角個平面所成的角. .如圖如圖, , 就是斜線就是斜線APAP與平面與平面所成的角所成的角. .(2)(2)線面角線面角的范圍是的范圍是 . .射影射影銳角銳角PAOPAO3.3.二面角

4、、平面與平面垂直二面角、平面與平面垂直(1)(1)二面角二面角二面角的定義二面角的定義: :從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. .這這條直線叫做二面角的棱條直線叫做二面角的棱. .這兩個半平面叫做二面角的面這兩個半平面叫做二面角的面. .如圖如圖, ,記作記作: :二面角二面角-l-l-或二面角或二面角-AB-AB-或二面角或二面角P-AB-Q.P-AB-Q.二面角的平面角二面角的平面角: :在二面角在二面角-l-l-的棱的棱l l上任取一點上任取一點O,O,以點以點O O為垂足為垂足, ,在半平在半平面面和和內分別作垂直于棱內分

5、別作垂直于棱l l的射線的射線OAOA和和OB,OB,則射線則射線OAOA和和OBOB構成的構成的AOBAOB叫做二叫做二面角的平面角面角的平面角. .(2)(2)平面與平面的垂直平面與平面的垂直定義定義: :一般地一般地, ,兩個平面相交兩個平面相交, ,如果它們所成的二面角是如果它們所成的二面角是 , ,就說這兩就說這兩個平面互相垂直個平面互相垂直. .直二面角直二面角垂線垂線平面與平面垂直的判定定理與性質定理平面與平面垂直的判定定理與性質定理交線交線【重要結論重要結論】 1.1.若兩平行線中的一條垂直于一個平面若兩平行線中的一條垂直于一個平面, ,則另一條也垂直于這個平面則另一條也垂直于

6、這個平面. .2.2.若兩條直線同垂直于一個平面若兩條直線同垂直于一個平面, ,那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行. .3.3.若一條直線和兩個不重合的平面都垂直若一條直線和兩個不重合的平面都垂直, ,那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行. .雙基自測雙基自測 1.1.如果直線如果直線l,ml,m與平面與平面,滿足滿足:l=:l=,l,m,l,m和和mm, ,那么必那么必有有( ( ) )( (A)A)且且mm ( (B)B)且且lmlm( (C)mC)m且且lmlm ( (D)D)且且B B解析解析: :由由m m,m,m以及面面垂直的判定定理可得以及面面垂直的判定定理可得, ,; ;由由

7、l=l=可得可得l l, ,又又mm, ,所以所以mlml. .綜上綜上, ,故選故選B.B.2.(2.(20172017安徽宣城第二次調研安徽宣城第二次調研) )已知已知m,nm,n是兩條不同的直線是兩條不同的直線, ,是兩個不是兩個不同的平面同的平面, ,給出下列四個命題給出下列四個命題, ,錯誤的命題是錯誤的命題是( ( ) )(A)(A)若若m,m,m,m,=n,=n,則則mnmn(B)(B)若若,m,n,m,n, ,則則mnmn(C)(C)若若,=m,=m,則則mm(D)(D)若若,m,m, ,則則mm解析解析: :A.A.由由m,m,m,m,=n,=n,可得可得mnmn, ,正確正

8、確. .B.B.由由,m,n,m,n, ,可得可得mnmn, ,正確正確. .C.C.由由,=m,=m,可得可得mm, ,正確正確. .D.D.由由,m,m, ,則則mm或或m m, ,因此不正確因此不正確. .故選故選D.D.D D3.(3.(20162016甘肅張掖模擬甘肅張掖模擬) )在三棱柱在三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中, ,各棱長相等各棱長相等, ,側棱垂直于底側棱垂直于底面面, ,點點D D是側面是側面BB1C1CBB1C1C的中心的中心, ,則則ADAD與平面與平面BB1C1CBB1C1C所成角的大小是所成角的大小是( ( ) )(A)30(A)30(B)4

9、5(B)45(C)60(C)60(D)90(D)90C C4.(4.(20162016武昌調研武昌調研) )給出下列四個命題給出下列四個命題: :如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面內一定存在直線平行于平面內一定存在直線平行于平面;如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面內一定不存在直線垂直于平面內一定不存在直線垂直于平面;如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=l,=l,那么那么ll平面平面;如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面內所有直線都垂直于平面內所有直線都垂直于平面.其中錯誤的命題是其中錯誤的命題是.(.(寫出所有錯誤命題的序號寫出所有錯誤命題的序號

10、)解析解析: :借助正方體很容易判斷出是正確的借助正方體很容易判斷出是正確的, ,只有是錯誤的只有是錯誤的. .答案答案: :5.(5.(20162016濱州鄒平一中階段濱州鄒平一中階段) )如圖如圖, ,二面角二面角-l-l-的大小是的大小是6060, ,線段線段ABAB, ,Bl,ABBl,AB與與l l所成的角為所成的角為3030. .則則ABAB與平面與平面所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是. 考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 直線與平面垂直的判定與性質直線與平面垂直的判定與性質【例例1 1】 導學號導學號 38486148 (201738486

11、148 (2017陜西師范大學附屬中學二模陜西師范大學附屬中學二模) )如圖如圖,AC,AC是圓是圓O O的 直 徑的 直 徑 , , 點點 B B 在 圓在 圓 O O 上上 , B A C = 3 0, B A C = 3 0 , B M A C, B M A C 交交 A CA C 于 點于 點 M , E A M , E A 平 面平 面ABC,FCEA,AC=4,ABC,FCEA,AC=4,EA=3,FC=1.EA=3,FC=1.(1)(1)證明證明:EMBF;:EMBF;(1)(1)證明證明: :因為因為EAEA平面平面ABC,BMABC,BM平面平面ABC,ABC,所以所以EAB

12、M,EABM,又因為又因為BMAC,EAAC=A,BMAC,EAAC=A,所以所以BMBM平面平面ACFE,ACFE,EMEM平面平面ACFE,ACFE,所以所以BMEM.BMEM.因為因為ACAC是圓是圓O O的直徑的直徑, ,所以所以ABC=90ABC=90. .又因為又因為BAC=30BAC=30,AC=4,AC=4,所以所以AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.因為因為EAEA平面平面ABC,FCEA,FC=1,ABC,FCEA,FC=1,所以所以FCFC平面平面ABC,ABC,EAMEAM與與FCMFCM都是等腰直角三角形都是等腰直角三角

13、形, ,所以所以EMA=FMC=45EMA=FMC=45, ,所以所以EMF=90EMF=90, ,即即EMMF.EMMF.因為因為MFBM=M,MFBM=M,所以所以EMEM平面平面MBF.MBF.又又BFBF平面平面MBF,MBF,所以所以EMBF.EMBF.3(2)(2)求三棱錐求三棱錐E-BMFE-BMF的體積的體積. .反思歸納反思歸納 (1)(1)證明線線垂直的常用方法證明線線垂直的常用方法利用特殊圖形中的垂直關系利用特殊圖形中的垂直關系; ;利用等腰三角形底邊中線的性質利用等腰三角形底邊中線的性質; ;利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理; ;利用直線與平面垂直的性質利用直線

14、與平面垂直的性質. .(2)(2)證明線面垂直的常用方法證明線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理利用線面垂直的判定定理; ;利用利用“兩平行線中的一條與平面垂直兩平行線中的一條與平面垂直, ,則另一條也與這個平面垂直則另一條也與這個平面垂直”; ;利用利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個一條直線垂直于兩個平行平面中的一個, ,則與另一個也垂直則與另一個也垂直”; ;利用面面垂直的性質定理利用面面垂直的性質定理. .跟蹤訓練跟蹤訓練1:1:(2017(2017安徽合肥第一次質檢安徽合肥第一次質檢) )已知四棱錐已知四棱錐P P- -ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD為菱形為菱形

15、, ,且且PAPA底面底面ABCD,ABC=60ABCD,ABC=60, ,點點E,FE,F分別為分別為BC,PDBC,PD的中點的中點,PA=AB=2.,PA=AB=2.(1)(1)證明證明:AE:AE平面平面PAD;PAD;(1)(1)證明證明: :由由PAPA底面底面ABCDABCD得得PAAE.PAAE.底面底面ABCDABCD為菱形為菱形,ABC=60,ABC=60, ,得得ABCABC為等邊三角形為等邊三角形, ,又因為又因為E E為為BCBC的中點的中點, ,得得AEBC,AEBC,因為因為BCAD,BCAD,所以所以AEAD.AEAD.因為因為PAAD=A,PAAD=A,所以所

16、以AEAE平面平面PAD.PAD.(2)(2)求多面體求多面體P-AECFP-AECF的體積的體積. .考點二考點二 平面與平面垂直的判定和性質平面與平面垂直的判定和性質考查角度考查角度1:1:面面垂直的判定面面垂直的判定【例例2 2】 導學號導學號 38486149 (201738486149 (2017廣東汕頭三模廣東汕頭三模) )如圖如圖, ,在多面體在多面體ABCDEABCDE中中,ABDE,ABDE是平行四邊形是平行四邊形,AB,AC,AD,AB,AC,AD兩兩垂直兩兩垂直. .(1)(1)求證求證: :平面平面ACDACD平面平面ECD;ECD;(1)(1)證明證明: :因為因為A

17、BAC,ABAD,ACAD=A,ABAC,ABAD,ACAD=A,所以所以ABAB平面平面ACD,ACD,因為因為ABDEABDE是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以ABDE,ABDE,所以所以DEDE平面平面ACD,ACD,因為因為DEDE平面平面CDE,CDE,所以平面所以平面ACDACD平面平面ECD.ECD.反思歸納反思歸納 面面垂直判定的兩種方法與一個轉化面面垂直判定的兩種方法與一個轉化(1)(1)兩種方法兩種方法: :面面垂直的定義面面垂直的定義; ;面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理( (a,aa,a).).(2)(2)一個轉化一個轉化: :在已知兩個平面垂直時在已知兩個平面

18、垂直時, ,一般要用性質定理進行轉化一般要用性質定理進行轉化. .在一個平面內作交線的垂線在一個平面內作交線的垂線, ,轉化為線面垂直轉化為線面垂直, ,然后進一步轉化為線線垂直然后進一步轉化為線線垂直. .反思歸納反思歸納 面面垂直性質的應用面面垂直性質的應用(1)(1)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據, ,運用時要運用時要注意注意“平面內的直線平面內的直線”. .(2)(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面兩個相交平面同時垂直于第三個平面, ,它們的交線也垂直于第三個平面它們的交線也垂直于第三個平面. .考點三考點三

19、線面角與二面角的求法線面角與二面角的求法反思歸納反思歸納 空間線面角、二面角的求法空間線面角、二面角的求法(1)(1)線面角的求法線面角的求法: :作出垂線作出垂線, ,確定垂足確定垂足, ,找出斜線在平面上的射影找出斜線在平面上的射影. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法直接法直接法: :根據概念直接作根據概念直接作, ,如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊, ,就可就可以取棱的中點以取棱的中點. .垂面法垂面法: :過二面角棱上一點作棱的垂面過二面角棱上一點作棱的垂面, ,則垂面與二面角的兩個半平面的交則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是

20、二面角的平面角或其補角線所成的角就是二面角的平面角或其補角. .垂線法垂線法: :過二面角的一個半平面內一點過二面角的一個半平面內一點A,A,作另一個半平面的垂線作另一個半平面的垂線, ,垂足為垂足為B,B,再從垂足再從垂足B B向二面角的棱作垂線向二面角的棱作垂線, ,垂足為垂足為C,C,連接連接AC,AC,則則ACBACB就是二面角的平面就是二面角的平面角或其補角角或其補角. .備選例題備選例題 【例例1 1】 如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,PA,PA平面平面ABCD,PA=AD=2,ABCD,PA=AD=2,AB

21、=1,BMPDAB=1,BMPD于點于點M.M.(1)(1)求證求證:AMPD;:AMPD;(1)(1)證明證明: :因為因為PAPA平面平面ABCD,ABABCD,AB平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAAB.PAAB.因為因為ABAD,ADPA=A,ADABAD,ADPA=A,AD平面平面PAD,PAPAD,PA平面平面PAD,PAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.因為因為PDPD平面平面PAD,PAD,所以所以ABPD.ABPD.因為因為BMPD,ABBM=B,ABBMPD,ABBM=B,AB平面平面ABM,BMABM,BM平面平面ABM,ABM,所以所以PDPD平面平面A

22、BM.ABM.因為因為AMAM平面平面ABM,ABM,所以所以AMPD.AMPD.(2)(2)求直線求直線CDCD與平面與平面ACMACM所成角的余弦值所成角的余弦值. .(1)(1)證明證明: :由題意由題意, ,知知SAAB,SAAB,又又SAAD,ABAD=A,SAAD,ABAD=A,所以所以SASA平面平面ABCD.ABCD.(2)(2)求二面角求二面角E-AC-DE-AC-D的正切值的正切值. . 解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化審題指導審題指導答題模板答題模板: :第一步第一步: :確定折疊前后的各量之間的關系確定折疊前后的各量之間的關系, ,搞清折疊前后的變化量和不變量搞清折疊前后的變化量和不變量; ;第二步第二步: :在折疊后的圖形中確定線和面的位置關系在折疊后的圖形中確定線和面的位置關系, ,明確需要用到的線面明確需要用到的線面; ;第三步第三步: :利用判定定理或性質定理進行證明利用判定定理或性質定理進行證明; ;第四步第四步: :利用所給數據求邊長和面積等利用所給數據求邊長和面積等, ,進而求體積進而求體積. .