第第1節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式最新考綱1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景；2.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的算法框圖.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法2.不等式的性質(zhì)3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系x|xx2或xx1Rx|x1xx21.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集為(x1，x2)，則必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析(1)由不等式的性質(zhì)，ac2bc2ab；反之，c0時(shí)，ab / ac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0的解集為 .(4)當(dāng)ab0，c0時(shí)，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)答案B3.設(shè)集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，則MN等于()A.(0，4 B.0，4) C.1，0) D.(1，0解析Mx|x23x40 x|1x4，MN0，4).答案B答案x|x15.已知函數(shù)f(x)ax2ax1，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析若a0，則f(x)10恒成立，若a0，則由題意，得綜上，得a4，0.答案4，0解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，顯然|a|b1210，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以錯(cuò)誤.綜上所述，可排除A，B，D.中，因?yàn)閎a0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2a20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯(cuò)誤.由以上分析，知正確.答案(1)A(2)C規(guī)律方法1.比較大小常用的方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)函數(shù)的單調(diào)性法.2.判斷多個(gè)不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性質(zhì)，逐個(gè)驗(yàn)證；二是用特殊法排除.答案(1)D(2)A解析由2x2x30，得(x1)(2x3)0，答案B命題角度命題角度2含參不等式含參不等式【例22】 解關(guān)于x的不等式ax222xax(a0).解原不等式可化為ax2(a2)x20.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x10，解得x1.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為1；規(guī)律方法含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論；(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對(duì)相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集.故不等式x2bxa0為x25x60，解得x3或x2.答案x|x3或x2解之得3k0.答案D命題角度命題角度2在給定區(qū)間上恒成立在給定區(qū)間上恒成立【例32】 (一題多解)設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對(duì)于x1，3，f(x)m5恒成立，則m的取值范圍是_. 解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，有以下兩種方法：當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1，3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1，3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.答案命題角度命題角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題【例33】 已知a1，1時(shí)不等式x2(a4)x42a0恒成立，則x的取值范圍為()A.(，2)(3，) B.(，1)(2，)C.(，1)(3，) D.(1，3)解析把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)ax24x4，則由f(a)0對(duì)于任意的a1，1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，答案C規(guī)律方法(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.(2)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).【訓(xùn)練3】 (1)若不等式x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1，4B.(，25，)C.(，14，)D.2，5(2)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析(1)由于x22x5(x1)24的最小值為4，所以x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)二次函數(shù)f(x)對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，